公式手册

共 157 条公式。先看成立和取等条件，再看推导与误用；公式知识点可回到正文。当前仍有0个节点的公式目录待审定，不以总条数宣称全量。

数与代数

韦达定理（根与系数的关系）

$$x_1+x_2=-\frac{b}{a},x_1{x}_2=\frac{c}{a}$$

成立条件

$a{x}^2+bx+c=0(a\ne 0)$ 且 $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac\ge 0$

从哪里来

当二次方程有实根时，将多项式写成a(x−x₁)(x−x₂)，展开比较系数即可推得；重根时按重数记作x₁=x₂。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求两根的对称式（$x_1^2+x_2^2$、$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$、$|x_1-x_2|$ 等）

• 已知和与积构造方程（逆向使用）

• 解析几何"设而不求"：弦长、中点、面积

• 根的分布问题（配合判别式与区间端点函数值）

要防止

• 在两个实根的应用中漏掉Δ≥0条件；若讨论复根，应明确数系，不能混用实根题设。

• 求出参数后不回代检验判别式条件

• 只会正向（已知根求和积），不会逆向构造方程

补充说明与可选推广

可选拓展：对首项系数 $a_n\ne 0$ 的n次多项式，在复数中把全部根按重数列出，有 $e_k=(-1{)}^k{a}_{n-k}/a_n$。本页中学训练只需二次实根情形。

知识讲解：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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基本不等式（均值不等式）

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$

成立条件

$a\ge 0,b\ge 0$

取等条件

$a=b$ 时取等

从哪里来

${\displaystyle \frac{a+b}{2}}-\sqrt{ab}={\displaystyle \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{2}}\ge 0$

适用场景与常见误用

可以用在

• 和为定值时求积的最大值

• 积为定值时求和的最小值

• "1 的代换"型最值问题

要防止

• 没有核对给定约束与等号条件能否同时成立；公式允许非负数，不用口头口诀代替条件。

• 变量可能为负时直接套用

• 多次使用时各次取等条件不一致，导致最值取不到

知识讲解：基本不等式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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十字相乘法

$$x^2+px+q=(x+m)(x+n)\text{其中}m+n=p,mn=q$$

成立条件

在实数范围分解 $x^2+px+q$，须存在实数 $m,n$ 满足和积条件，等价于 $p^2-4q\ge 0$；试整数因数只是常用选择。一般式还须二次系数非零。

从哪里来

直接展开(x+m)(x+n)=x²+(m+n)x+mn，比较系数得到和积条件。学过韦达后，也可把它理解为根与系数关系的逆向应用；本推导本身只需展开。

适用场景与常见误用

可以用在

• 因式明显时快速分解二次三项式。

• 为二次方程与二次不等式提供因式表示；也可选用配方或求根公式。

要防止

• 二次项系数不为 1 时忘记交叉相乘，直接套 $x^2+px+q$ 的形式

• 不检验：分解完应展开验算中项系数

• 未找到整数因数不等于没有实根。例如x²−2有无理根，x²＋x＋1则无实根，要依据判别式区分。

补充说明与可选推广

本站将本方法作为衔接补充。课程范围的解读与教材目录按引用中心的核验状态说明，不能由一个括号判定所有方法均被排除。

知识讲解：十字相乘法与分组分解

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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对称式常用改写

$$\begin{array}{rl}{a}^2+b^2& =(a+b{)}^2-2ab\\ (a-b{)}^2& =(a+b{)}^2-4ab\\ a^3+b^3& =(a+b{)}^3-3ab(a+b)\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}& =\frac{a+b}{ab}\end{array}$$

成立条件

第四式需 $ab\ne 0$；其余对任意实数成立

从哪里来

前三式分别由平方、立方展开整理得到；第四式在ab≠0时通分得到。一般的对称多项式可用a+b、ab表示，但这一概括只谈多项式，不能直接扩大为所有对称表达式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 韦达定理的配套使用 —— 这是"不必解出根"的技术保障

• 解析几何弦长公式（用到 $(x_1-x_2{)}^2$ 的改写）

• 已知 $x+\frac{1}{x}$ 求 $x^2+\frac{1}{x^2}$ 一类问题

要防止

• 遇到非对称式（如 $x_1^2+x_2$）也硬套 —— 此时必须解出根或另想办法

补充说明与可选推广

互换检验帮助识别对称结构。分式还需分母非零，根式需定义域与符号；非对称目标也可能经变形后使用和积。

知识讲解：对称多项式的表达

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

合并同类项

$$ma+na=(m+n)a$$

成立条件

m、n为实数系数，a表示完全相同的字母部分或整体；不能把不同字母部分强行合并。

从哪里来

分配律从右往左使用；改变的是系数，字母部分不变。

适用场景与常见误用

可以用在

• 化简代数式；整体代入。

要防止

• $x^2+x^3$ 不是同类项之和，不能合为 $x^5$。

知识讲解：代数式与整式的加减

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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去括号的符号

$$a+(b-c)=a+b-c,a-(b-c)=a-b+c$$

成立条件

a、b、c为实数或有意义的代数式。

从哪里来

正号可看作乘1，负号可看作乘−1；分配律作用于括号内的每一项。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含括号式子的化简。

要防止

• 负号只改变第一项的符号。

知识讲解：代数式与整式的加减

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平方差公式

$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$

成立条件

a、b取任意实数；代入的表达式应在所讨论定义域内有意义。

从哪里来

展开右侧得到a²−ab＋ab−b²，中间项抵消。

适用场景与常见误用

可以用在

• 平方差分解；乘法简算；分母有理化。

要防止

• 平方和不能直接套平方差，但不能说所有平方和都不可分解。例如 $x^4+4=(x^2-2x+2)(x^2+2x+2)$。

知识讲解：因式分解（提公因式法、公式法）

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完全平方公式

$$(a\pm b{)}^2=a^2\pm 2ab+b^2$$

成立条件

a、b为任意实数。

从哪里来

把两个相同括号相乘，中项由两次ab相加得到。识别时选代数项A、B，再检查中项是否为±2AB；不要把 $\sqrt{A^2}$ 擅自写成A。

适用场景与常见误用

可以用在

• 展开、配方、识别完全平方。

要防止

• 遗漏中项或系数2；把首尾的算术平方根当成可带符号的代数项。

知识讲解：整式的乘法与乘法公式

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立方展开

$$(a\pm b{)}^3=a^3\pm 3a^{2}b+3a{b}^2\pm b^3$$

成立条件

a、b为任意实数；两处±同时取相同符号。

从哪里来

先用完全平方展开(a±b)²，再乘(a±b)并合并同类项，即得到1、3、3、1的系数。

适用场景与常见误用

可以用在

• 衔接多项式展开；对称立方和改写。

要防止

• 误写成a³±b³；减号情形误把3ab²也变负。

知识讲解：整式的乘法与乘法公式

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立方和与立方差

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

成立条件

a、b为任意实数。

从哪里来

展开右侧，中间的a²b和ab²分别抵消。和式可由差式中把b替换为−b得到。

适用场景与常见误用

可以用在

• 立方式分解与化简。

要防止

• 第二个括号的ab符号写反；漏掉平方项。

知识讲解：十字相乘法与分组分解

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分式方程的等价清分母

$$\frac{A}{B}=\frac{C}{D}⟺AD=BC$$

成立条件

A、B、C、D均有意义，且原分母B、D均非零；清分母后仍保留此定义域。

从哪里来

两边同乘非零的BD得到交叉相乘式，反向除以BD可恢复。忘记非零限制而在更大范围求解，才可能引入额外候选。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解两个分式相等的方程；一般分式方程可先合并或同乘公分母。

要防止

• 只解整式方程而未核对原定义域；漏乘常数项。

知识讲解：分式与分式方程

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分式符号与乘积符号

$$\frac{A}{B}>0⟺AB>0,\frac{A}{B}\ge 0⟺AB\ge 0$$

成立条件

B不为0；这条条件在两种等价式中都保留。

取等条件

非严格情形的等号要求A＝0且B≠0。

从哪里来

同乘严格为正的 $B^2$，不等号方向不变，而 $(A/B)B^2=AB$。

适用场景与常见误用

可以用在

• 把分式不等式转为乘积判号。

要防止

• 直接乘符号未知的B而不分类；非严格不等式忘记排除分母零点。

知识讲解：分式与分式方程

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含系数的一次方程分类

$$S=\{\begin{array}{ll}\{b/a\},& a\ne 0\\ \varnothing ,& a=0,b\ne 0\\ \mathbb{R},& a=b=0\end{array}$$

成立条件

S为ax＝b在实数中的解集；a、b为实数，a＝0时按后两种情况处理。

从哪里来

a非零时可除以a；a为零时方程变为0＝b，据真假得到无解或全体实数。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含参线性方程；消元或二次方程降次后的检查。

要防止

• 直接除以参数a；把0x＝0只解成x＝0。

知识讲解：一元一次方程

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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不等式的加乘性质

$$a>b\Rightarrow a+c>b+c;a>b,c>0\Rightarrow ac>bc;a>b,c<0\Rightarrow ac<bc$$

成立条件

各量为实数；乘数正负决定方向，乘数为0时严格不等式不再成立。

从哪里来

a−b为正数。加同一个数不改变差；乘正数使差仍正，乘负数使差为负。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解不等式；带参数的乘除变形。

要防止

• 乘负数不变号；除以符号未知的量。

知识讲解：一元一次不等式（组）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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同向不等式取交集

$$(x>a\text{且}x>b)⟺x>max(a,b)$$

成立条件

a、b为实数，两条件同时成立；端点为严格开端点。

从哪里来

要同时大于两个界限，就要超过其中较大的一个；反向显然同时满足。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求不等式组与定义域的公共部分。

要防止

• 把且当成或；非严格边界照抄严格边界。

知识讲解：一元一次不等式（组）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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二元一次方程组的消元系数

$$D=a_1{b}_2-a_2{b}_1,x=\frac{c_1{b}_2-c_2{b}_1}{D},y=\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{D}$$

成立条件

方程组为a₁x＋b₁y＝c₁，a₂x＋b₂y＝c₂，系数为实数；所列唯一解公式仅在D≠0时成立。

从哪里来

第一式乘b₂减第二式乘b₁，得到Dx＝c₁b₂−c₂b₁；第二式乘a₁减第一式乘a₂得到Dy＝a₁c₂−a₂c₁。D为零时不能除，要另看方程矛盾还是重复限制。

适用场景与常见误用

可以用在

• 统一观察消元后的唯一解条件；平面直线交点。

要防止

• D＝0仍使用分式公式；常数项未同时加减。

补充说明与可选推广

无需先记“行列式”术语；关键是理解消元、非零条件与退化情况。

知识讲解：二元一次方程组

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一元二次方程求根公式

$$x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

成立条件

a≠0，且在实数中求根时Δ＝b²−4ac≥0；重根只给一个不同实数值。

从哪里来

原式除以a后配方，得 $(x+b/(2a){)}^2=(b^2-4ac)/(4a^2)$。当右侧非负时开平方并保留两种符号，整理得到公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解数字系数及含参二次方程。

要防止

• 漏掉一个符号；不先检查a＝0或判别式；分母漏a。

知识讲解：一元二次方程的解法

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二次方程判别式

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

成立条件

二次系数a≠0；若用于几何交点，还需等价消元及区分斜率不存在的情况。

从哪里来

配方后被开方部分的符号决定实根：Δ正有两个不同实根，零有重根，负无实根。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判断根的个数及相应抛物线与横轴的交点。

要防止

• a＝0仍按Δ判断；把形式上Δ>0当成任意消元后都有两交点。

知识讲解：一元二次方程的解法

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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平方后开根号与绝对值

$$\sqrt{a^2}=|a|$$

成立条件

a为任意实数；算术平方根约定非负。

从哪里来

a非负时结果为a；a负时结果为−a。两者都非负且平方为a²，合起来就是绝对值。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含字母根式、距离与模。

要防止

• 直接约去根号与平方而保留负值a。

知识讲解：二次根式

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实数根式的乘除规则

$$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{a/b}$$

成立条件

乘法要求a、b均非负；除法要求a≥0、b>0。

从哪里来

两边都非负，平方后分别等于ab或a/b，由非负平方根的唯一性相等。

适用场景与常见误用

可以用在

• 根式化简、约分和距离运算。

要防止

• 在实数范围对负被开方数套乘法；分母根式允许为0。

知识讲解：二次根式

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共轭有理化

$$\frac{1}{\sqrt{a}\pm \sqrt{b}}=\frac{\sqrt{a}\mp \sqrt{b}}{a-b}$$

成立条件

a、b非负且a≠b，才可使用所列共轭分式。加号情形a＝b>0时原式仍有意义，改为√a/(2a)；减号情形a＝b时原式无定义。

从哪里来

分子分母同乘共轭式，分母用平方差得到a−b；相乘的式子在指定条件下非零。

适用场景与常见误用

可以用在

• 化简含两个根式的分母。

要防止

• 不查a＝b就除以a−b；误把加号情形的a＝b>0判为原式无意义。

知识讲解：二次根式

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有两个实根时的二次符号

$$a(x-x_1)(x-x_2)>0⟺x<x_1\text{或}x>x_2$$

成立条件

所列等价要求a>0且x₁<x₂为两个不同实根。a<0、重根、无实根及a＝0均另论。

取等条件

函数等于0时为两个根。非严格不等式是否包含端点要据原题符号决定；分式模型还需排除分母零点。

从哪里来

a正时，两根外的两个因子同号，乘积正；两根之间异号，乘积负。a负时符号反转。

适用场景与常见误用

可以用在

• 二次不等式及导函数判号。

要防止

• 忽略a的符号；Δ≤0仍当成两个不同零点；漏降次。

知识讲解：一元二次不等式

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二次或退化式在全实域恒正

$$a{x}^2+bx+c>0(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})⟺(a>0,\mathrm{\Delta }<0)\text{或}(a=b=0,c>0)$$

成立条件

a、b、c为实数，允许a＝0；讨论的是所有实数x上的严格正值。

从哪里来

a>0时配方最小值为−Δ/(4a)，恒正等价于Δ<0。a<0时两端趋负不可能。a＝0但b非零时一次式可取负值；b也为0时只看常数c>0。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含参恒成立，检查常数退化情形。

要防止

• 把Δ<0放宽为Δ≤0；遗漏正常数；把一次式当成有最小值。

知识讲解：一元二次不等式

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相反数、减法与有理数除法

$$a-b=a+(-b),a÷b=a\cdot \frac{1}{b}(b\ne 0)$$

成立条件

$a,b$ 为有理数；除法要求 $b\ne 0$。

从哪里来

减去b是加上能与b相消的数；除以非零b是乘上与b乘积为1的数。两条规则把减、除转成已有的加、乘。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含负数的混合运算

• 把符号运算还原成逆运算

要防止

• 0没有倒数，不能作除数。

• 减去一个负数会变成加上正数，但括号内的运算仍须先完成。

知识讲解：有理数

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绝对值与数轴距离

$$|a|=\{\begin{array}{ll}a,& a\ge 0,\\ -a,& a<0,\end{array}d(a,b)=|a-b|$$

成立条件

数轴使用同一原点、方向和单位长度。

取等条件

分段中的a=0时两种表达均为0；距离为0当且仅当a=b。

从哪里来

a在原点右侧时距离为a；左侧时距离为−a。把b平移到原点，a的相对位置为a−b，因此两点距离为其绝对值。

适用场景与常见误用

可以用在

• 比较到原点的距离

• 温差、相对位置与绝对值计算

要防止

• 绝对值不等于总把括号原样去掉。

• 两数差可以为负，距离不能为负。

知识讲解：有理数

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平方根、算术平方根与立方根

$$\sqrt{a^2}=|a|,{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=a$$

成立条件

$a$ 为实数；$\sqrt{b}$ 在实数内要求 $b\ge 0$ 且取非负值，$\sqrt[3]{a}$ 对所有实数均定义。

从哪里来

$|a|\ge 0$ 且 $|a{|}^2=a^2$，由非负平方根唯一性可得第一式。立方函数在整个实数范围严格递增，因此等于a的立方只对应一个实数。

适用场景与常见误用

可以用在

• 区分根号值与方程根集

• 用平方或立方检验开方结果

要防止

• 正数有两个平方根但只有一个算术平方根。

• 0的平方根只有0，负数没有实数平方根。

知识讲解：实数

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由平方非负得到的两数界

$$a^2+b^2\ge 2ab$$

成立条件

a、b可为任意实数，不要求分别为正。

取等条件

当且仅当a=b时取等。

从哪里来

将左边减右边得到(a−b)²，实数平方总非负，所以不等式成立。

适用场景与常见误用

可以用在

• 控制平方和与乘积

• 从已知平方和约束求和的范围

要防止

• 本式允许负数，但不能据此取消√(ab)≤(a+b)/2对a、b的非负要求。

知识讲解：基本不等式

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绝对值不等式的内外区间

$$|u|\le r⟺-r\le u\le r,|u|\ge r⟺u\le -r\text{或}u\ge r$$

成立条件

u为实数，r≥0。严格符号的对应边界应排除；r=0和r<0时先用绝对值非负直接判断。

取等条件

|u|=r时u=±r；r=0时两端点合成唯一的0。

从哪里来

|u|是u到0的距离；不超过r位于两端点之间，至少r位于两端点以外。亦可按u≥0、u<0分别去绝对值，合并得到同样范围。

适用场景与常见误用

可以用在

• 距离约束与数轴区间

• 线性绝对值方程/不等式

要防止

• 区间内两侧用“且”，区间外两侧用“或”。

• 阈值负数或0不能机械套一张正半径图。

知识讲解：绝对值方程与不等式

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绝对值的三角不等式

$$|u+v|\le |u|+|v|$$

成立条件

u、v为任意实数；数轴距离应用需按同一参考方向写差。

取等条件

当且仅当uv≥0，即u、v同号或至少一个为0时取等。

从哪里来

两边非负，比较平方差：$(|u|+|v|{)}^2-|u+v{|}^2=2(|uv|-uv)\ge 0$，故原不等式成立。

适用场景与常见误用

可以用在

• 比较分段距离的总和

• 判断距离和最小值及取等位置

要防止

• 等号不总成立；两个方向相反且都非零时为严格不等式。

• 从一般下界到最值仍须检查取等可行。

知识讲解：绝对值方程与不等式

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复数相加与相乘

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

成立条件

a、b、c、d为实数，i²=−1。减法按实部、虚部分别相减；复数相等当且仅当两部分分别相等。

从哪里来

把a+bi视为有序实数对(a,b)。加法按坐标相加，乘法定义为(ac−bd,ad+bc)，与实数运算相容并给i²=−1。按分配律展开写法后，将i²替换为−1即得乘积公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 复数代数式的化简

• 把乘i解释为坐标(a,b)变成(−b,a)

要防止

• i²不能当作1

• 虚部是实数b，不是bi

知识讲解：复数的表示与运算

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复数除法

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

成立条件

a、b、c、d为实数，分母c+di≠0，即c、d不同时为0。

从哪里来

分子分母同时乘共轭c−di，分母变为c²+d²>0，分子展开得到(ac+bd)+(bc−ad)i。所乘共轭非零，因此是合法等价变形。

适用场景与常见误用

可以用在

• 把商整理成实部与虚部

• 核对分母为零的参数

要防止

• 不能只给分母乘共轭

• 分母c²+d²为正的前提是原复数非零

知识讲解：复数的表示与运算

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共轭与模

$$\bar{z}=a-bi,|z|=\sqrt{a^2+b^2},z\bar{z}=|z{|}^2,|zw|=|z||w|$$

成立条件

z=a+bi、w=c+di。模为复平面点到原点的距离，非负；共轭是关于实轴的反射。乘积模公式包括零复数。

从哪里来

坐标(a,b)到原点的距离由勾股给出。z乘共轭展开为a²+b²。乘法坐标满足(ac−bd)²+(ad+bc)²=(a²+b²)(c²+d²)，两边开非负平方根即得乘积模。

适用场景与常见误用

可以用在

• 几何表示与距离

• 检查乘i保持模不变

• 用共轭处理除法

要防止

• 模是实数，不能把复数本身按大小排序

• |z+w|通常不等于|z|+|w|

知识讲解：复数的表示与运算

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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加法与乘法的交换、结合律

$$a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),ab=ba,(ab)c=a(bc)$$

成立条件

适用于本页学过的非负整数与分数运算；后续可推广到实数。这里说的是加法、乘法，不是减法或除法。

从哪里来

交换两堆物品的位置不改变总数；合并三堆物品时先合哪两堆不改变总数。长方形点阵交换行列不改变点数，多层点阵的不同分组给出乘法结合律。

适用场景与常见误用

可以用在

• 交换位置或改变分组来凑整。

要防止

• 把减法、除法也当成可以任意交换或结合。

知识讲解：运算律（交换律、结合律、分配律）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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乘法分配律

$$a(b+c)=ab+ac,a(b-c)=ab-ac$$

成立条件

第二式在小学非负数情境中要求减法有意义；推广到实数时两式恒成立。

从哪里来

每组a个物品，b组与c组合并，可以先算总组数再乘，也可以分别算数量再相加。减去c组同理。逆向使用就是把相同的每组数量提出来。

适用场景与常见误用

可以用在

• 展开括号；提取相同因数；凑整简算。

要防止

• 只把a乘括号内的一项。

• 把a(b+c)误写为ab+c，或把除以一个和也分配。

知识讲解：运算律（交换律、结合律、分配律）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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最大公因数与最小公倍数的乘积

$$gcd(a,b)\mathrm{lcm}(a,b)=ab$$

成立条件

a、b为正整数；这里讨论两个数，不直接照搬到三个数。

从哪里来

把两数分解为质因数。每个质因子在最大公因数中取较小的次数，在最小公倍数中取较大的次数；较小次数加较大次数等于原来两次数之和，因此相乘后与ab有相同的质因数分解。

适用场景与常见误用

可以用在

• 检查两个正整数的公因数、公倍数计算结果。

要防止

• 未经调整就套用于三个数。

• 把公因数或公倍数当成最大、最小者。

知识讲解：因数与倍数、质数与合数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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分数基本性质

$$\frac{a}{b}=\frac{ka}{kb}$$

成立条件

分母b不为0，乘或除的同一个数k也不为0；在小学等分模型中b、k取正整数。

从哪里来

把每一份再平均分成k小份，取出的份数和总份数同时变为原来的k倍，所占整体大小不变。反向操作把相同数量的小份重新合并。 推广到实数或有意义的代数式时，也可由乘上k/k＝1得到。

适用场景与常见误用

可以用在

• 约分、通分、分数与小数/百分数换写。

要防止

• 分子分母同时加同一个数。

• 只扩大分母而保持分子不变。

知识讲解：分数与小数的意义

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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分数四则运算

$$\frac{a}{b}\pm \frac{c}{d}=\frac{ad\pm bc}{bd},\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd},\frac{a}{b}÷\frac{c}{d}=\frac{ad}{bc}$$

成立条件

b、d不为0，除法还要求c不为0。公式对有意义的实数或代数式成立；小学示例只取已学数范围内的运算。

从哪里来

加减先用共同单位1/(bd)表示两数。乘法可看作部分的部分。除法所求数乘上除数要回到被除数；乘除数的倒数满足这一要求，前提是倒数存在。

适用场景与常见误用

可以用在

• 分数混合运算；后续分式的同类运算。

要防止

• 分数相加时直接把分母相加。

• 除法把被除数颠倒，或忘记除数不能为0。

知识讲解：分数四则运算

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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等式的可逆变形

$$a=b⟺a+c=b+c,a=b⟺ka=kb(k\ne 0)$$

成立条件

两边作相同运算；乘法若要能反向恢复等式，乘数k必须非零。除法的除数必须非零。

从哪里来

加上同一个数后，再减去它可恢复原等式；乘同一个非零数后，再除以它可恢复。乘0虽仍相等，却把原来的数值信息抹掉，不能反推。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解简易方程；解释移项与去分母。

要防止

• 只改变等式一边。

• 除以0，或由0a＝0b推出a＝b。

知识讲解：用字母表示数与简易方程

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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比与比例的基本性质

$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}⟺ad=bc$$

成立条件

b、d都非零。比较有单位的同类数量时先统一单位；两个比所比较的顺序必须一致。

从哪里来

等式两边同乘非零的bd，得到ad＝bc；反向再除以bd即可恢复。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解比例；比较两组数量的相对关系。

要防止

• 忽略后项为零。

• 把红与蓝的比误当成红占总数的比例。

知识讲解：比与比例、正反比例

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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正比例与反比例关系

$$y=kx,xy=k⟺y=\frac{k}{x}$$

成立条件

本页正数量情境取k>0。反比例中x不为0；用y/x判断正比例时也需x非零，正比例关系式本身可包括原点。

从哪里来

每件价钱固定时，总价＝单价×件数；固定工作量分给同效率的人完成时，人数×时间不变。这分别给出商一定与积一定的模型。

适用场景与常见误用

可以用在

• 单价固定的费用；理想化的固定工作量和等效率任务。

要防止

• 只凭两个量同时增大就判正比例。

• 有固定费用或效率改变时仍套比例关系。

知识讲解：比与比例、正反比例

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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函数

二次函数的顶点式

$$a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$

成立条件

a≠0，x为实数；讨论受限区间时另检查顶点是否可取。

取等条件

全实域中，a>0时最小、a<0时最大，均在x＝−b/(2a)取得；受限域需重查。

从哪里来

提取a后配方，补上并减去一次项系数一半的平方，即得恒等式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求顶点、对称轴、单调性与最值。

要防止

• 把x＋3的轴读成3；不查开口方向；区间不含顶点却直接代顶点。

知识讲解：二次函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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二次函数的区间最值候选

$$\begin{array}{rl}h& =-\frac{b}{2a},C=\{f(m),f(n)\}\cup \{f(h)\mid h\in [m,n]\}\\ \underset{[m,n]}{min}f& =minC,\underset{[m,n]}{max}f=maxC\end{array}$$

成立条件

f为实二次函数，a≠0；m、n为有限实数且m≤n，区间闭合。

取等条件

a>0时最小值在最靠近轴的可取点、最大值在最远端点；a<0时互换。两端同距可同时取等，m＝n时只有一个可取点。

从哪里来

二次函数在轴的两侧分别单调。因此极值只需比较两个端点，以及允许时的顶点。开区间、空区间或退化系数不能照搬。

适用场景与常见误用

可以用在

• 固定或移动区间、含参数的最值。

要防止

• 区间为空仍计算；只比一个端点；把开区间端点当可取点。

知识讲解：二次函数含参区间最值

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单位圆定义

$$\cos \alpha =x,\sin \alpha =y,\tan \alpha =y/x$$

成立条件

P(x,y)为角α终边与单位圆交点。正弦余弦允许任意实角；正切还需x≠0。

从哪里来

锐角时单位圆半径1是直角三角形的斜边，坐标比值与原锐角边比相同；用终边坐标便可扩展到任意角。

适用场景与常见误用

可以用在

• 任意角三角函数值、符号、对称与周期。

要防止

• 把一般三角形内角误限为锐角；认为正切也对所有角有定义。

知识讲解：任意角与单位圆定义

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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同角三角函数平方关系

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

成立条件

任意实角α；两项必须是同一个角。

从哪里来

单位圆点坐标为(cosα,sinα)，代入x²＋y²＝1即得。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求另一三角函数值、恒等变形。

要防止

• 开平方时忘记象限决定符号；不同角直接相加用该式。

知识讲解：任意角与单位圆定义

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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由部分和恢复数列

$$a_1=S_1,a_n=S_n-S_{n-1}(n\ge 2)$$

成立条件

从1开始编号；若为有限数列，还需n不超过项数。

取等条件

这是恒等关系；n＝1需按首项处理，不涉及最值取等。

从哪里来

写出 $S_n=a_1+\cdots +a_n$ 和 $S_{n-1}=a_1+\cdots +a_{n-1}$，相减只剩aₙ。第一项直接从S₁读取。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由前n项和求通项，检查首项。

要防止

• 把只对正整数给出的Sn公式代入0；遗漏n＝1。

知识讲解：数列的概念（定义在正整数集上的函数）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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线性递推的平移

$$c=\frac{q}{1-p},a_n=c+p^{n-1}(a_1-c)$$

成立条件

递推为aₙ₊₁＝paₙ＋q，n为正整数；所列式取p不等于0或1。p＝1、p＝0见推导中的单独分支。

从哪里来

p不等于0、1时，选c＝pc＋q，得到aₙ₊₁−c＝p(aₙ−c)，逐次展开。p＝1时为等差列a₁＋(n−1)q；p＝0时从第二项起恒为q。若a₁＝c，保留常数解。

适用场景与常见误用

可以用在

• 一次线性递推、构造乘法递推。

要防止

• p＝1仍除以1−p；p＝0时不检查首项；平移后全零仍强称等比数列。

知识讲解：数列的概念（定义在正整数集上的函数）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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前n个正整数的平方和

$$\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$

成立条件

n为正整数。

从哪里来

将 $(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$ 从1累加到n，左侧抵消，再代入已证明的整数和并整理。完整过程见常用结论。

适用场景与常见误用

可以用在

• 平方和、分层估计与求和变形。

要防止

• 忘记起始下标或把0至n−1的和照抄。

知识讲解：等差数列与等比数列

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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指数函数的切线下界

$$e^x\ge 1+x$$

成立条件

x为任意实数。

取等条件

仅x＝0时取等。

从哪里来

令g(x)＝eˣ−x−1，其导数在0左侧为负、右侧为正，所以最小值为g(0)＝0。见完整说明。

适用场景与常见误用

可以用在

• 指数不等式估计与放缩。

要防止

• 直接反向；乘负数不变号；遗漏取等。

知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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自然对数的切线上界

$$\ln x\le x-1$$

成立条件

x>0。

取等条件

仅x＝1时取等。

从哪里来

令h(x)＝x−1−lnx，导数为(x−1)/x，先负后正，在x＝1取最小值0。也可由指数下界令变量为lnx推出。

适用场景与常见误用

可以用在

• 对数不等式估计。

要防止

• 真数非正还代入；把必要的定义域条件省略。

知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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一次函数的变化率与截距

$$y=kx+b(k\ne 0),k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},b=y_1-k{x}_1$$

成立条件

两点横坐标不同 $x_1\ne x_2$。称为一次函数还要求 $k\ne 0$；应用题的定义域由情境另外限制。

从哪里来

把两点分别代入，得 $y_1=k{x}_1+b$、$y_2=k{x}_2+b$。相减后除以非零的 $x_2-x_1$ 得k，再代回得b。对于 $x_2>x_1$，输出差的符号由k决定。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由两次观测建立线性模型

• 从每单位变化量解释斜率

• 联立求直线交点

要防止

• 竖直线不能用有限斜率k表示。

• 两点同高会得到k=0，需要改称常函数。

• 实际模型不能任意外推到未允许的输入。

知识讲解：一次函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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反比例函数的乘积与分支性质

$$y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x\ne 0),xy=k,y_2-y_1=-\frac{k(x_2-x_1)}{x_1{x}_2}$$

成立条件

k为固定非零常数；比较单调性时 $x_1<x_2$ 必须位于同一支，即同为正数或同为负数。

从哪里来

通分得 $k/x_2-k/x_1=-k(x_2-x_1)/(x_1{x}_2)$。同一支上 $x_1{x}_2>0$，故k>0时输出差为负、分别递减；k<0时分别递增。xy=k还说明两坐标同号或异号。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由点求比例系数

• 同一支上的大小比较

• 定面积、定工作量的模型

要防止

• 不能把“两支各自递减”合成在整个非零实数域递减。

• k=0不属于反比例函数。

• 反比例函数与“反函数”是不同概念。

知识讲解：反比例函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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严格单调性的定义

$$x_1<x_2⟹f(x_1)<f(x_2)\text{（严格递增）}$$

成立条件

比较对区间I内任意x₁、x₂成立，I包含于定义域；本页“递增、递减”采用严格意义。递减将输出不等号改为>。

从哪里来

输入顺序始终保持时称严格递增，始终反向时称严格递减。证明可看f(x₂)−f(x₁)的符号，但必须覆盖任意两点及所有条件。

适用场景与常见误用

可以用在

• 按定义证明单调

• 利用区间上的输入顺序比较函数值

要防止

• 几个点的数值变化不能证明整个区间单调。

• 各自区间上单调不自动推出合并范围单调。

知识讲解：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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函数奇偶性的条件

$$f(-x)=f(x)\text{（偶）},f(-x)=-f(x)\text{（奇）}$$

成立条件

定义域D须关于原点对称；相应等式对每个x∈D成立，不要求D包含0或是连续区间。

从哪里来

偶性把图像点(x,f(x))对应到(−x,f(x))，即关于y轴对称；奇性对应到(−x,−f(x))，即关于原点中心对称。代入证明前须保证两个输入都合法。

适用场景与常见误用

可以用在

• 减少对称范围内的计算

• 检查函数图像与零点的对称关系

要防止

• 表达式对称而定义域不对称时不能判奇偶。

• 零函数可同时奇、偶；含0的奇函数才必有f(0)=0。

知识讲解：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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最大值与最小值的取得

$$f(x)\le f(x_0)=M(\mathrm{\forall }x\in D)\text{（最大值）},f(x)\ge f(x_1)=m(\mathrm{\forall }x\in D)\text{（最小值）}$$

成立条件

x₀、x₁必须属于定义域D；不能只给一个所有值都低于或高于的界。

取等条件

最大值需在x₀实际取到M，最小值需在x₁实际取到m；可有多个取等输入。

从哪里来

最值的定义同时包含全称限制和存在性：全部函数值不超过M，且有一个允许输入达到M；最小值同理。开放端点可能使界无法取得。

适用场景与常见误用

可以用在

• 检查区间最值是否存在

• 区分一个上界/下界与实际最大/最小值

要防止

• 端点被排除时不能仍取端点值作最值。

• 找到一个临界点不等于它控制整个定义域。

知识讲解：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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正底数的指数运算法则

$$a^s{a}^t=a^{s+t},\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t},(a^s{)}^t=a^{st},a^0=1$$

成立条件

a>0，s、t为实数；分母aᵗ始终为正。

从哪里来

对整数指数可按相同因数的个数证明；分数指数取正根，使用整数幂法则得到相容的规则。实指数采用保持连续性与这些规则的一致扩展，本页使用其高中范围的性质，不把有限小数验证视作对所有实数的构造证明。

适用场景与常见误用

可以用在

• 指数式化简

• 指数增长与衰减模型

要防止

• 底数为负时不能无条件使用任意实指数法则。

• 乘幂是指数相加，幂的幂才是指数相乘。

知识讲解：指数函数与对数函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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对数运算法则

$${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N,{\log }_a(M/N)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N,{\log }_a(M^r)=r{\log }_{a}M$$

成立条件

a>0、a≠1，M>0、N>0，r为实数。

从哪里来

令M=aᵘ、N=aᵛ，将乘积、商、幂分别改写为aᵘ⁺ᵛ、aᵘ⁻ᵛ、aʳᵘ，再用指数与对数的唯一反向对应得到三式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 乘积或商的对数化简

• 对数方程与增长模型

要防止

• 拆分对数时须保证每个真数分别正。

• log(M+N)一般不能拆成两个对数的和。

• log(x²)在x≠0时应与2log|x|比较，不能无条件写2log x。

知识讲解：指数函数与对数函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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对数换底公式

$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

成立条件

a、b均为正且不等于1，x>0，因此log_b a≠0。

从哪里来

令y=log_a x，则aʸ=x。两侧取底b的对数，用幂的对数公式得到y log_b a=log_b x，除以非零分母即可。

适用场景与常见误用

可以用在

• 用同一底数比较或计算对数

• 解释计算器只提供常用底数也能处理其他底数

要防止

• 分母为log_b a，不要把a和x位置颠倒。

• a=1使分母为0，对数本身也失去唯一性。

知识讲解：指数函数与对数函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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弧度与角度换算

$$\theta =\frac{s}{r},{180}^{\circ }=\pi \mathrm{rad}$$

成立条件

半径r>0；s为按逆时针正方向累计的有向弧长，可含整圈；θ为弧度数。普通弧长非负时对应角的大小。

从哪里来

一整圈弧长为2πr，所以整圈的弧度数为2πr/r=2π；同一整圈为360°，故180°对应π弧度。

适用场景与常见误用

可以用在

• 把度数乘π/180转为弧度

• 用累计转角表达同终边角和三角函数周期

要防止

• 不能把180°直接当作180弧度

• 只给几何短弧时，不能忽略旋转方向与已绕过的整圈

知识讲解：任意角与单位圆定义

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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正弦、余弦与正切的周期

$$\sin (x+2\pi )=\sin x,\cos (x+2\pi )=\cos x,\tan (x+\pi )=\tan x$$

成立条件

x以弧度计。正弦、余弦定义域为实数集，正切排除x=π/2+kπ（k为整数）。基本正弦、余弦的最小正周期为2π，基本正切为π。

从哪里来

整圈旋转恢复两个坐标；半圈使两个坐标同时反号，因此比值恢复。若T是正弦的周期，取x=0得sinT=0，再取x=π/2得cosT=1，故T为2π的整数倍。余弦取x=0同样要求cosT=1。正切取x=0要求tanT=0，因此T为π的整数倍。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判断一整周期的位置

• 区分正切分支与正弦余弦图像

要防止

• 不能把正弦的π相移当成完整周期

• 正切的未定义点不能用连线补齐

知识讲解：三角函数的图象与性质

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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正弦型图像的振幅、周期与平移

$$f(x)=A\sin (\omega x+\phi )+D=A\sin (\omega (x-h))+D,h=-\frac{\phi }{\omega },T=\frac{2\pi }{|\omega |}$$

成立条件

A≠0、ω≠0，x和相位以弧度计。振幅为|A|，值域为[D−|A|,D+|A|]。相对A sin(ωx)+D平移h：h>0向右，h<0向左。

从哪里来

提出ω得到ω(x−h)。x增加2π/|ω|时角增加或减少2π，恢复函数值；任何更小正周期会与基本正弦的最小正周期矛盾。sin值从−1到1，乘A并加D给出完整值域，A<0时只是上下翻转。

适用场景与常见误用

可以用在

• 根据周期反求频率系数

• 确定相位平移与振幅

要防止

• A=0或ω=0时是常函数，不能照用最小正周期公式

• 相位φ通常不是水平平移量，必须除以ω

知识讲解：三角函数的图象与性质

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

两角和差公式

$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

成立条件

α、β为实角，角的单位一致；正弦、余弦没有除零限制。

从哪里来

单位圆点P(α)、Q(β)的距离平方为2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)。同时旋转−β后，Q变为(1,0)，同一距离平方为2−2cos(α−β)，相等得到余弦差角式。用−β替换β得余弦和角；再用sinθ=cos(π/2−θ)与余弦差角式推得正弦和角，最后替换−β得正弦差角。

适用场景与常见误用

可以用在

• 计算可拆成特殊角的函数值

• 合并同频正弦与余弦

要防止

• sin(α+β)一般不等于sinα+sinβ

• 余弦公式中的配对符号与正弦不同

知识讲解：三角恒等变换

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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倍角与降幂关系

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$$

成立条件

x为任意实角，单位一致。涉及再开平方时须另按角的范围确定正负号。

从哪里来

在和角公式中取两个角都为x，得到sin2x与cos2x；再用sin²x+cos²x=1消去其中一种平方，得到另外两种余弦倍角形式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 将二次三角式改成倍角

• 由已知同角数值求倍角值

要防止

• sin2x不是2sinx

• 由sin²x求sinx时不能无条件选正平方根

知识讲解：三角恒等变换

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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正切和角公式

$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$

成立条件

要求cosα、cosβ、cos(α+β)均非零；等价于两个单角正切有意义且分母1−tanαtanβ非零。

从哪里来

用sin(α+β)/cos(α+β)，分别代入和角公式，再在分子分母中同除非零的cosαcosβ。条件同时保证每一个中间比式和最后的比式有意义。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求特殊和角的正切值

• 在完整定义域内进行恒等变形

要防止

• 和角有意义不保证单角正切也有意义

• 分母为0时不能继续当作一个实数计算

知识讲解：三角恒等变换

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同频正弦与余弦的合并

$$A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\phi ),R=\sqrt{A^2+B^2},\cos \phi =\frac{A}{R},\sin \phi =\frac{B}{R}$$

成立条件

A、B不同时为0，故R>0；φ的正弦、余弦须同时匹配，不能只由一个比值猜象限。若A=B=0，原式恒为0，单独处理。

从哪里来

A/R与B/R的平方和为1，可作为同一单位圆点的两个坐标，故存在相应φ。展开Rsin(x+φ)并分别代入两坐标，恰得Asinx+Bcosx。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求同频三角组合的值域与最值

• 解释合并后的振幅

要防止

• 最大值一般不是|A|+|B|

• 只用tanφ=B/A会忽略A=0及象限信息

知识讲解：三角恒等变换

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等差通项与前n项和

$$a_n=a_1+(n-1)d,S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=n{a}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$$

成立条件

n为正整数，有限数列还要求n不超过总项数。d可为任意实数，d=0为常数列。

从哪里来

从首项到第n项共加n−1次d，得到通项。将前n项和正序与倒序相加，每列都是a₁+aₙ，共n列，所以2Sₙ=n(a₁+aₙ)。n为奇数时也成立，因为相加的是两个完整的和。

适用场景与常见误用

可以用在

• 已知相隔两项求公差和首项

• 固定增加量的有限累加

要防止

• 首项到第n项只有n−1次变化

• 不能把非等差数列直接倒序配成相同列和

知识讲解：等差数列与等比数列

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等比通项与有限和

$$a_n=a_1{q}^{n-1},S_n=\{\begin{array}{ll}n{a}_1,& q=1,\\ a_1{\displaystyle \frac{1-q^n}{1-q}},& q\ne 1.\end{array}$$

成立条件

通常等比数列约定a₁≠0、q≠0；n为正整数。负公比也合法。只讨论有限和，不作无穷求和结论。

从哪里来

连续乘n−1次q得通项。写Sₙ=a₁+a₁q+⋯+a₁qⁿ⁻¹，与qSₙ错位相减，得到(1−q)Sₙ=a₁(1−qⁿ)。q≠1才能相除；q=1时每一项都是a₁，直接得到na₁。

适用场景与常见误用

可以用在

• 固定倍数的增长与衰减

• 含负公比的交替变号数列

要防止

• q=1时不能除以1−q

• 通项和部分和不同

• 零项会使相邻项之比无定义

知识讲解：等差数列与等比数列

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一点处的导数

$$f^{\prime }(x_0)=\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

成立条件

f在x₀的一个开邻域有定义，h≠0，左右趋近得到同一个有限极限。端点单侧导数须另行说明。

从哪里来

差商是两点之间的平均变化率。当时间或输入间隔趋于0而差商趋于一个确定有限值时，以此定义局部变化率。可导还推出连续：f(x₀+h)−f(x₀)=h乘差商，右侧趋于0。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由平均速度过渡到瞬时速度

• 检查尖点两侧是否给出同一斜率

要防止

• h趋于0不等于直接令分母为0

• 左右结果不同或无有限极限时不能称可导

• 连续不一定可导

知识讲解：导数的概念与运算

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常数与基本幂函数的导数

$$(C{)}^{\prime }=0,(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1},(1/x{)}^{\prime }=-1/x^2,(\sqrt{x}{)}^{\prime }=1/(2\sqrt{x})$$

成立条件

C为常数。幂公式此处先取正整数n；1/x要求x≠0，平方根的公式要求x>0。一般实数幂xᵅ可在x>0用指数、对数及复合规则推出。

从哪里来

常数的差商为0。对正整数n，利用uⁿ−vⁿ=(u−v)(uⁿ⁻¹+uⁿ⁻²v+⋯+vⁿ⁻¹)，差商成为n项，令h趋于0得nxⁿ⁻¹。倒数的差商为−1/[x(x+h)]；平方根差商有理化为1/[√(x+h)+√x]，在规定定义域取极限即得。

适用场景与常见误用

可以用在

• 多项式求导

• 倒数、根式的局部变化率

要防止

• 平方根在0处不能使用含√x的分母公式

• 导数的适用范围不应大于原函数范围

知识讲解：导数的概念与运算

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指数与对数的导数

$$(e^x{)}^{\prime }=e^x,(a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a,(\ln x{)}^{\prime }=1/x,({\log }_{a}x{)}^{\prime }=1/(x\ln a)$$

成立条件

指数底数a>0；对数底数另外要求a≠1、真数x>0。e选为满足limₕ→₀(eʰ−1)/h=1的自然底数，基本极限的存在性在这里作为分析结论使用。

从哪里来

指数差商提取eˣ，剩余基本极限为1。令t=ln(x+h)−ln x，则h=x(eᵗ−1)，故对数差商t/h趋于1/x。一般底数由aˣ=eˣˡⁿᵃ、换底公式与复合规则得到。上述推导使用指数与对数的连续性，不以数值试算证明极限存在。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含指数或对数的增长率

• 根据底数和真数检查符号

要防止

• logₐx求导不能漏ln a

• 对数公式不能用于非正真数

知识讲解：导数的概念与运算

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正弦、余弦与正切的导数

$$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x,(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x,(\tan x{)}^{\prime }=1/{\cos }^{2}x$$

成立条件

x使用弧度。正切要求cos x≠0。用角度数作变量时须另乘π/180。

从哪里来

在弧度制下，扇形比较给sin h/h趋于1；用1−cos h=2sin²(h/2)得(cos h−1)/h趋于0。将正弦、余弦差商用和角公式展开，分别得到cos x、−sin x。正切由sin x/cos x及商法则推出。

适用场景与常见误用

可以用在

• 三角函数斜率与变化率

• 复合角的链式求导

要防止

• 不要漏余弦导数的负号

• 角度制数值不能直接套弧度导数

知识讲解：导数的概念与运算

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和、积、商的求导规则

$$(u+v{)}^{\prime }=u^{\prime }+v^{\prime },(uv{)}^{\prime }=u^{\prime }v+u{v}^{\prime },{\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }=\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}$$

成立条件

u、v在所求点可导；商法则另要求v在该点非零，连续性保证附近也非零。常数倍可提出。

从哪里来

和的差商直接拆开。积的增量写为[u(x+h)−u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)−v(x)]，除h后取极限，利用可导蕴含连续。商的差商通分，分子按同样方法拆开，分母趋于v²，非零才能相除。

适用场景与常见误用

可以用在

• 多项式与函数乘积

• 分式求导并保留原定义域

要防止

• 积的导数不是导数的积

• 商法则分子有次序且分母要平方

知识讲解：导数的概念与运算

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复合函数的求导规则

$$[f(g(x)){]}^{\prime }=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$$

成立条件

g在x₀可导，f在g(x₀)可导，复合函数在x₀附近有定义。内层增量可能为0，不能把除以内层增量作为无条件步骤。

从哪里来

把可导性写成增量形式：f(u+Δu)−f(u)=f′(u)Δu+r(Δu)Δu，其中r(t)趋于0，并令r(0)=0。除以Δx后，Δu/Δx趋于g′(x₀)，Δu趋于0，误差乘积趋于0，得到链式规则。即使某些Δu=0也合法。

适用场景与常见误用

可以用在

• 线性内层与幂、指数、对数复合

• 一般实数幂在正数域求导

要防止

• 不能漏乘内层导数

• 不是先分别求导再任意复合

知识讲解：导数的概念与运算

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可导曲线的切线方程

$$y-f(x_0)=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)$$

成立条件

f在x₀具有有限导数。直线过曲线上P(x₀,f(x₀))，其斜率为f′(x₀)。从曲线外一点作切线时，切点应另设。

从哪里来

割线斜率的有限极限是导数，用点斜式写过P且具有这个斜率的直线。导数不存在时不能直接套用；某些曲线仍可能有竖直切线，需要另定义和讨论。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求指定曲线点处的切线

• 检查切点坐标与斜率一致

要防止

• 外点的横坐标不能直接当切点横坐标

• 斜率0仍能给出水平切线

知识讲解：导数的概念与运算

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导数符号与区间单调性

$$f^{\prime }\ge 0\Rightarrow f\text{不减},f^{\prime }>0\Rightarrow f\text{严格递增}$$

成立条件

在一个区间上使用；闭端点须连续，内部可导。负号情形对应不增、严格递减。f′≥0不自动保证严格递增；严格递增也不要求每一点导数都严格为正。

取等条件

不减结论中，对x₁<x₂，f(x₂)=f(x₁)当且仅当f在[x₁,x₂]恒定；在此段内部可导时等价于内部导数恒为0。单点导数为0不表示函数恒定。

从哪里来

对区间内任意x₁<x₂，中值定理给f(x₂)−f(x₁)=f′(ξ)(x₂−x₁)，其中ξ在两点之间，因此导数的符号控制函数差的符号。中值定理作为分析依据使用，不以画图或有限采样代替。若导数非负，且不在任何非空子区间恒为0，则函数严格递增。

适用场景与常见误用

可以用在

• 列导数符号表

• 把含参单调问题转成全区间条件

要防止

• 不能跨越定义域缺口合并单调区间

• x³严格递增但在0处导数为0

• 一处导数为正只描述局部，不能推出全域递增

知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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内点极值的必要条件与变号判定

$$\text{可导内点极值}\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=0$$

成立条件

必要条件要求x₀是定义域内点且在此可导。若f在x₀连续、在其左右邻域可导，导数由正变负则为局部极大，由负变正则为局部极小。

从哪里来

以局部极大为例，右差商非正、左差商非负；两侧同趋于导数，故导数只能为0。反向仅导数为0不足，须结合邻域函数变化；导数变号时由单调性可比较x₀两侧的函数值。

适用场景与常见误用

可以用在

• 筛选驻点并核对极值

• 区分必要条件和充分条件

要防止

• x³在0处导数为0却没有极值

• |x|在0有极小值却不可导

• 端点最值不能只用内点必要条件筛选

知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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闭区间最值的候选点

$$\underset{[a,b]}{max}f,\underset{[a,b]}{min}f:a,b,f^{\prime }(x)=0\text{及内部不可导点}$$

成立条件

a<b，f在[a,b]连续。列出的候选可能是一个集合而不是有限个点；常见初等题中候选有限时逐一比较。若区间开闭或连续性不同，须另判断最值能否取到。

从哪里来

连续函数在有界闭区间能取得最值，这是使用的分析结论。若最值点在内部且可导，内点极值必要条件给导数为0；其他可能是端点或内部不可导点。把所有候选的函数值比较，不能只比较导数。

适用场景与常见误用

可以用在

• 从局部变化寻找全局最值

• 优化模型中检查端点与可行域

要防止

• 漏掉端点或不可导点

• 开区间上仅有上界不等于存在最大值

知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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图形与几何

非竖直弦长公式

$$|PQ|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|=\sqrt{1+k^2}\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|A|}$$

成立条件

直线y＝kx＋m斜率存在，等价消元得到Ax²＋Bx＋C＝0，A≠0且Δ>0，有两个不同实交点。

从哪里来

纵坐标之差为k倍横坐标之差，距离公式给出第一式。再用(x₁−x₂)²＝(x₁＋x₂)²−4x₁x₂及韦达得到Δ/A²；开方保留|A|。

适用场景与常见误用

可以用在

• 弦长、面积底边、中点弦相关问题。

要防止

• 漏竖直线；消元降次后仍除以A；漏两交点条件；丢绝对值。

知识讲解：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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平面两点的中点坐标

$$M=(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$$

成立条件

两端点坐标为实数；竖直线也适用，重合点时中点即该点。

从哪里来

沿连接两点的线段走一半，横坐标与纵坐标的增量也各取一半，得到两个坐标的平均。

适用场景与常见误用

可以用在

• 中点、点差法与弦的几何条件。

要防止

• 只取横坐标平均；认为竖直线不能求中点。

知识讲解：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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Cauchy–Schwarz不等式

$${(\sum a_i{b}_i)}^2\le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$$

成立条件

同样正整数个数的两组实数；不要求各项为正。

取等条件

b组不全为0时须存在同一实数t使aᵢ＝tbᵢ；b组全为0时也取等。

从哪里来

右边减左边等于 $\sum _{i<j}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$，非负。展开证明及应用见常用结论。

适用场景与常见误用

可以用在

• 向量夹角的范围；约束下的平方和最值。

要防止

• 只写下界不检查取等；遗漏零向量情形；复数情形直接使用没有共轭的实数公式。

知识讲解：平面向量

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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坐标平移与轴对称

$$(x,y)\stackrel{\text{平移}(h,k)}{\to }(x+h,y+k),(x,y)\stackrel{x\text{轴对称}}{\to }(x,-y),(x,y)\stackrel{y\text{轴对称}}{\to }(-x,y)$$

成立条件

使用固定的平面直角坐标系；h、k分别是沿正x、正y方向的带符号位移。

从哪里来

水平、竖直位移分别相加。轴对称保持沿轴方向的位置，并把垂直于轴的位移变成相反数，所以得到两条对称规则。

适用场景与常见误用

可以用在

• 逐点平移图形

• 从已知点作关于坐标轴的对称点

要防止

• 不要交换x、y的位置。

• 两坐标同时变号是关于原点的中心对称。

知识讲解：平面直角坐标系

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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点到坐标轴的距离

$$d(P,x\text{轴})=|y|,d(P,y\text{轴})=|x|(P=(x,y))$$

成立条件

两轴垂直，坐标单位与距离单位对应。

从哪里来

从P向x轴作垂线，垂足为(x,0)，竖直距离为|y−0|；向y轴作垂线同理。

适用场景与常见误用

可以用在

• 读点的位置与轴距

• 求水平或竖直线段长度

要防止

• 轴距取绝对值，不能为负。

• 横坐标描述水平位置，所以用于到y轴的距离。

知识讲解：平面直角坐标系

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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三角形内角和与外角

$$A+B+C={180}^{\circ },C_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}=A+B$$

成立条件

平面欧氏几何中的非退化三角形；外角取内角C的邻补角。

从哪里来

过一个顶点作对边平行线，将另两内角通过内错角移到该顶点，三角拼成平角。外角与C互补，减去C便得外角等于另两内角之和。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求缺失角

• 把外角关系转为方程

要防止

• 一般相邻角未必互补。

• 内角必须为正，两个直角不能组成非退化三角形。

知识讲解：相交线、平行线与三角形初步

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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三角形三边条件

$$a+b>c,a+c>b,b+c>a$$

成立条件

a、b、c为正数，讨论非退化三角形。

从哪里来

经第三个顶点的折线路径比两端直线段长，因此任意两边之和大于第三边。反过来，在这些严格条件下以两端为圆心作给定半径的圆，会在直线两侧相交，能构成三角形。

适用场景与常见误用

可以用在

• 检验三条线段能否成三角形

• 确定未知边长的范围

要防止

• a+b=c时只有共线退化形。

• 检验时可将边排序，只检验两短边之和大于最长边，但仍需正边长。

知识讲解：相交线、平行线与三角形初步

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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勾股定理与逆定理

$$a^2+b^2=c^2⟺C={90}^{\circ }$$

成立条件

a、b、c为同一非退化平面三角形的边长，C是c的对角。

从哪里来

正向：四个直角三角形拼成边长a+b的正方形，中央为边长c的正方形，$(a+b{)}^2=2ab+c^2$。逆向：构造直角边a、b的直角三角形，其斜边由正向结论等于c；由SSS与原三角形全等，原角C为90°。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求直角三角形边长

• 判断给定三边是否对应直角三角形

• 计算矩形对角线和坐标距离

要防止

• 必须标清斜边，不是任意一边的平方等于另两边平方和。

• 长度取正；边长不构成三角形时不能讨论其内角。

知识讲解：勾股定理与逆定理

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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直角三角形的射影关系（可选）

$$C{H}^2=AH\cdot HB,A{C}^2=AB\cdot AH,B{C}^2=AB\cdot HB$$

成立条件

三角形ABC在C处直角，CH垂直斜边AB，H在AB内部，边长均为正。本条作为相似应用的可选拓展。

从哪里来

三角形ACH、CBH、ABC两两具有一个相等锐角及一个直角，故由AA相似。按对应边比例交叉相乘，分别得到三式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 用斜边上的两段求高

• 把面积、边长与相似联系起来

要防止

• 任意三角形的高不满足这组三式。

• 写比例前先核对对应顶点，不能随意交叉相乘。

知识讲解：勾股定理与逆定理

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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相似比、周长比与面积比

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k,\frac{L_1}{L_2}=k,\frac{S_1}{S_2}=k^2$$

成立条件

△ABC∽△DEF，均非退化，k>0；所有比使用同一对应方向。

从哪里来

对应边均是另一边的k倍，三边相加得到周长比k。相似缩放也将对应高变为k倍，底乘高的一半因而乘k²。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求对应边与周长

• 利用面积比反求边长比

• 地图、模型与影长测量

要防止

• 面积比不是相似比本身。

• 同样的形状但尺度不同，只能称相似，不能自动称全等。

知识讲解：相似三角形

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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内角平分线分边比例（可选）

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$$

成立条件

△ABC非退化，AD平分内角A，D在BC内部；本条为相似应用的可选拓展。

从哪里来

作B、C到直线AD的垂线。以AB、AC为斜边的两个小直角三角形具有相等的A处半角，由AA相似，得到两条高之比为AB/AC。△ABD与ACD共用底AD，面积比等于这两条高之比；它们又共用从A到BC的高，面积比等于BD/DC。两种面积比相等即得结论。

适用场景与常见误用

可以用在

• 已知两邻边与对边求分点

• 把角平分线、相似与面积联系起来

要防止

• 内角平分线不一定是中线。

• 不能把本比例与点到两边距离相等的性质混为同一句定理。

知识讲解：相似三角形

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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锐角三角函数的边比

$$\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c},\tan A=\frac{a}{b}$$

成立条件

非退化直角三角形中，0°<A<90°；a为A的对边，b为A的邻边，c为斜边，三边均正。

从哪里来

具有同一锐角的直角三角形由AA相似，三组对应边同步缩放，因此上述边比仅由角A决定，可以作为角的函数定义。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解直角三角形

• 高度、坡度、仰角与俯角模型

要防止

• 对边与邻边取决于所选锐角；斜边由直角决定。

• 锐角定义不直接覆盖0°、90°与钝角。

知识讲解：锐角三角函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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同角与余角关系

$${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1,\tan A=\frac{\sin A}{\cos A},\sin ({90}^{\circ }-A)=\cos A$$

成立条件

本页0°<A<90°，正弦、余弦为正；正切的分母不能为0。

从哪里来

将勾股定理a²+b²=c²除以c²得到平方关系；边比相除得到正切。两个锐角互余，交换目标角时对边邻边互换，从而得到余角关系。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由一个三角函数值求其他值

• 核对边比与角的对应

要防止

• 从平方关系开方时要按角的范围选符号。

• sin(2A)一般不等于2sinA。

知识讲解：锐角三角函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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30°、45°、60°的常用值

$$\begin{array}{cccc}A& {30}^{\circ }& {45}^{\circ }& {60}^{\circ }\\ \sin A& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos A& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2}\\ \tan A& \frac{\sqrt{3}}{3}& 1& \sqrt{3}\end{array}$$

成立条件

角度采用度数制；这里只列30°、45°、60°三个锐角。

从哪里来

等腰直角三角形取直角边1、1，斜边为 $\sqrt{2}$，得到45°各值。边长2的等边三角形作高，分出斜边2、短直角边1、长直角边 $\sqrt{3}$ 的直角三角形，得到30°和60°各值。

适用场景与常见误用

可以用在

• 特殊角的精确计算

• 由标准三角形理解三角函数的取值

要防止

• 注意30°与60°的正弦、余弦互换。

• 不能用角度数字本身代替函数值。

知识讲解：锐角三角函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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同弧的圆周角与圆心角

$$\mathrm{\angle }APB=\frac{1}{2}\theta$$

成立条件

A、B、P为圆上三个互异点，θ是沿不含P的弧AB所取的圆心角度数，可为优角；不能总取两半径间较小角。

从哪里来

连接OP、OA、OB，利用半径相等的等腰三角形。O在∠APB内部时，设两部分为α、β，θ=360°−(180°−2α)−(180°−2β)=2(α+β)。O在角外时用两等腰三角形对应角之差，得θ=2|α−β|；一边经过O时，用180°减去另一个中心角，同样得二倍关系。

适用场景与常见误用

可以用在

• 同弧角度换算

• 证明直径所对圆周角为直角

要防止

• 必须说明哪一段弧不含P。

• P与弧端点重合时圆周角不定义。

知识讲解：圆

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圆的弦长与圆心距

$$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$$

成立条件

r>0，d是圆心到弦所在直线的垂距，0≤d<r；d=r仅有一个切点，不是两端不同的弦。

从哪里来

d>0时用两个直角三角形的HL全等证明垂线平分弦，勾股定理得到半弦平方r²−d²。d=0时弦是直径，公式给2r，与定义相符。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由弦距求弦长

• 比较同圆中弦长与离圆心距离

要防止

• d是垂距，不是到任意弦端点的距离。

• 开方后得到半弦，须乘2。

知识讲解：圆

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切线的半径条件

$$l\text{在}P\text{处切圆}⟺P\in l,OP\perp l$$

成立条件

P已知在以O为圆心、r>0的圆上。

从哪里来

经过P并垂直OP时，对l上其他点Q，OQ²=r²+PQ²>r²，所以只交于P。反之若切线不垂直OP，圆心到l的垂距就小于r，按弦距关系应有两个交点，与相切矛盾。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判断或证明切线

• 由切线形成直角三角形

要防止

• 经过圆上指定点与垂直条件必须同时存在。

• 从图上看着相切不是证明。

知识讲解：圆

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外点割线积与内点弦积（可选）

$$PA\cdot PB=\{\begin{array}{ll}O{P}^2-r^2,& P\text{在圆外},\\ r^2-O{P}^2,& P\text{在圆内}.\end{array}$$

成立条件

P、A、B共线，A、B是不同交点；取正线段长。外点时P、A、B按近远排列；内点时P在AB内部。圆心O、半径r。

从哪里来

作圆心到割线的垂线OH，令PH=u、HA=HB=s、OH=h，则s²=r²−h²且OP²=u²+h²。外点时u>s，乘积(u−s)(u+s)=OP²−r²；内点时s>u，乘积(s−u)(s+u)=r²−OP²。任意割线均给同一值；外点切线段PT还满足PT²=OP²−r²。

适用场景与常见误用

可以用在

• 外点两割线与切线段

• 圆内相交弦计算

要防止

• 内外点的正长度积公式符号不同，不能混用。

• 外点用近段乘从P到远点的整段，不是近段乘圆内弦段。

知识讲解：圆

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菱形的对角线面积公式

$$S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2$$

成立条件

d₁、d₂为非退化菱形两条对角线的正长度；菱形对角线互相垂直且平分。

从哪里来

对角线分出四个全等直角三角形，每个面积为(d₁/2)(d₂/2)/2；四个相加得到d₁d₂/2。

适用场景与常见误用

可以用在

• 已知菱形对角线求面积

• 正方形对角线与面积的联系

要防止

• 任意不垂直对角线的四边形不能直接套此式。

• 对角线与半对角线的长度不要混用。

知识讲解：四边形的性质与判定

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关于原点的特殊角旋转

$$R_{{90}^{\circ }}(x,y)=(-y,x),R_{-{90}^{\circ }}(x,y)=(y,-x),R_{{180}^{\circ }}(x,y)=(-x,-y)$$

成立条件

旋转中心是原点，正角为逆时针、负角为顺时针。

从哪里来

逆时针90°将x轴正方向转为y轴正方向，将y轴正方向转为x轴负方向，得到(−y,x)。逆变换得到顺时针规则；连续两次90°得到两坐标都变号。

适用场景与常见误用

可以用在

• 按方向旋转点或图形

• 检查复合变换和中心对称

要防止

• 中心不在原点时，须先平移中心到原点，旋转后再移回。

• 符号与坐标次序都不可遗漏。

知识讲解：轴对称、平移与旋转

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关于平行于坐标轴的直线对称

$$(x,y)\stackrel{x=h}{\to }(2h-x,y),(x,y)\stackrel{y=k}{\to }(x,2k-y)$$

成立条件

箭头表示关于指定直线的轴对称，不是平移；h、k为固定实数。

从哪里来

关于x=h对称保持纵坐标，两横坐标的平均必须为h，故x′=2h−x；另一式交换横纵方向同理。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求非坐标轴的平行对称轴像点

• 由对应点反求对称轴

要防止

• 只把坐标变号是h=0或k=0的特殊情形。

• 轴上点是它自身的像点。

知识讲解：轴对称、平移与旋转

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平行平面上的中心投影比例

$$\frac{H}{h}=\frac{D}{d}$$

成立条件

点光源；物体尺寸h位于与屏幕平行的平面内。d、D分别为光源到物体平面、屏幕的垂距，D>d>0；H为对应影像尺寸。

从哪里来

从光源连物体的两个端点并延长到屏幕，平行截面产生相似三角形。对应线性尺度的比与两个平面到光源的垂距比相同，因此H/h=D/d。

适用场景与常见误用

可以用在

• 理解影子大小随位置变化

• 在给定理想模型中求影长

要防止

• 不能把物体到屏幕的距离代替光源到屏幕的距离。

• 物体平面与屏幕不平行时，不能直接沿用该统一尺度。

知识讲解：投影与三视图

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平面向量的坐标运算与模

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\lambda \overrightarrow{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1),|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$

成立条件

a=(x₁,y₁)、b=(x₂,y₂)在同一平面直角坐标系中，两轴单位长度一致；λ为实数，允许零向量。

从哪里来

位移的横、纵分量分别相加或按倍数缩放，得到加法与数乘。模是起点到终点的距离，由勾股定理为√(x₁²+y₁²)；因此|λa|=|λ||a|。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由起终点求位移与长度

• 用分量表示平行四边形加法

要防止

• 模长不是两个分量直接相加

• 负系数改变方向，模长仍非负

知识讲解：平面向量

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平面向量数量积与夹角

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2,\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$$

成立条件

坐标点积适用于零向量；夹角公式只在a、b均非零时使用，θ取[0,π]。坐标轴垂直且单位长度相同。

从哪里来

展开得2a·b=|a|²+|b|²−|a−b|²。同时旋转两向量保持这三个长度，故保持坐标点积。旋转到a沿x轴正向时，a=(|a|,0)，b的横分量为|b|cosθ，坐标点积便是|a||b|cosθ；再同除正的模长乘积。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判断夹角或求角的余弦

• 通过模的平方联系边长和点积

要防止

• 零向量不能代入夹角除式

• a·b是数，不能随意把向量当普通非零数约去

知识讲解：平面向量

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平行与垂直的坐标判定

$$\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}⟺x_1{y}_2-y_1{x}_2=0,\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$$

成立条件

这里a、b均为非零平面向量。零向量的坐标点积仍有定义，但不使用方向夹角来判断。

从哪里来

平行意味着a=λb，从而交叉乘积相等；反之，取b的一个非零分量作除数，交叉等式给出另一分量也有相同比例。垂直等价于夹角为π/2，利用非零模长与cosθ=0即可。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含参平行或垂直条件

• 处理某个分量为0的向量

要防止

• 不能无条件写两个分量的比，因为某个分母可能为0

• 平行用交叉差，垂直用点积，不要互换

知识讲解：平面向量

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余弦定理

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

成立条件

非退化三角形，a、b、c分别是A、B、C的对边，a、b、c>0，角A在(0,π)。已知b、c时A是它们的夹角。

从哪里来

取向量AB与AC，模分别为c、b，夹角为A。BC=AC−AB，坐标展开得到|BC|²=|AC|²+|AB|²−2AB·AC，再用已建立的数量积夹角关系得到公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 两边及夹角求第三边

• 三边反求角并检查几何可行性

要防止

• 非夹角不能直接放在两个已知边的乘积旁

• 三条任意正数未必构成三角形

知识讲解：解三角形（正弦定理、余弦定理）

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正弦定理与外接圆

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

成立条件

非退化三角形，三边与各自对角对应；内角在(0,π)，正弦均为正。R为外接圆半径。

从哪里来

对边a=BC，取外接圆直径BD。若BC不是直径，直角三角形BCD给a=2Rsin∠BDC；圆周角性质使∠BDC与A相等或互补，正弦均相同。若BC是直径，则A=90°且a=2R，仍成立。对另两条边同理。

适用场景与常见误用

可以用在

• 两角和一边求其他边

• 判断SSA是否有解及是否有两解

要防止

• 不能错配边与对角

• 由正弦值反求角要保留互补候选，再检查三角形角和

知识讲解：解三角形（正弦定理、余弦定理）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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三角形面积的三角表示

$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$$

成立条件

非退化三角形，使用两边及它们的夹角，边长为正。S表示普通非负面积。

从哪里来

以AB=c为底，C到直线AB的距离为b sinA。A为钝角时，垂足落在延长线上，但sin(π−A)=sinA，距离公式仍成立；直角情形也直接成立。因此S=ch/2=bc sinA/2，轮换顶点得到其余形式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由两边及夹角求面积

• 与正弦定理连接面积和外接圆

要防止

• 不能用一条斜边代替对应高

• 角不是所乘两边的夹角时不能直接代入

知识讲解：解三角形（正弦定理、余弦定理）

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线面平行的判定

$$m\subset \alpha ,\ell \not\subset \alpha ,\ell \parallel m⟹\ell \parallel \alpha$$

成立条件

m、l为直线，α为平面。l不包含在α内；l∥α表示没有公共点。

从哪里来

若l与α交于P，平面α内过P且平行m的直线唯一，应与l重合，从而l包含在α中，与条件矛盾。故没有交点。

适用场景与常见误用

可以用在

• 用平面内的一条平行线证明线面平行

要防止

• 不能遗漏直线不在平面内

• 只有方向平行而无位置条件时，直线也可能包含在平面内

知识讲解：立体几何初步

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线面垂直的判定

$$m,n\subset \alpha ,m\cap n=\{O\},\ell \perp m,\ell \perp n⟹\ell \perp \alpha$$

成立条件

m、n为平面内两条不同且相交的直线；空间直线垂直指方向所成角为90°。可将l平行移过O后证明。

从哪里来

平移至O后的l不能包含在α内，否则m、n会是同一平面内过O且都垂直l的同一条线，违背相交且不同。过O在l两侧取等距点U、V。U、V到m上任一点M、n上任一点N的距离分别相等。对平面内不在m、n上的点R，选M、N使R在MN上，由三角形UMN与VMN的SSS全等，再用SAS得到UR=VR；由UOR与VOR全等，两邻补角相等，均为90°。因此过O的每个平面内方向都与l垂直。平移不改变方向，得到一般情形。

适用场景与常见误用

可以用在

• 证明垂线段与点面距离

• 由两条相交棱的直角推得线面垂直

要防止

• 两条平行直线不提供两个独立方向

• 图上看起来垂直不是已知条件

知识讲解：立体几何初步

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面面平行的判定

$$m,n\subset \alpha ,m\cap n=\{P\},m\parallel \beta ,n\parallel \beta ⟹\alpha \parallel \beta$$

成立条件

m、n是α内两条不同相交直线，且分别与β没有公共点。

从哪里来

若α、β相交于直线g，那么α内m、n都与g无公共点，于是都平行g，互相平行，违背它们相交。两平面也不能重合，因为m、n均不在β中。因此两平面平行。

适用场景与常见误用

可以用在

• 以两组中位线或对应棱证明平面平行

要防止

• 一条直线平行于两个平面不够

• 平面内两条平行线也不能替代两条相交线

知识讲解：立体几何初步

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面面垂直的一个判定

$$\ell \subset \alpha ,\ell \perp \beta ⟹\alpha \perp \beta$$

成立条件

α包含一条垂直β的直线l；所判定的是两个平面垂直。

从哪里来

l在β上的垂足O属于α与β的交线。在β内过O作垂直交线的直线m，l本身也垂直交线；两平面的一个二面角平面角由l与m组成，因l⊥β而为90°。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由线面垂直推出面面垂直

要防止

• 反过来两个平面垂直，并不表示一面内每条直线都垂直另一面

知识讲解：立体几何初步

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棱柱与棱锥的体积

$$V_{\text{棱柱}}=Sh,V_{\text{棱锥}}=\frac{1}{3}Sh$$

成立条件

S为底面积，h为两平行底面间或顶点到底面的垂直高度；非退化几何体取S>0、h>0。斜棱柱、斜棱锥也用垂直高度。

从哪里来

棱柱的平行截面等面积，薄层求和得到Sh。棱锥从顶点到截面的距离占总高t时，截面与底面相似，面积为t²S。用等高薄柱从内外夹住，并用平方和公式，体积与Sh的比都趋近1/3。实验可帮助认识，严格比值来自截面缩放与夹逼。

适用场景与常见误用

可以用在

• 按底面积和高计算体积

• 区分侧棱与垂直高度

要防止

• 棱锥漏掉三分之一

• 把斜棱长当成高度

知识讲解：立体几何初步

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直圆柱、直圆锥与球的表面积

$$S_{\text{圆柱}}=2\pi rh+2\pi r^2,S_{\text{圆锥}}=\pi r\ell +\pi r^2,S_{\text{球}}=4\pi R^2$$

成立条件

封闭直圆柱与直圆锥，r、h>0，圆锥母线l=√(r²+h²)；球半径R>0。侧面积与总表面积分清，单位为面积单位。

从哪里来

圆柱侧面展开为宽2πr、高h的长方形，再加两个底面。圆锥侧面展开为半径l、弧长2πr的扇形，面积为l·2πr/2，再加一个底面。球用越来越细的凸内接多面体逼近，各面连球心形成棱锥，高趋近R。按这一规则取面积与体积的极限，得到V=SR/3；结合由截面比较得到的球体积4πR³/3，得S=4πR²。有限分割只是近似，不声称已是精确等式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 计算封闭容器表面积

• 按半径缩放判断表面积变化

要防止

• 圆锥侧面积使用母线而非高度

• 漏掉底面或把直径当半径

知识讲解：立体几何初步

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球体积与截面比较

$$V_{\text{球}}=\frac{4}{3}\pi R^3$$

成立条件

球半径R>0，各长度单位一致。以同高截面积相等推出体积相等时，使用截面等积原理。

从哪里来

半球在离赤道平面高度z处的截面积为π(R²−z²)，0≤z≤R。比较底半径R、高R的圆柱减去一个顶点在下、底面在上的圆锥；同高截面积也为πR²−πz²。因此半球体积=πR³−πR³/3=2πR³/3，整个球再乘2。截面等积原理可用越来越薄的柱体夹逼说明，不以几次截面抽样代替。

适用场景与常见误用

可以用在

• 球形容器的体积

• 区分半径、表面积与体积缩放

要防止

• 球体积不是底面积乘直径

• 不能仅凭个别截面面积相同就判定两个立体等体积

知识讲解：立体几何初步

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空间向量的模与数量积

$$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2+z_1^2},\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

成立条件

使用同一个三条轴两两垂直、单位一致的空间直角坐标系。坐标运算允许零向量，夹角仍要求两个向量非零。

从哪里来

先在水平投影中使用勾股，再与垂直高度使用勾股，得到三个平方之和。数量积由对应坐标乘积相加定义，并满足2a·b=|a|²+|b|²−|a−b|²；同时旋转保持这些长度，转到两向量所在平面内，即与平面夹角关系相容。

适用场景与常见误用

可以用在

• 构造方向向量和法向量

• 计算三维长度与点积

要防止

• 坐标轴不正交时不能直接套这个长度公式

• 不能漏掉第三分量

知识讲解：空间向量与立体几何

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方向向量与法向量求空间角

$$\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{v}|}{|\overrightarrow{u}||\overrightarrow{v}|},\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{v}||\overrightarrow{n}|},\cos \beta =\frac{|{\overrightarrow{n}}_1\cdot {\overrightarrow{n}}_2|}{|{\overrightarrow{n}}_1||{\overrightarrow{n}}_2|}$$

成立条件

u、v为非零直线方向向量，n及n₁、n₂为非零法向量。φ为两直线较小夹角，θ为线面角，β为两平面较小夹角，均取[0,π/2]。指定半平面的二面角不能无条件取绝对值。

从哪里来

直线方向可反向，取点积绝对值消去这个选择。直线与法向的较小夹角和线面角互余，故得到正弦式。取垂直两平面交线的截面后，两个法向与各自截线垂直，较小夹角相同或互补，取绝对值得两平面较小夹角。

适用场景与常见误用

可以用在

• 区分线线、线面、面面角

• 处理法向量反向后的不变性

要防止

• 线面角误用余弦

• 零法向量不能使用

• 指定二面角还需按半平面方向判断锐钝

知识讲解：空间向量与立体几何

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点到平面的距离

$$d=\frac{|\overrightarrow{n}\cdot (\overrightarrow{P}-{\overrightarrow{P}}_0)|}{|\overrightarrow{n}|}=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

成立条件

P₀在目标平面上，n为非零法向量。平面方程Ax+By+Cz+D=0中A、B、C不同时为0，待求点P=(x₀,y₀,z₀)。

从哪里来

向量P₀P沿单位法向n/|n|的有向投影是点到平面的有向高度，取绝对值即距离。平面上P₀满足AP₀x+BP₀y+CP₀z+D=0，展开点积便得到方程形式。整体倍乘平面方程时分子分母同时乘相同绝对值，距离不变。

适用场景与常见误用

可以用在

• 点面距离

• 两平行平面间距离可取一面上的点到另一面

要防止

• 只取代入方程后的数而不除法向模

• 漏掉绝对值或使用零法向量

知识讲解：空间向量与立体几何

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空间点到直线的距离

$$d=\sqrt{|\overrightarrow{w}{|}^2-\frac{(\overrightarrow{w}\cdot \overrightarrow{v}{)}^2}{|\overrightarrow{v}{|}^2}},\overrightarrow{w}=\overrightarrow{AP}$$

成立条件

A在目标直线上，v是该直线非零方向向量；P为待求点。使用同一正交坐标系。

从哪里来

w沿直线的有向投影长度为w·v/|v|，其余垂直分量与投影组成直角三角形。由勾股定理，垂直分量的平方等于总长度平方减投影长度平方，开非负平方根得到距离。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求空间点线距离

• 检查原点距离与垂直距离的区别

要防止

• A必须在目标直线上

• 投影长度可以有符号，但距离要非负

知识讲解：空间向量与立体几何

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直线的一般式与斜率形式

$$Ax+By+C=0,B\ne 0\Rightarrow y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}$$

成立条件

A、B为实数且不同时为0。B=0时是竖直线x=−C/A；A=0、B≠0时是水平线。直线的斜率可以为0，而称为一次函数时另要求斜率非零。

从哪里来

B非零时移项并同除B即可写成斜率截距式；B为0时A必非零，方程只限制x为一个固定值。这两类合起来包含所有平面直线。

适用场景与常见误用

可以用在

• 统一水平、竖直与一般斜直线

• 读取斜率与截距

要防止

• A、B不能同时为0

• 竖直线不能写成有限斜率的函数形式

知识讲解：直线的方程与交点

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不除坐标差的两点式

$$(x-x_1)(y_2-y_1)-(y-y_1)(x_2-x_1)=0$$

成立条件

两点P₁、P₂不同，即横纵差不同时为0。此形式包含水平与竖直直线。

从哪里来

横差非零时由相同斜率关系移项得到；横差为0时纵差必非零，式子化为x=x₁。纵差为0时同理化为y=y₁。两个系数不同时为0，因此表示两点确定的唯一一条直线。

适用场景与常见误用

可以用在

• 避免两点式中的除零

• 按坐标差直接建立直线方程

要防止

• 两点相同时得到0=0，不能确定直线

• 不能无条件使用两个坐标差都作分母的写法

知识讲解：直线的方程与交点

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两直线交点与退化分类

$$D=A_1{B}_2-A_2{B}_1,D\ne 0\Rightarrow x=\frac{B_1{C}_2-B_2{C}_1}{D},y=\frac{A_2{C}_1-A_1{C}_2}{D}$$

成立条件

两条直线写成Aᵢx+Bᵢy+Cᵢ=0，每组Aᵢ、Bᵢ不同时为0。D=0时不能相除；全体系数成非零比例则重合，否则平行。

从哪里来

第一式乘B₂、第二式乘B₁后相减，得到Dx+B₂C₁−B₁C₂=0；同样消x可得y。D非零时公共解唯一。D为0时两个方向系数成比例，再比较常数决定两个方程是否等价。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判定交点唯一性

• 区分平行无交点与重合无穷多公共点

要防止

• D=0不等于一定没有公共点

• 系数为0时不能用不合法的比值来检查比例

知识讲解：直线的方程与交点

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圆的标准式与一般式条件

$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=R^2,R^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F$$

成立条件

标准式R>0，圆心(h,k)。一般式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，此时圆心(−D/2,−E/2)；半径平方必须大于0，等于0为一个点，小于0为空集。

从哪里来

点到圆心的距离为R，利用两点距离公式平方即得标准式。一般式分别对x、y配方，得到(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²)/4−F，右边符号决定点集。

适用场景与常见误用

可以用在

• 从一般式读取圆心和半径

• 检查是否真正表示非退化圆

要防止

• 把半径平方当半径

• 只看两平方项系数相同就忽略右边符号

知识讲解：直线与圆

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平面点到直线的距离

$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

成立条件

直线Ax+By+C=0中A、B不同时为0；点为P(x₀,y₀)，使用同单位的平面直角坐标系。

从哪里来

令K=Ax₀+By₀+C，任取直线上Q，记横纵差为u、v，则Au+Bv=−K。恒等式(A²+B²)(u²+v²)=(Au+Bv)²+(Bu−Av)²给距离平方的下界K²/(A²+B²)。取u=−AK/(A²+B²)、v=−BK/(A²+B²)，所得Q在直线上且取到下界。垂线段最短由勾股定理说明，所以这个最小距离正是点线距离。

适用场景与常见误用

可以用在

• 比较圆心距与半径

• 包含竖直、水平线的距离计算

要防止

• 漏掉绝对值

• 不能只取代入方程后的数

• 整体放大方程时分子分母都要变化

知识讲解：直线与圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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直线与圆的位置关系

$$d<R\Rightarrow 2\text{个交点},d=R\Rightarrow 1\text{个交点},d>R\Rightarrow 0\text{个交点}$$

成立条件

圆半径R>0，d为圆心到有效直线的垂直距离。相切只有一个点，不是两个不同端点的弦。

从哪里来

设圆心到直线的垂足为H，线上任一点P满足OP²=d²+HP²。要使P在圆上，须HP²=R²−d²；右边正、零、负时分别有两个、一个、零个点。两交点的弦长用共享的圆心距与弦长公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 根据距离判断位置关系

• 用消元后的判别式作交叉核对

要防止

• 两不同交点要求严格d<R

• R=0不是本公式讨论的普通圆

知识讲解：直线与圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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圆上点处的切线方程

$$(x_0-h)(x-h)+(y_0-k)(y-k)=R^2$$

成立条件

圆为(x−h)²+(y−k)²=R²，R>0，给定点P(x₀,y₀)必须在圆上。该式含竖直、水平切线。

从哪里来

P满足圆方程，故代入这条直线成立。直线两个系数的平方和为R²，圆心代入左侧减右侧得到−R²，所以圆心距为R；由位置关系可知在P处相切。这也与切线垂直半径的几何判定一致。

适用场景与常见误用

可以用在

• 已知切点求切线

• 避免有限斜率形式遗漏竖直切线

要防止

• 外点不能直接代入切点公式

• 只过圆上点而未验证相切，不足以确定切线

知识讲解：直线与圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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椭圆的距离定义与标准式

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1,b^2=a^2-c^2,e=\frac{c}{a}$$

成立条件

本式中心在原点，长轴沿x轴，a>b>0、c=√(a²−b²)>0。焦点(±c,0)，距离和为2a，焦距为2c；0<e<1。长轴沿y轴时交换坐标。焦点重合的圆另作特例。

从哪里来

设到两焦点距离为d₁、d₂。d₁+d₂=2a且d₁²−d₂²=4cx，得到d₁=a+cx/a、d₂=a−cx/a。平方并消去交叉项得到标准式。反向由标准式知|x|≤a，所以a±cx/a≥a−c>0，开方能恢复两距离及其和，未引入增点。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由轴长与焦距建立方程

• 求焦点及离心率

要防止

• a、b不是分母本身

• 距离和等于焦距会退化为线段

• 不能忽略平方后的反向范围检查

知识讲解：圆锥曲线的方程

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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双曲线的距离差与标准式

$$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1,c^2=a^2+b^2,e=\frac{c}{a},y=\pm \frac{b}{a}x$$

成立条件

a、b>0，焦点(±c,0)，到两焦点的距离差绝对值为2a，c>a，e>1。本式实轴沿x轴；最后两个直线式为渐近线。正项在y²时交换坐标。

从哪里来

右支上d₁−d₂=2a，平方差又为4cx，得d₁+d₂=2cx/a，因此d₁=cx/a+a、d₂=cx/a−a。平方后得标准式；反向右支x≥a保证两个距离表达式为正，左支由对称得到。渐近线可由y=(b/a)√(x²−a²)与(b/a)x之差ab/(x+√(x²−a²))趋于0说明，其他分支同理。

适用场景与常见误用

可以用在

• 确定实轴、焦点与渐近线

• 识别直线与渐近线平行导致的消元降次

要防止

• 不能用分母较大者确定实轴

• 渐近线一般不是曲线上的点集

• c²是a²+b²，不是平方差

知识讲解：圆锥曲线的方程

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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抛物线的焦点与准线

$$y^2=2px,F=(p/2,0),l:x=-p/2$$

成立条件

p>0，顶点在原点，开口向右，焦点不在准线上。p为焦点到准线的距离。其他方向由坐标交换或反射得到。

从哪里来

等距条件为√((x−p/2)²+y²)=|x+p/2|，两边非负，平方化简为y²=2px。反向该式给x≥0，使右侧距离可正常还原，所以没有增点。p=0时焦点落在准线上，不是本式的非退化抛物线。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由焦点、准线写方程

• 根据开口方向确定符号和参数

要防止

• 把2p当成顶点到焦点的距离

• 到准线的距离不是到准线某个固定点的距离

• 平方后仍须检查原距离条件

知识讲解：圆锥曲线的方程

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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常见平面图形面积

$$\begin{array}{rlrl}{S}_{\text{长方形}}& =ab,& S_{\text{平行四边形}}& =bh\\ S_{\text{三角形}}& =\frac{bh}{2},& S_{\text{梯形}}& =\frac{(a+b)h}{2}\\ S_{\text{圆}}& =\pi r^2\end{array}$$

成立条件

各长度单位一致且取非负；h为相应底边上的垂直高度，梯形a、b为两条平行底边。退化为零面积时按具体模型另说明。

从哪里来

长方形面积由单位正方形行数乘列数得到。平行四边形割下一端的三角形移到另一端，成为等底等高长方形。两个全等三角形拼成平行四边形；两个全等梯形拼成底为a＋b的平行四边形，因此各除以2。圆分成越来越细的扇形并交错排列，长趋近半周长πr、宽趋近r，得到πr²；有限次分割不是精确长方形。

适用场景与常见误用

可以用在

• 计算面积；用割补和拼合解释公式。

要防止

• 把斜边长度当作高。

• 把面积单位与长度单位混用。

知识讲解：图形的认识与测量（周长、面积、体积）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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常见周长公式

$$P_{\text{长方形}}=2(a+b),P_{\text{正方形}}=4a,C_{\text{圆}}=2\pi r=\pi d$$

成立条件

a、b为边长；r为半径、d为直径且d＝2r；长度单位一致。

从哪里来

多边形周长是所有边长的总和。圆周率π定义为圆周长与直径的比，所以C＝πd；用d＝2r即可换写。

适用场景与常见误用

可以用在

• 围边、周长和半径直径换算。

要防止

• 圆周长误用πr²。

• 将圆的直径当成半径再乘2。

知识讲解：图形的认识与测量（周长、面积、体积）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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常见几何体体积

$$V_{\text{长方体}}=abc,V_{\text{圆柱}}=\pi r^{2}h,V_{\text{圆锥}}=\frac{1}{3}\pi r^{2}h$$

成立条件

圆柱、圆锥为小学常见直圆柱和直圆锥；h是垂直高度，各长度单位一致。长方体三条相互垂直的棱长为a、b、c。

从哪里来

长方体可以按每层单位小立方体数乘层数计数。圆柱每层截面积相同，体积为底面积乘高。圆锥可先用等底等高容器实验认识1/3关系；实验本身不是证明。进阶说明：分高度为n层，用小圆柱从内外夹住圆锥，截面积按距离顶点的比例的平方变化。利用 $1^2+\cdots +n^2=n(n+1)(2n+1)/6$，上下两种柱体体积与底面积乘高的比都随n增大趋近1/3，从而得到公式。 平方和的完整证明见常用结论。

适用场景与常见误用

可以用在

• 容量、体积与单位换算；比较等底等高的圆柱和圆锥。

要防止

• 忘记圆锥的1/3。

• 用斜高替代垂直高度。

• 把实验近似结果说成严格证明。

知识讲解：图形的认识与测量（周长、面积、体积）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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概率统计

加权平均数

$$\overline{x}=\frac{w_1{x}_1+\cdots +w_n{x}_n}{w_1+\cdots +w_n}$$

成立条件

$w_i\ge 0$ 且权重总和大于0；权重可表示频数或贡献比例。

取等条件

若所有正权重对应的x相同，均值等于该共同值；本式不是不等式。

从哪里来

每个值重复w次（整数频数）时，总和就是各值乘出现次数的和，再除总次数。比例权重使用同一分摊思想；权重总和为1时分母可省略。

适用场景与常见误用

可以用在

• 按人数或频数合并均值

• 计算明确比例的总评

要防止

• 不同组人数不等时，组均值不能直接平均。

• 权重总和不为1时不能省略分母。

知识讲解：数据的收集、整理与描述

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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描述性方差

$$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

成立条件

$n\ge 1$；本页使用除以n的描述性方差。各数据须具有可比较的单位。

取等条件

方差为0当且仅当所有观测值相同。

从哪里来

离均差直接相加会抵消。平方后每项非负，平方离差的平均刻画围绕均值的分散程度；各值都相同时才为0。

适用场景与常见误用

可以用在

• 在相同单位、相关背景下比较波动

• 解释均值相同的数据仍可有不同分布

要防止

• 不能把方差与均值混为一个指标。

• 方差单位是原单位的平方；标准差才回到原单位。

知识讲解：数据的收集、整理与描述

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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频率直方图的面积

$$\text{组频率}=\frac{\text{组频数}}{\text{总频数}}=\text{组距}\times \text{频率密度}$$

成立条件

分组互不重叠并覆盖全部数据；总频数为正，组距为正，纵轴明确为频率/组距。

从哪里来

每组占比先由频数除以总频数得到。令矩形面积等于占比，将其除以组距即为高度，所以全部矩形面积之和为1。

适用场景与常见误用

可以用在

• 读取不同组距的直方图

• 区分条形高度与频率面积

要防止

• 组距不同时，高矩形的频率未必更大。

• 必须先看纵轴是频数、频率还是频率密度。

知识讲解：数据的收集、整理与描述

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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有限等可能事件的概率

$$P(A)=\frac{m}{n},P(A)+P(\bar{A})=1$$

成立条件

样本空间有n个等可能基本结果，n为正整数；A包含其中m个。$\bar{A}$ 表示A不发生。

从哪里来

n个等可能结果的概率相等且总和为1，所以每个为1/n。事件A由m个互不重叠结果组成，概率为m/n；其余n−m个构成对立事件。

适用场景与常见误用

可以用在

• 均匀骰子、等机会抽球

• 列表或树状图完成简单枚举

要防止

• 随机不自动等于等可能。

• 有序结果合并成类别后，各类未必仍等可能。

• 相对频率只是有限试验中的观测，不必恰好等于概率。

知识讲解：简单事件的概率

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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事件的加法公式

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$$

成立条件

A、B属于同一次试验的事件，概率模型明确。互斥时交集为空，交集概率为0，可直接相加。

从哪里来

把A∪B拆成只发生A、同时发生A和B、只发生B三个互斥部分。P(A)+P(B)把交集计了两次，减一次即可。概率的非负性、全集为1和互斥可加性是模型遵循的基本规则。

适用场景与常见误用

可以用在

• 计算至少发生一个事件的概率

• 用补集处理至少一次

要防止

• 仅有两个事件不能保证可直接相加

• 互斥不等于互为对立，可能两个都不发生

知识讲解：古典概型与概率的基本性质

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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条件概率与乘法公式

$$P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},P(A\cap B)=P(A)P(B\mid A)$$

成立条件

P(A)>0，竖线表示已知A发生。有限等可能模型中，相当于只在A包含的基本结果中重新计数。

从哪里来

已知A后，保留A内的结果并按原概率重新归一，总概率仍为1；B留下的是A∩B，其概率质量除以P(A)。把定义两边乘P(A)得到乘法公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 不放回抽取的第二步概率

• 区分先验事件与已有信息

要防止

• 不能颠倒P(B|A)与P(A|B)

• P(A)=0时本式不定义条件概率

知识讲解：古典概型与概率的基本性质

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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事件独立的判定

$$P(A\cap B)=P(A)P(B)$$

成立条件

这是两个事件独立的定义，无需假定概率非零。若P(A)>0，等价于P(B|A)=P(B)。多次试验使用连乘须有相应的共同独立条件。

从哪里来

独立表示已知一个事件不会改变另一个事件的概率；在条件概率有定义时，代入乘法公式即得乘积关系。反向由乘积关系除以P(A)也恢复条件概率不变。零概率事件仍按乘积式判断。

适用场景与常见误用

可以用在

• 独立重复试验

• 判断互斥与独立的差异

要防止

• 概率均正的互斥事件不独立

• 不同次试验或放回抽取都须有机制支持独立，不能只凭名称假定

知识讲解：古典概型与概率的基本性质

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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全概率公式

$$P(B)=\sum _{i=1}^{r}P(A_i)P(B\mid A_i)$$

成立条件

A₁到Aᵣ构成互斥且覆盖全部结果的有限划分，每个P(Aᵢ)>0；零概率部分可先去除。

从哪里来

事件B拆成互斥的B∩Aᵢ，其概率相加，再对每一项使用条件概率乘法公式。每个来源先乘自身出现的权重，不能直接平均条件概率。

适用场景与常见误用

可以用在

• 不同来源或不同人群的混合概率

• 先按原因分类再求结果概率

要防止

• 分组重叠会重复计数

• 各组权重不同时不能简单算术平均

知识讲解：古典概型与概率的基本性质

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由结果反推来源的条件概率

$$P(A_i\mid B)=\frac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum _{j}P(A_j)P(B\mid A_j)}$$

成立条件

来源Aⱼ是有效划分，P(Aⱼ)>0；观察到的事件B满足P(B)>0。

从哪里来

先按条件概率定义写P(Aᵢ|B)=P(Aᵢ∩B)/P(B)，分子用乘法公式，分母用全概率公式。分子保留目标来源的贡献，分母汇总全部来源对这个结果的贡献。

适用场景与常见误用

可以用在

• 已知发生某结果时判断来自哪个分组

• 检验把两个条件方向混淆的错误

要防止

• 不能直接用P(B|Aᵢ)回答P(Aᵢ|B)

• 忽略来源本身比例会改变结果

知识讲解：古典概型与概率的基本性质

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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分类加法与分步乘法

$$N=\sum _i{n}_i\text{或}N=\prod _i{n}_i$$

成立条件

分类加法要求各类互斥且覆盖全部完成方式。分步乘法要求完成任务必须依次完成各步，且每一种前缀选择后，下一步都有所声明的nᵢ种选择。

从哪里来

不同类别无重叠时直接合并计数。分步时，把每个第一步选择都接上同样多的第二步选择，得到n₁n₂；逐层继续得到乘积。若某一步的可选数依前面的具体选择而不同，应分支计数再求和。

适用场景与常见误用

可以用在

• 树状枚举

• 先分类再在各类内分步

要防止

• 可任选一种方案与必须完成多个步骤不能混用

• 分支数量不同不能机械相乘

知识讲解：计数原理、排列与组合

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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排列数

$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

成立条件

n、m为整数，0≤m≤n；从n个不同对象中无重复地选m个并排列。0!=1，空排列有1种。

从哪里来

第一位n种，第二位n−1种，依次到第m位n−m+1种，按分步原理相乘。用阶乘记法压缩这个有限乘积。m=0单独解释为空排列的一种。

适用场景与常见误用

可以用在

• 不同职位的分配

• 不重复数字的有序排列

要防止

• 允许重复时可选数通常不同

• 首位不能为0等限制须另分类

知识讲解：计数原理、排列与组合

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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组合数

$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!},C_n^m=C_n^{n-m}$$

成立条件

n、m为整数，0≤m≤n；只选对象，不区分选出的顺序。不同对象仍有区别。

从哪里来

先选后排得到Aₙᵐ。每个m元组有m!种排列，因此无序组数为Aₙᵐ/m!。选中m个与排除n−m个一一对应，得到对称关系。

适用场景与常见误用

可以用在

• 选小组与不放回样本

• 用补集转化选择要求

要防止

• 不同角色不能用无序组合直接计数

• 除以m!前要确认每组确实重复同样次数

知识讲解：计数原理、排列与组合

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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二项式定理

$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

成立条件

n为非负整数，a、b为实数或可交换的代数表达式。二项展开共n+1项；系数与完整项要区分。

从哪里来

把n个(a+b)相乘。每个乘积项从n个因子中选k个取b，其余取a，得到aⁿ⁻ᵏbᵏ；这种选法有Cₙᵏ种。按k合并同类项得到展开，n=0时为1。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求指定幂次系数

• 用a=b=1得到组合数总和2ⁿ

要防止

• 展开第k+1项才对应选k个b

• b自身含系数或幂次时要同时乘入

知识讲解：计数原理、排列与组合

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

有限离散分布的期望与方差

$$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i,D(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2{p}_i=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

成立条件

这里X只有有限个可能值xᵢ，pᵢ非负且总和为1。期望是概率加权的平均，未必是X可能取到的值；方差非负。

取等条件

方差为0当且仅当X以概率1等于同一个常数；零概率列出的值不影响结论。

从哪里来

期望把每个可能值按概率加权。方差对离均差平方加权，避免正负抵消。展开(xᵢ−E)²并使用Σpᵢ=1、Σxᵢpᵢ=E，即得E(X²)−E²。

适用场景与常见误用

可以用在

• 比较随机方案的平均收益与波动

• 检查分布列后计算数字特征

要防止

• 分布列概率不合法时不能照算

• E(X²)不等于[E(X)]²

• 期望不是对下一次结果的保证

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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随机变量线性变换的均值与方差

$$E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a^{2}D(X)$$

成立条件

a、b为实常数，所需期望方差存在。本页先用有限离散模型推导。

从哪里来

期望展开Σ(axᵢ+b)pᵢ=aΣxᵢpᵢ+bΣpᵢ。对方差，变换后离均差为a(xᵢ−E(X))，平方产生a²，常数平移b消失。

适用场景与常见误用

可以用在

• 换单位或调整收益

• 区分位置改变与离散程度改变

要防止

• 方差乘a²而不是a

• 整体加常数不改变方差

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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二项分布

$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},E(X)=np,D(X)=np(1-p)$$

成立条件

n为正整数，进行n次相互独立、每次成功概率相同的试验，X为成功次数，k=0,…,n。0<p<1时直接用概率式；p=0或1时分布分别全部集中于0或n，避免把0⁰当普通幂计算。

从哪里来

固定k次成功的位置，独立性给路径概率pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ；可选成功位置有Cₙᵏ种。写X=I₁+⋯+Iₙ，每个成功指示量期望p、方差p(1−p)，期望相加得np，独立使不同指示量的离均差乘积期望为0，故方差相加。

适用场景与常见误用

可以用在

• 固定次数的独立重复试验

• 成功次数的分布与风险比较

要防止

• 不放回抽样通常不是二项分布

• 仅每次边际成功概率相同不足以保证独立

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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不放回抽样的超几何分布

$$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$

成立条件

总体N个不同对象，其中M个标为成功，0≤M≤N；从全部n元子集等概率抽取，0≤n≤N。整数k满足max(0,n−(N−M))≤k≤min(n,M)，范围外概率为0。

从哪里来

全部等可能n元样本有C_Nⁿ个。恰有k个成功，需要从M个成功中选k个、从N−M个失败中选n−k个，相互配对得到分子。抽取无放回，因此不能把每次成功概率保持为常数后连乘。

适用场景与常见误用

可以用在

• 不放回样本中的分类数量

• 核对抽样可取范围

要防止

• 不能使用超过总体库存的k

• 此模型要求各个无序样本等概率，而不只是含糊地称随机

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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正态模型的标准化

$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),\sigma >0\Rightarrow Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$$

成立条件

正态模型是连续分布，概率用区间面积表示，单个点的概率为0。μ是均值，σ是标准差，第二个分布参数σ²是方差。数据是否适合正态模型要另检验。

从哪里来

先平移μ把中心移到0，再除以正标准差σ把尺度变为1。正态分布族在这一变换下形状一致，因此可统一用标准正态表计算区间概率；其密度归一和矩性质属于进一步的积分结论，此处作为模型性质使用。

适用场景与常见误用

可以用在

• 使用给定正态概率表

• 比较不同均值和尺度的区间

要防止

• 钟形外观不足以证明正态

• 不能把标准差与方差互换

• 曲线的高度不是某一点的概率

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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用样本比例估计总体比例

$$\hat{p}=\frac{m}{n},\hat{M}=N\hat{p}$$

成立条件

n>0，样本中有m个符合条件；N为目标总体数量。抽样设计、覆盖范围及非响应处理须支持向该总体推广。第二式是估计数量，不是已经清点的实际数量。

从哪里来

样本内先算符合条件的占比m/n，再将同一比例用于目标总体得到估计数N×m/n。样本比例与真实总体比例可能不同，抽样误差及选择偏差不能由这个算式自动消除。

适用场景与常见误用

可以用在

• 按调查样本估计人数或比例

• 明确样本统计量与总体参数的区别

要防止

• 便利样本不能只因样本大就推广

• 估计人数可能不是整数，按用途说明取整且保留估计含义

知识讲解：抽样与统计估计

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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按总体分层权重合并估计

$$\hat{\mu }=\sum _{h=1}^H\frac{N_h}{N}{\overline{x}}_h,N=\sum _h{N}_h$$

成立条件

分层互斥、覆盖目标总体，Nₕ>0，各层有合适的随机样本并得到层内均值x̄ₕ。权重用总体层占比，不能无条件用样本层占比。

从哪里来

总体均值等于各层总量相加后除以总人数，即ΣNₕμₕ/N。用各层的样本均值估计μₕ，得到加权估计。按比例分配样本且各层抽样合适时，样本占比与总体占比才一致。

适用场景与常见误用

可以用在

• 样本分配不同比例时合并各层

• 比较直接平均与总体加权

要防止

• 不同层人数不等不能直接平均层均值

• 层内样本偏差不会因加权自动消失

知识讲解：抽样与统计估计

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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一元线性最小二乘拟合

$$\hat{y}=a+bx,b=\frac{\sum _i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sum _i(x_i-\overline{x}{)}^2},a=\overline{y}-b\overline{x}$$

成立条件

有n对对应观测值，所有x不能相同，即Sxx=Σ(xᵢ−x̄)²>0。这里最小化y方向残差平方和，并包含截距。拟合本身不证明因果。

从哪里来

令uᵢ=xᵢ−x̄、vᵢ=yᵢ−ȳ。平方和可拆为Σ(vᵢ−buᵢ)²+n(a+bx̄−ȳ)²；后项由a=ȳ−bx̄取最小0。前项配方为Sxx(b−Sxy/Sxx)²+Syy−Sxy²/Sxx，故斜率取Sxy/Sxx。

适用场景与常见误用

可以用在

• 成对数据的线性拟合

• 在模型适用范围估计平均趋势

要防止

• 自变量全相同时斜率不能唯一确定

• 外推需要额外依据

• 交换x与y后通常不是原回归直线的简单反解

知识讲解：统计推断（成对数据分析、回归与独立性检验）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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线性相关系数

$$r=\frac{\sum _i(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{\sum _i(x_i-\overline{x}{)}^2\sum _i(y_i-\overline{y}{)}^2}},-1\le r\le 1$$

成立条件

两列观测都不是常数，分母两因子均正。r描述线性关联方向与强度，不是回归斜率，也不代表因果。

取等条件

|r|=1当且仅当两列中心化向量成非零比例，即所有点落在同一条非水平、非竖直直线上。

从哪里来

把两列中心化并用各自尺度归一，使r不随正比例换单位改变。柯西不等式给Sxy²≤SxxSyy，除正分母得到|r|≤1。

适用场景与常见误用

可以用在

• 比较线性关联方向与强弱

• 识别负相关也可能很强

要防止

• r接近0不排除非线性关系

• 相关强不等于某变量导致另一变量

知识讲解：统计推断（成对数据分析、回归与独立性检验）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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拟合值与残差

$$e_i=y_i-{\hat{y}}_i,\mathrm{SSE}=\sum _i{e}_i^2$$

成立条件

yᵢ为实际观测值，ŷᵢ为对应xᵢ处模型拟合值。正残差表示实际值高于预测值。

从哪里来

用观测减拟合保留偏差方向；平方后相加刻画整体拟合误差而不让正负抵消。即使总体残差和为0，也可能每个点误差很大。

适用场景与常见误用

可以用在

• 检查模型剩余的系统模式

• 比较同一数据上的拟合误差

要防止

• 残差不是拟合值减观测值

• 训练数据误差小不保证新数据预测好

知识讲解：统计推断（成对数据分析、回归与独立性检验）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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二乘二列联表的独立性检验量

$$K^2=\sum _{i,j}\frac{(O_{ij}-E_{ij}{)}^2}{E_{ij}}=\frac{n(ad-bc{)}^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$$

成立条件

表格两行为(a,b)、(c,d)，n=a+b+c+d>0，行列边际均正。H₀为两分类变量独立，Eᵢⱼ=行合计×列合计/n。观测须适合独立抽样模型；通常每格期望频数至少5才使用此处自由度1的近似阈值。

从哪里来

独立假设下，用样本边际比例乘积给每格期望频数，再比较观察与期望的平方差除以期望。把四格代入可整理出右侧简式。其大样本分布近似χ²(1)是所用统计理论结论，不由代数公式本身证明。

适用场景与常见误用

可以用在

• 给定适用条件与阈值时作独立性检验

• 检查观察频数、期望频数和差异大小

要防止

• 小期望频数时不能机械套近似阈值

• 拒绝独立不证明因果

• 未拒绝独立不等于证明独立

知识讲解：统计推断（成对数据分析、回归与独立性检验）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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平均数

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

成立条件

至少有一个数据，即正整数n≥1；数据表示同类数量且单位一致。

从哪里来

把全部数据的总量重新平均分成n份，每份就是平均数，因此平均数乘份数应还原总量。

适用场景与常见误用

可以用在

• 描述一组同类数据的平均水平。

要防止

• 把平均数当成每一个人的实际值。

• 不同样本量的两组均值直接相加再除以2。

知识讲解：数据的收集整理与可能性

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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逻辑与推理

集合的交、并、补

$$A\cap B=\{x:x\in A\text{且}x\in B\},A\cup B=\{x:x\in A\text{或}x\in B\},U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}$$

成立条件

A、B为集合，求补集时A⊆U且全集U已明确；“或”允许两项同时成立。

从哪里来

交集是共同元素，并集是至少属于一方的元素；补集在全集里排除原集合。按这些定义逐个检验元素，就得到数轴或列举表示。

适用场景与常见误用

可以用在

• 筛选同时/至少满足的条件

• 将不等式组与集合运算联系起来

要防止

• 集合不重复计元素，顺序不影响相等。

• 元素属于与集合包含不能混用。

知识讲解：集合

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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两个有限集合的计数

$$|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$$

成立条件

A、B为有限集合，竖线表示元素个数。

从哪里来

A与B的个数相加时，交集里的每个元素恰被数两次；减去交集个数一次，所有并集元素恰计一次。

适用场景与常见误用

可以用在

• 两类活动、调查对象的重叠计数

• 求全集中两类都不属于的人数

要防止

• 不说明交集就不能把两类数量直接相加。

• 元素个数的竖线与数的绝对值是不同语境。

知识讲解：集合

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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充分必要条件与逆否

$$P\Rightarrow Q⟺(\mathrm{\neg }Q\Rightarrow \mathrm{\neg }P)$$

成立条件

P、Q是论域明确的命题；箭头表示逻辑蕴含，不表示因果先后。

从哪里来

P⇒Q只排除“P真而Q假”。其逆否命题也恰排除同一组合，所以等价；交换而不否定得到的Q⇒P则可能排除另一种组合，不能自动成立。

适用场景与常见误用

可以用在

• 检查充分与必要两个方向

• 用逆否方式证明命题

要防止

• 逆命题和原命题未必等价。

• “P是Q的充分条件”应写P⇒Q，必要条件则检查Q⇒P。

知识讲解：常用逻辑用语（充分必要条件、全称与存在量词）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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量词的否定

$$\mathrm{\neg }(\mathrm{\forall }x\in D,P(x))⟺\mathrm{\exists }x\in D,\mathrm{\neg }P(x),\mathrm{\neg }(\mathrm{\exists }x\in D,P(x))⟺\mathrm{\forall }x\in D,\mathrm{\neg }P(x)$$

成立条件

论域D保持不变；P(x)在该论域中的意义明确。本页主要例题采用非空论域。

从哪里来

并非每个对象满足，意味着至少有一个对象不满足；不存在满足对象，意味着所有允许对象都不满足。多层量词按原先顺序逐层应用。

适用场景与常见误用

可以用在

• 写全称/存在命题的否定

• 区分恒成立与存在性参数问题

要防止

• 否定≥应为<，否定>应为≤。

• 不能只改量词而不否定后面的判断。

• 找到一个见证可证明存在，通常不能证明全称。

知识讲解：常用逻辑用语（充分必要条件、全称与存在量词）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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