导数符号帮助比较函数值，但区间、端点、不可导点和参数分支共同决定结论。
本页目标：由导数符号讨论单调极值，比较端点并完成参数分类。按已经学过的内容选择基础或提高题。
需要会：用局部变化率解释导数，按规则求导并检查可导条件
需要会：结合二次函数符号求解集，处理重根、无实根和降次
需要会：分清充分必要条件，正确读写量词及其否定
可选补充： 基本不等式 · 二次函数含参区间最值 · 十字相乘法与分组分解。这些建议不作为开始学习的硬性门槛。
本页定位：课程基础。
f在区间内部可导，闭端点处连续。若f′>0，则严格递增；若f′≥0，可先推出不减。这里的依据是中值定理：任意x₁<x₂之间存在ξ，使函数差等于f′(ξ)(x₂−x₁)。这一定理及连续函数的闭区间最值存在性需要实数分析基础，本页说明所用条件，不要求中学生重建大学证明。
严格递增不要求导数处处正：x³在0的导数为0，仍严格递增。反之，导数非负若在一段区间恒为0，函数在那里为常数，不能称严格递增。导数正负的判定不能跨过1/x在0的定义域缺口。
驻点指可导且导数为0的点。可导内点若有局部极值，左右差商的符号迫使导数为0；但驻点未必有极值。导数从正变负给局部极大，从负变正给局部极小；如果不变号，要继续按定义判断。|x|在0有极小值却不可导，也提醒我们不能只找驻点。
在有界闭区间上，先核对连续性，再找内部驻点、内部不可导点及两个端点，比较这些点的函数值。若候选不是有限个，须研究整个候选集合。开区间可能只有上界却没有最大值，例如x在(0,1)上；不能把趋近的端点值当作已取得。
以x³−3ax为例，导数3(x²−a)的零点个数随a改变：a<0无零点，a=0只有一个零点且不变号，a>0才有两个变号点。先分类再列表，不能无条件写√a。更一般的“对所有x成立”条件，可先代特殊点缩小参数范围，但仍要验证全区间，必要条件不是最终答案。
优化问题先把数量关系化为一个函数，并保留长度正、时间范围或整数取值等实际约束。导数给候选之后，还要核对能否达到以及单位。如果对象是数列，连续延拓的极值点可能不是合法序号，仍需比较相邻整数。
证明eˣ≥1+x、ln x≤x−1可以考察两边之差的全域最小值。共享公式给出完整定义域与取等条件，进一步证明和应用见常用结论。有限次数代入只能查错，不能取代全域的符号论证。
单调判定在连续区间使用；极值必要条件要求可导内点；闭区间最值比较端点、驻点及不可导点。含参结论同时检查必要性、充分性和边界。
在一个区间上使用；闭端点须连续，内部可导。负号情形对应不增、严格递减。f′≥0不自动保证严格递增；严格递增也不要求每一点导数都严格为正。
不减结论中，对x₁<x₂，f(x₂)=f(x₁)当且仅当f在[x₁,x₂]恒定；在此段内部可导时等价于内部导数恒为0。单点导数为0不表示函数恒定。
对区间内任意x₁<x₂，中值定理给f(x₂)−f(x₁)=f′(ξ)(x₂−x₁)，其中ξ在两点之间，因此导数的符号控制函数差的符号。中值定理作为分析依据使用，不以画图或有限采样代替。若导数非负，且不在任何非空子区间恒为0，则函数严格递增。
可以用在
列导数符号表
把含参单调问题转成全区间条件
要防止
不能跨越定义域缺口合并单调区间
x³严格递增但在0处导数为0
一处导数为正只描述局部，不能推出全域递增
知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
必要条件要求x₀是定义域内点且在此可导。若f在x₀连续、在其左右邻域可导，导数由正变负则为局部极大，由负变正则为局部极小。
以局部极大为例，右差商非正、左差商非负；两侧同趋于导数，故导数只能为0。反向仅导数为0不足，须结合邻域函数变化；导数变号时由单调性可比较x₀两侧的函数值。
可以用在
筛选驻点并核对极值
区分必要条件和充分条件
要防止
x³在0处导数为0却没有极值
|x|在0有极小值却不可导
端点最值不能只用内点必要条件筛选
知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
a<b，f在[a,b]连续。列出的候选可能是一个集合而不是有限个点；常见初等题中候选有限时逐一比较。若区间开闭或连续性不同，须另判断最值能否取到。
连续函数在有界闭区间能取得最值，这是使用的分析结论。若最值点在内部且可导，内点极值必要条件给导数为0；其他可能是端点或内部不可导点。把所有候选的函数值比较，不能只比较导数。
可以用在
从局部变化寻找全局最值
优化模型中检查端点与可行域
要防止
漏掉端点或不可导点
开区间上仅有上界不等于存在最大值
知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
x为任意实数。
仅x＝0时取等。
令g(x)＝eˣ−x−1，其导数在0左侧为负、右侧为正，所以最小值为g(0)＝0。见完整说明。
可以用在
指数不等式估计与放缩。
要防止
直接反向；乘负数不变号；遗漏取等。
知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
x>0。
仅x＝1时取等。
令h(x)＝x−1−lnx，导数为(x−1)/x，先负后正，在x＝1取最小值0。也可由指数下界令变量为lnx推出。
可以用在
对数不等式估计。
要防止
真数非正还代入；把必要的定义域条件省略。
知识讲解：导数的应用（单调性、极值、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
讨论f(x)=x³−3x的单调区间与局部极值。
解与结论
在(−∞,−1)、(1,+∞)递增，在(−1,1)递减；x=−1处极大值2，x=1处极小值−2。
f′=3(x−1)(x+1)。从左到右符号为正、负、正，在−1由正变负，在1由负变正；代回原函数求值。
导数符号决定相应区间的变化方向；这里两处导数变号给出相应的局部极值。
极值点的横坐标不是极值本身。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
求f(x)=x³−3x在闭区间[0,3]的最小值与最大值，按此顺序填写。
解与结论
内部候选x=1；端点0、3也要比较。f(0)=0，f(1)=−2，f(3)=18，所以最小−2、最大18。
连续函数在闭区间取得最值；内部可导极值点需导数为0，最后比较函数值。
只报驻点值−2会漏掉端点最大值。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
f(x)=x³满足f′(0)=0，能否认定0是极值点？
解与结论
不能；f在整个实数域严格递增，0不是极值点。
导数3x²在0两侧均为正；也可看0左侧函数值负、右侧正，没有同时高于或低于附近两侧。
导数为0只是可导内点极值的必要条件。
切线水平不等于一定出现山峰或谷底。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
讨论f(x)=x³−3x的单调区间与局部极值。
在(−∞,−1)、(1,+∞)递增，在(−1,1)递减；x=−1处极大值2，x=1处极小值−2。
f′=3(x−1)(x+1)。从左到右符号为正、负、正，在−1由正变负，在1由负变正；代回原函数求值。
导数符号决定相应区间的变化方向；这里两处导数变号给出相应的局部极值。
易错与反例
极值点的横坐标不是极值本身。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
求f(x)=x³−3x在闭区间[0,3]的最小值与最大值，按此顺序填写。
内部候选x=1；端点0、3也要比较。f(0)=0，f(1)=−2，f(3)=18，所以最小−2、最大18。
连续函数在闭区间取得最值；内部可导极值点需导数为0，最后比较函数值。
易错与反例
只报驻点值−2会漏掉端点最大值。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x³满足f′(0)=0，能否认定0是极值点？
不能；f在整个实数域严格递增，0不是极值点。
导数3x²在0两侧均为正；也可看0左侧函数值负、右侧正，没有同时高于或低于附近两侧。
导数为0只是可导内点极值的必要条件。
易错与反例
切线水平不等于一定出现山峰或谷底。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
a为实数，完整讨论f(x)=x³−3ax的单调性与局部极值。
a≤0时在实数域严格递增、无局部极值；a>0时在(−∞,−√a)、(√a,+∞)递增，在(−√a,√a)递减，局部极大值2a√a，极小值−2a√a。
f′=3(x²−a)。a<0时恒正；a=0时除0外为正，x³仍严格递增。a>0时有两不同零点，按平方差符号列区间，再代x=±√a。
参数先决定导数零点是否存在与合并，不能在a≤0时强写两个实根。
易错与反例
a=0时两个候选合并但不形成极值，不能沿用a>0的符号表。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
用20米围栏围成长方形，四边全部使用围栏。求面积的最大值（平方米）。
设一边x米，则另一边10−x米，0<x<10。A=x(10−x)，A′=10−2x，在5前正、5后负，所以最大A(5)=25。
先由周长建立可行域，再用变化方向验证候选点确为全局最大。
易错与反例
20是周长，不是两条相邻边长度之和。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
用导数证明ln x≤x−1（x>0），并给等号条件。
对所有x>0成立，且仅在x=1取等。
设g=x−1−ln x，g′=(x−1)/x；在(0,1)负、(1,+∞)正，所以g在1处取得唯一最小值0。
把待证差转成函数，并在全部定义域分析符号，可同时获得全域结论与取等点。
易错与反例
不能把x≤0也纳入对数不等式。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x²−2mx在[1,3]上不减，求实数m的范围。
内部导数2x−2m须非负，若m≤1则整个区间内均非负，端点连续。若m>1，可在(1,min(m,3))取一点使导数为负，出现局部下降，故不行。
充分性检验整个区间，必要性要找合法内点反驳；最终m≤1。
易错与反例
只把某一个x代入求导数非负不能证明整个区间不减。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=1/x在定义域内处处导数小于0，所以它在(−∞,0)∪(0,+∞)上整体递减，对吗？
不对；只能分别说它在两个区间递减。
跨越缺口选−1<1，却有f(−1)=−1<f(1)=1，与整体递减要求相反。两点之间不能使用需要连续区间的中值定理。
导数符号判单调必须在一个没有定义域缺口的区间上使用。
易错与反例
不要把两个递减分支自动合成一个递减集合。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
求f(x)=x³−6x²+9x在[0,4]的最大值、最小值及全部取得位置。
最小值0在x=0、3取得；最大值4在x=1、4取得。
f′=3(x−1)(x−3)，内部候选1、3，端点0、4。依次f(0)=0、f(1)=4、f(3)=0、f(4)=4，比较并保留并列位置。
同一个最值可能在多个点取得，不能只保留驻点或单一位置。
易错与反例
漏端点会使最大值、最小值的位置都不完整。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x³+ax在整个实数域严格递增，求a的范围。
a>0时f′=3x²+a恒正；a=0时x³也严格递增。a<0时0附近导数为负，故不符合。最终a≥0。
严格递增允许孤立点的导数为0，不能把充分条件f′>0误当必要条件。
易错与反例
遗漏a=0会把范围错误地写成a>0。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的应用（单调性、极值、最值）。一道题出错只提供候选线索。
本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。
课程依据：高中：一元函数导数及应用。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。