一次函数

一句话

一次函数用固定的变化率连接输入与输出，斜率说明每单位变化，截距说明零输入时的值。

本页目标：解释一次函数斜率截距，求交点并建立线性情境模型。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 函数的概念（变量说）

  需要会：区分输入、输出与对应规则，用表、式、图表示函数

• 一元一次方程

  需要会：用等式性质解一次方程，并处理系数为零的退化情形

概念与推导

本页定位：课程基础。

形如 $y=kx+b$ 且 $k\ne 0$ 的函数叫一次函数。$b=0$ 时是正比例函数；$k=0$ 时为常函数，应单独命名。在全体实数上，一次函数的图像是一条非竖直、非水平直线。

设输入改变 $\mathrm{\Delta }x$，输出改变 $\mathrm{\Delta }y=k\mathrm{\Delta }x$。这说明k是每增加一个单位输入时的输出变化量：k>0向右上升，k<0向右下降。令x=0得到y=b，所以b是与y轴交点的纵坐标；令y=0求与x轴的交点。

求参数要先检查两点横坐标是否不同。不同横坐标给出唯一k、b，所得k还必须非零才称一次函数。如果两点横坐标相同而纵坐标不同，它们确定竖直线，不是y关于x的函数。

实际建模要先说明“单位变化量保持固定”的依据。收费的固定部分与按量部分可以组成一次关系，但阶梯计价需要分段；租用小时数或购买数量还可能仅允许非负整数。

公式与条件

区分公式的代数定义域与应用情境；求交点时两个方程必须同时满足。

$$y=kx+b(k\ne 0),k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1},b=y_1-k{x}_1$$

成立条件

两点横坐标不同 $x_1\ne x_2$。称为一次函数还要求 $k\ne 0$；应用题的定义域由情境另外限制。

从哪里来

把两点分别代入，得 $y_1=k{x}_1+b$、$y_2=k{x}_2+b$。相减后除以非零的 $x_2-x_1$ 得k，再代回得b。对于 $x_2>x_1$，输出差的符号由k决定。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由两次观测建立线性模型

• 从每单位变化量解释斜率

• 联立求直线交点

要防止

• 竖直线不能用有限斜率k表示。

• 两点同高会得到k=0，需要改称常函数。

• 实际模型不能任意外推到未允许的输入。

知识讲解：一次函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（两点确定参数的条件）

一次函数y=kx+b经过(−1,−1)、(2,5)。依次求k、b。

解与结论

$(2,1)$

1. 两点代入得−k+b=−1，2k+b=5。两式相减得3k=6，所以k=2，b=1。

   为什么这样做

   两个横坐标不同，消元后k的系数不为0，参数才被唯一确定。

易错与反例

• 两个任意的点不一定确定一个形如y=kx+b的函数，必须检查横坐标。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（费用与整数范围）

租车服务收取固定费20元，另按每小时3元收费，只能按整小时租用。预算50元，最多租几小时？

解与结论

$10$

1. 设租用n小时，费用C=20+3n。由20+3n≤50得n≤10，n为非负整数，故最多10小时。

   为什么这样做

   固定费决定截距，每小时单价决定增长量；最终取值还要满足实际整数范围。

易错与反例

• 不能将50直接除以3而遗漏固定费。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（竖直直线的反例）

能否找到一个一次函数，其图像同时经过(2,1)和(2,3)？

解与结论

不能。

1. 同一个输入x=2被要求有两个不同输出1和3，不满足函数定义；两点确定的是竖直直线x=2。

   为什么这样做

   平面直线不一定能写成y关于x的函数。

易错与反例

• “两点确定直线”不能省略成“两点一定确定一次函数”。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• $y=3$是函数，但不符合本页一次函数的 $k\ne 0$ 条件。
• $b>0$不能推出函数递增；$y=-2x+3$仍递减。
• 两个观测点确定线性模型的参数，不证明现实关系必定线性。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

一次函数y=kx+b经过(−1,−1)、(2,5)。依次求k、b。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,1)$

查看逐步解析与易错点

1. 两点代入得−k+b=−1，2k+b=5。两式相减得3k=6，所以k=2，b=1。

   为什么这样做

   两个横坐标不同，消元后k的系数不为0，参数才被唯一确定。

易错与反例

• 两个任意的点不一定确定一个形如y=kx+b的函数，必须检查横坐标。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数 · 二元一次方程组。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

租车服务收取固定费20元，另按每小时3元收费，只能按整小时租用。预算50元，最多租几小时？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10$

查看逐步解析与易错点

1. 设租用n小时，费用C=20+3n。由20+3n≤50得n≤10，n为非负整数，故最多10小时。

   为什么这样做

   固定费决定截距，每小时单价决定增长量；最终取值还要满足实际整数范围。

易错与反例

• 不能将50直接除以3而遗漏固定费。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数 · 一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

能否找到一个一次函数，其图像同时经过(2,1)和(2,3)？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能。

查看逐步解析与易错点

1. 同一个输入x=2被要求有两个不同输出1和3，不满足函数定义；两点确定的是竖直直线x=2。

   为什么这样做

   平面直线不一定能写成y关于x的函数。

易错与反例

• “两点确定直线”不能省略成“两点一定确定一次函数”。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

函数y=−2x+6的图像与x轴交点的横坐标是多少？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$3$

查看逐步解析与易错点

1. 在x轴上y=0，所以−2x+6=0，解得x=3。

   为什么这样做

   求与哪条轴相交，就令垂直于该轴的坐标为0。

易错与反例

• 令x=0求得的是y轴交点，不能混淆。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

一次函数y=kx+2的y随x增大而减小，下列k可取哪个值？

• A.

  −3

• B.

  0

• C.

  1

• D.

  2

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 当x增加正量Δx时，y改变kΔx，要为负必须k<0，所以选择−3。

   为什么这样做

   单调方向由斜率符号决定，截距只改变上下位置。

易错与反例

• k=0给出常函数，不属于一次函数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

求直线y=2x+1与y=−x+7的交点坐标。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,5)$

查看逐步解析与易错点

1. 交点的两个表达式给出相同y，故2x+1=−x+7，得x=2，代入得y=5。

   为什么这样做

   交点同时满足两个方程，必须核对两个坐标。

易错与反例

• 只报x=2还没有完整给出交点。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数 · 二元一次方程组。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

车费在0<d≤3千米时为10元，d>3时为10+2(d−3)元。这是关于d的一次函数吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

整个行程范围上不是一次函数，是分段函数。

查看逐步解析与易错点

1. 前一段输出保持10不变，后一段每千米增加2元；不可能用同一个非零k和固定b覆盖两段。

   为什么这样做

   一次函数要求整个指定定义域使用同一组k、b；局部线性不能推出整体一次。

易错与反例

• 分段函数仍然是函数，“不是一次函数”不等于“不是函数”。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

两种打印方案按整张收费：A为固定12元另加每张2元，B为每张3元。最少打印多少张时A严格更便宜？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$13$

查看逐步解析与易错点

1. 12+2n<3n，得到n>12。n为正整数，所以最少13张。

   为什么这样做

   先比较同一打印张数的总费用，再按整数与严格不等号取界。

易错与反例

• 12张费用相等，不符合“严格更便宜”。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数 · 一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

一次函数经过(0,4)、(3,−2)，依次求k、b。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-2,4)$

查看逐步解析与易错点

1. x=0时y=b=4；3k+4=−2，所以k=−2。

   为什么这样做

   先利用y轴交点直接读取截距，再用另一点确定斜率。

易错与反例

• 截距是有符号的纵坐标，不总为正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

点(0,5)、(2,5)唯一确定y=kx+b的参数后，所得关系是否是一次函数？

我的思路（本页草稿）

查看答案

k=0，b=5；所得y=5是常函数，不是一次函数。

查看逐步解析与易错点

1. 相减得2k=0，故k=0；代回b=5。一次函数约定k≠0，因此不满足一次条件。

   为什么这样做

   不同横坐标保证参数唯一，但不能保证所求k非零。

易错与反例

• 不能因形式中写了kx就忽略实际系数可能为0。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一次函数。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 二次函数
• 直线的方程与交点
• 数学建模与探究

依据

课程依据：初中：函数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。