直线与圆

一句话

圆的方程来自距离，直线与圆的位置关系可由圆心距或等价消元共同核对。

本页目标：由距离公式推导圆方程，用圆心距或联立判定位置关系。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 直线的方程与交点

  需要会：写含竖直情形的直线方程，联立判断交点、平行或重合

• 圆

  需要会：用半径、弦和圆周角性质推理，区分切线条件与圆幂拓展

• 勾股定理与逆定理

  需要会：用面积证明勾股定理，区分正逆命题并计算距离

• 一元二次方程的解法

  需要会：用配方与求根公式求完整根集，先判断方程次数

概念与推导

本页定位：课程基础。

由距离到方程

圆是到固定圆心(h,k)的距离等于正数R的点集。由勾股关系得到(x−h)²+(y−k)²=R²。一般式分别配方后，先检查右边是否为正，再谈圆心半径；右边为0只剩一个点，为负没有实点。

点线距离不依赖斜率是否存在

直线Ax+By+C=0只要A、B不同时为0，就可用点线距离公式。它可以从一个平方恒等式证明：令K为点P代入直线式后的值，任意线上点与P的坐标差u、v满足Au+Bv=−K，而 $(A^2+B^2)(u^2+v^2)=(Au+Bv{)}^2+(Bu-Av{)}^2$。右侧至少为K²，并且有具体的坐标差使后一个平方为0，得到最短距离。这样无需先假设斜率存在，也不需要先学空间向量。

用同一个直角三角形判断交点

圆心O向直线作垂线，垂足H。线上点P在圆上等价于HP²=R²−OH²。右边大于0给两个位于H两侧的点；等于0只有H；小于0没有点。这同时解释圆心距判定与弦长关系。

也可把直线代入圆方程，得到一元二次式检查判别式。直线和圆的条件有效时，距离法与消元法应一致；若采用y=kx+b表示，还需单独处理竖直直线。后续圆锥曲线中消元可能降次，不能把本页的非退化圆结论无条件推广。

切点与外点不同

已知圆上切点，可以用切线垂直半径或切点方程；先验点在圆上。若给的是圆外点，切点尚未知道，要把过外点与圆心距等于半径两个条件联立，并保留竖直候选。例题和练习分别处理这两种情形。

公式与条件

圆半径要正，直线的两个未知数系数不能同时为0。距离取垂距；相切与两不同交点的端点条件不同。切点公式要求给定点确在圆上。

$$(x-h{)}^2+(y-k{)}^2=R^2,R^2=\frac{D^2+E^2}{4}-F$$

成立条件

标准式R>0，圆心(h,k)。一般式为x²+y²+Dx+Ey+F=0，此时圆心(−D/2,−E/2)；半径平方必须大于0，等于0为一个点，小于0为空集。

从哪里来

点到圆心的距离为R，利用两点距离公式平方即得标准式。一般式分别对x、y配方，得到(x+D/2)²+(y+E/2)²=(D²+E²)/4−F，右边符号决定点集。

适用场景与常见误用

可以用在

• 从一般式读取圆心和半径

• 检查是否真正表示非退化圆

要防止

• 把半径平方当半径

• 只看两平方项系数相同就忽略右边符号

知识讲解：直线与圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$$

成立条件

直线Ax+By+C=0中A、B不同时为0；点为P(x₀,y₀)，使用同单位的平面直角坐标系。

从哪里来

令K=Ax₀+By₀+C，任取直线上Q，记横纵差为u、v，则Au+Bv=−K。恒等式(A²+B²)(u²+v²)=(Au+Bv)²+(Bu−Av)²给距离平方的下界K²/(A²+B²)。取u=−AK/(A²+B²)、v=−BK/(A²+B²)，所得Q在直线上且取到下界。垂线段最短由勾股定理说明，所以这个最小距离正是点线距离。

适用场景与常见误用

可以用在

• 比较圆心距与半径

• 包含竖直、水平线的距离计算

要防止

• 漏掉绝对值

• 不能只取代入方程后的数

• 整体放大方程时分子分母都要变化

知识讲解：直线与圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$d<R\Rightarrow 2\text{个交点},d=R\Rightarrow 1\text{个交点},d>R\Rightarrow 0\text{个交点}$$

成立条件

圆半径R>0，d为圆心到有效直线的垂直距离。相切只有一个点，不是两个不同端点的弦。

从哪里来

设圆心到直线的垂足为H，线上任一点P满足OP²=d²+HP²。要使P在圆上，须HP²=R²−d²；右边正、零、负时分别有两个、一个、零个点。两交点的弦长用共享的圆心距与弦长公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 根据距离判断位置关系

• 用消元后的判别式作交叉核对

要防止

• 两不同交点要求严格d<R

• R=0不是本公式讨论的普通圆

知识讲解：直线与圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$|AB|=2\sqrt{r^2-d^2}$$

成立条件

r>0，d是圆心到弦所在直线的垂距，0≤d<r；d=r仅有一个切点，不是两端不同的弦。

从哪里来

d>0时用两个直角三角形的HL全等证明垂线平分弦，勾股定理得到半弦平方r²−d²。d=0时弦是直径，公式给2r，与定义相符。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由弦距求弦长

• 比较同圆中弦长与离圆心距离

要防止

• d是垂距，不是到任意弦端点的距离。

• 开方后得到半弦，须乘2。

知识讲解：圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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$$(x_0-h)(x-h)+(y_0-k)(y-k)=R^2$$

成立条件

圆为(x−h)²+(y−k)²=R²，R>0，给定点P(x₀,y₀)必须在圆上。该式含竖直、水平切线。

从哪里来

P满足圆方程，故代入这条直线成立。直线两个系数的平方和为R²，圆心代入左侧减右侧得到−R²，所以圆心距为R；由位置关系可知在P处相切。这也与切线垂直半径的几何判定一致。

适用场景与常见误用

可以用在

• 已知切点求切线

• 避免有限斜率形式遗漏竖直切线

要防止

• 外点不能直接代入切点公式

• 只过圆上点而未验证相切，不足以确定切线

知识讲解：直线与圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$l\text{在}P\text{处切圆}⟺P\in l,OP\perp l$$

成立条件

P已知在以O为圆心、r>0的圆上。

从哪里来

经过P并垂直OP时，对l上其他点Q，OQ²=r²+PQ²>r²，所以只交于P。反之若切线不垂直OP，圆心到l的垂距就小于r，按弦距关系应有两个交点，与相切矛盾。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判断或证明切线

• 由切线形成直角三角形

要防止

• 经过圆上指定点与垂直条件必须同时存在。

• 从图上看着相切不是证明。

知识讲解：圆

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（配方后检查半径）

求方程x²+y²−4x+6y−12=0所表示圆的圆心和半径，依次填圆心横坐标、纵坐标、半径。

解与结论

$(2,-3,5)$

1. 配方为(x−2)²+(y+3)²=25，所以圆心(2,−3)，半径5。

   为什么这样做

   坐标到圆心的平方距离等于半径平方；右边25是R²。

易错与反例

• 圆心纵坐标为−3，不是+3；半径也不是25。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（竖直弦与圆心距）

圆x²+y²=25与直线x=3相交，求弦长。

解与结论

$8$

1. 代入得y²=16，交点(3,4)、(3,−4)，弦长为|4−(−4)|=8。圆心距3小于半径5，确有两个交点。

   为什么这样做

   竖直线可直接代入，不需要斜率；整弦长是两个端点间的距离。

易错与反例

• 4是半弦长，不能只算圆心垂足到一个端点的距离。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（已知圆上切点）

求圆x²+y²=25在P(3,4)处的切线方程，并核对条件。

解与结论

3x+4y=25。

1. P满足9+16=25，确在圆上。候选直线经过P，且圆心到直线距离为25/√(3²+4²)=5，恰等于半径，所以只在P处相切。

   为什么这样做

   先确认给定点在圆上，再用过点和圆心距检查切线。

易错与反例

• 圆外点不能直接当作这个公式里的切点。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• r²≤0时先判断点集，不能强行称为普通圆。
• 圆心距使用圆心坐标，不能把任意点代入后比较半径。
• 外点作切线要检查斜率不存在的情形，切点坐标不能用外点替代。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

求方程x²+y²−4x+6y−12=0所表示圆的圆心和半径，依次填圆心横坐标、纵坐标、半径。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,-3,5)$

查看逐步解析与易错点

1. 配方为(x−2)²+(y+3)²=25，所以圆心(2,−3)，半径5。

   为什么这样做

   坐标到圆心的平方距离等于半径平方；右边25是R²。

易错与反例

• 圆心纵坐标为−3，不是+3；半径也不是25。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

圆x²+y²=25与直线x=3相交，求弦长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$8$

查看逐步解析与易错点

1. 代入得y²=16，交点(3,4)、(3,−4)，弦长为|4−(−4)|=8。圆心距3小于半径5，确有两个交点。

   为什么这样做

   竖直线可直接代入，不需要斜率；整弦长是两个端点间的距离。

易错与反例

• 4是半弦长，不能只算圆心垂足到一个端点的距离。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

求圆x²+y²=25在P(3,4)处的切线方程，并核对条件。

我的思路（本页草稿）

查看答案

3x+4y=25。

查看逐步解析与易错点

1. P满足9+16=25，确在圆上。候选直线经过P，且圆心到直线距离为25/√(3²+4²)=5，恰等于半径，所以只在P处相切。

   为什么这样做

   先确认给定点在圆上，再用过点和圆心距检查切线。

易错与反例

• 圆外点不能直接当作这个公式里的切点。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

圆心(1,2)、半径3的圆，与直线4x+3y−25=0是什么位置关系？

• A.

  两个不同交点

• B.

  相切

• C.

  没有交点

• D.

  直线经过圆心

我的思路（本页草稿）

查看答案

B

查看逐步解析与易错点

1. 圆心距为|4+6−25|/5=3，等于半径，因此相切。

   为什么这样做

   比较的距离必须是圆心到整条直线的垂直距离。

易错与反例

• 不能只把分子15与半径3比较，还要除法向系数长度5。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

圆x²+y²=4与直线y=3有几个实交点？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$0$

查看逐步解析与易错点

1. 代入得x²=−5，没有实数x满足，所以交点数为0。也可看圆心距3大于半径2。

   为什么这样做

   几何点使用实坐标；两种方法应给出相同判断。

易错与反例

• 不能把没有实交点误写成相切。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

方程x²+y²−2x+4y+5=0表示什么点集？是非退化圆吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

只有点(1,−2)，不是半径为正的圆。

查看逐步解析与易错点

1. 配方得到(x−1)²+(y+2)²=0，两个非负平方必须同时为0。

   为什么这样做

   圆的一般式配方后还要检查半径平方；等于0与大于0不同。

易错与反例

• 不能只看x²、y²系数相同就直接说是普通圆。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

直线x+y=m与圆x²+y²=2有两个不同交点，求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$m\in (-2,2)$

查看逐步解析与易错点

1. 圆心距为|m|/√2，半径为√2；两交点要求|m|/√2<√2，即|m|<2，所以−2<m<2。

   为什么这样做

   严格的两交点条件用d<R；端点m=±2对应相切。

易错与反例

• 不能把相切参数也包含进来。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆 · 绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 综合 · 独立练习

从P(1,1)向单位圆x²+y²=1作切线。能否直接写x+y=1？求正确的切线。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能直接套圆上点公式；正确切线为x=1与y=1。

查看逐步解析与易错点

1. P不在圆上，x+y=1也不经过P。先查竖直线x=1，它相切。其余过P直线写为y=k(x−1)+1，圆心距为|1−k|/√(1+k²)。令距离为1，两边非负可平方，解得k=0，得到y=1。两条均经过P且圆心距1。

   为什么这样做

   外点作切线要同时满足过外点与相切条件，并单列斜率不存在的直线。

易错与反例

• 把外点坐标当成切点坐标，或只考虑有限斜率，都会漏失或误造切线。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

求圆x²+y²+2x−4y−4=0的圆心与半径，依次填三个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-1,2,3)$

查看逐步解析与易错点

1. 配方为(x+1)²+(y−2)²=9，圆心(−1,2)，半径3。

   为什么这样做

   配方时补上的平方要同步计入右边，最后对半径平方开非负平方根。

易错与反例

• 右边为9，不是原式常数4。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

直线3x+4y=10与圆x²+y²=4是否相切？若相切，求切点。

我的思路（本页草稿）

查看答案

相切，切点为(6/5,8/5)。

查看逐步解析与易错点

1. 圆心距10/5=2，等于半径。消去x得到25y²−80y+64=(5y−8)²=0，因此y=8/5、x=6/5。代回圆和直线都成立。

   为什么这样做

   位置判断与求交点互相核对；相切时消元后应有重根并只给一个点。

易错与反例

• 同一个切点不能因为二重根就计作两个不同交点。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：直线与圆。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 圆锥曲线的方程

依据

课程依据：高中：直线与圆的方程。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。