第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
用导数定义求f(x)=x²在x=3处的导数。
查看答案
查看逐步解析与易错点
h≠0时差商为[(3+h)²−9]/h=6+h；h从两侧趋于0时都趋于6。
为什么这样做先约去共同因子h，再讨论趋近值，没有直接把0代入分母。
易错与反例
6.1是某个间隔的平均变化率，导数要取间隔趋于0的极限。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
导数的概念与运算
一句话
导数是局部变化率；先确认差商有同一个有限极限，再使用求导规则。
本页目标：用局部变化率解释导数，按规则求导并检查可导条件。按已经学过的内容选择基础或提高题。
前置知识
- 指数函数与对数函数
需要会：解释指数与对数互逆，推导对数律并检查底数与真数
- 三角函数的图象与性质
需要会：从周期、振幅和相位画三角函数图像并读性质
- 三角恒等变换
需要会：用和角公式展开正弦、余弦的差商，配合弧度制基本极限推导导数
可选补充： 数列的概念（定义在正整数集上的函数）。这些建议不作为开始学习的硬性门槛。
概念与推导
本页定位：课程基础。
平均变化率怎样变成局部变化率
函数f在x₀附近有定义，输入改变h≠0时，平均变化率为
以f(x)=x²为例，差商展开后为2x₀+h，故导数是2x₀。图上割线斜率逐渐趋近切线斜率。导数f′(x₀)是一个数，导函数f′则把每个可导点对应到该点导数。
可导比连续要求更多
可导时，函数增量=h×差商，差商趋于有限值，所以函数增量趋于0，函数连续。反过来不成立：|x|在0连续，但左右差商分别为−1和1，存在尖点。平方根在0只有右侧有定义，且右差商无界，不能称有有限右导数。
可导曲线在指定点的切线由点和导数共同确定。外点不是切点；求过外点的切线时，应另设曲线上切点，再施加过外点的条件。某些不可导点可能有竖直切线，但不属于有限斜率公式的范围。
为什么选择自然底数e
常数e约为2.71828，可用
正弦导数使用弧度制的基本极限sin h/h→1。小正角时，三角形与扇形面积比较给sin h<h<tan h，所以cos h<sin h/h<1；结合余弦连续性及奇偶关系得到两侧极限。再用和角公式展开差商，推出正弦与余弦的导数。角度制须先换单位。
运算规则与复合规则
和的增量直接拆开；积的增量要先加减一项，变成两个可取极限的差商，所以出现u′v+uv′。商法则来自通分，分母非零不可省。复合函数先对外层求导，再乘内层导数，例如ln(3x+1)的导数是3/(3x+1)。
链式法则的推导不能无条件除以内层增量，因为它可能为0。公式卡用“线性主项加一个更小误差”的增量写法解释这一点。一般实数幂在x>0可写成
公式与条件
有限双侧导数需要点的邻域和左右一致；根式、分式、对数与正切都保留各自范围。三角函数使用弧度，复合函数乘内层导数。
f在x₀的一个开邻域有定义，h≠0，左右趋近得到同一个有限极限。端点单侧导数须另行说明。
从哪里来
差商是两点之间的平均变化率。当时间或输入间隔趋于0而差商趋于一个确定有限值时，以此定义局部变化率。可导还推出连续：f(x₀+h)−f(x₀)=h乘差商，右侧趋于0。
适用场景与常见误用
可以用在
由平均速度过渡到瞬时速度
检查尖点两侧是否给出同一斜率
要防止
h趋于0不等于直接令分母为0
左右结果不同或无有限极限时不能称可导
连续不一定可导
知识讲解：导数的概念与运算
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
C为常数。幂公式此处先取正整数n；1/x要求x≠0，平方根的公式要求x>0。一般实数幂xᵅ可在x>0用指数、对数及复合规则推出。
从哪里来
常数的差商为0。对正整数n，利用uⁿ−vⁿ=(u−v)(uⁿ⁻¹+uⁿ⁻²v+⋯+vⁿ⁻¹)，差商成为n项，令h趋于0得nxⁿ⁻¹。倒数的差商为−1/[x(x+h)]；平方根差商有理化为1/[√(x+h)+√x]，在规定定义域取极限即得。
适用场景与常见误用
可以用在
多项式求导
倒数、根式的局部变化率
要防止
平方根在0处不能使用含√x的分母公式
导数的适用范围不应大于原函数范围
知识讲解：导数的概念与运算
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
指数底数a>0；对数底数另外要求a≠1、真数x>0。e选为满足limₕ→₀(eʰ−1)/h=1的自然底数，基本极限的存在性在这里作为分析结论使用。
从哪里来
指数差商提取eˣ，剩余基本极限为1。令t=ln(x+h)−ln x，则h=x(eᵗ−1)，故对数差商t/h趋于1/x。一般底数由aˣ=eˣˡⁿᵃ、换底公式与复合规则得到。上述推导使用指数与对数的连续性，不以数值试算证明极限存在。
适用场景与常见误用
可以用在
含指数或对数的增长率
根据底数和真数检查符号
要防止
logₐx求导不能漏ln a
对数公式不能用于非正真数
知识讲解：导数的概念与运算
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
x使用弧度。正切要求cos x≠0。用角度数作变量时须另乘π/180。
从哪里来
在弧度制下，扇形比较给sin h/h趋于1；用1−cos h=2sin²(h/2)得(cos h−1)/h趋于0。将正弦、余弦差商用和角公式展开，分别得到cos x、−sin x。正切由sin x/cos x及商法则推出。
适用场景与常见误用
可以用在
三角函数斜率与变化率
复合角的链式求导
要防止
不要漏余弦导数的负号
角度制数值不能直接套弧度导数
知识讲解：导数的概念与运算
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
u、v在所求点可导；商法则另要求v在该点非零，连续性保证附近也非零。常数倍可提出。
从哪里来
和的差商直接拆开。积的增量写为[u(x+h)−u(x)]v(x+h)+u(x)[v(x+h)−v(x)]，除h后取极限，利用可导蕴含连续。商的差商通分，分子按同样方法拆开，分母趋于v²，非零才能相除。
适用场景与常见误用
可以用在
多项式与函数乘积
分式求导并保留原定义域
要防止
积的导数不是导数的积
商法则分子有次序且分母要平方
知识讲解：导数的概念与运算
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
g在x₀可导，f在g(x₀)可导，复合函数在x₀附近有定义。内层增量可能为0，不能把除以内层增量作为无条件步骤。
从哪里来
把可导性写成增量形式：f(u+Δu)−f(u)=f′(u)Δu+r(Δu)Δu，其中r(t)趋于0，并令r(0)=0。除以Δx后，Δu/Δx趋于g′(x₀)，Δu趋于0，误差乘积趋于0，得到链式规则。即使某些Δu=0也合法。
适用场景与常见误用
可以用在
线性内层与幂、指数、对数复合
一般实数幂在正数域求导
要防止
不能漏乘内层导数
不是先分别求导再任意复合
知识讲解：导数的概念与运算
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
f在x₀具有有限导数。直线过曲线上P(x₀,f(x₀))，其斜率为f′(x₀)。从曲线外一点作切线时，切点应另设。
从哪里来
割线斜率的有限极限是导数，用点斜式写过P且具有这个斜率的直线。导数不存在时不能直接套用；某些曲线仍可能有竖直切线，需要另定义和讨论。
适用场景与常见误用
可以用在
求指定曲线点处的切线
检查切点坐标与斜率一致
要防止
外点的横坐标不能直接当切点横坐标
斜率0仍能给出水平切线
知识讲解：导数的概念与运算
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
典型例题
例 1（从差商计算）
用导数定义求f(x)=x²在x=3处的导数。
解与结论
h≠0时差商为[(3+h)²−9]/h=6+h；h从两侧趋于0时都趋于6。
为什么这样做先约去共同因子h，再讨论趋近值，没有直接把0代入分母。
易错与反例
6.1是某个间隔的平均变化率，导数要取间隔趋于0的极限。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
例 2（商法则与定义域）
求f(x)=(x²+1)/(x−1)的导函数，保留定义域。
解与结论
f′(x)=(x²−2x−1)/(x−1)²，x≠1。
商法则给[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²，展开分子得到x²−2x−1。
为什么这样做分子先按u′v−uv′求差，分母是原分母的平方；原函数在1无定义。
易错与反例
商的导数不是分子、分母导数直接相除。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
例 3（连续但不可导）
f(x)=|x|在x=0连续。它在0处可导吗？
解与结论
不可导；左差商为−1，右差商为1。
差商|h|/h在h<0时为−1，在h>0时为1，不能趋于同一个数。函数值确实趋于0，所以连续与可导要分开。
为什么这样做可导要求左右差商趋于同一有限极限；连续只检查函数值。
易错与反例
连续只是可导的必要条件，不能倒推。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
易错与反例
- 函数值、平均变化率和导数是三个不同量。
- 化简差商时保留h≠0，然后讨论极限；不能用0/0代替推导。
- 内层导数、余弦负号、商法则分母平方与三角单位都要检查。
衔接提示
练习
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）
求f(x)=(x²+1)/(x−1)的导函数，保留定义域。
查看答案
f′(x)=(x²−2x−1)/(x−1)²，x≠1。
查看逐步解析与易错点
商法则给[2x(x−1)−(x²+1)]/(x−1)²，展开分子得到x²−2x−1。
为什么这样做分子先按u′v−uv′求差，分母是原分母的平方；原函数在1无定义。
易错与反例
商的导数不是分子、分母导数直接相除。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）
f(x)=|x|在x=0连续。它在0处可导吗？
查看答案
不可导；左差商为−1，右差商为1。
查看逐步解析与易错点
差商|h|/h在h<0时为−1，在h>0时为1，不能趋于同一个数。函数值确实趋于0，所以连续与可导要分开。
为什么这样做可导要求左右差商趋于同一有限极限；连续只检查函数值。
易错与反例
连续只是可导的必要条件，不能倒推。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 4 题 提高 · 独立练习
f(x)=eˣ+ln x。求f′(1)，并写出原函数定义域。
查看答案
f′(1)=e+1，定义域x>0。
查看逐步解析与易错点
f′(x)=eˣ+1/x；x=1时为e+1。指数对全体实数有定义，但ln x只允许x>0。
为什么这样做和函数使用两个定义域的交集，再逐项求导。
易错与反例
不能因为指数项允许负数，就忽略对数项的限制。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 5 题 基础 · 独立练习
f(x)=(2x−1)³，求f′(1)。
查看答案
查看逐步解析与易错点
f′(x)=3(2x−1)²×2，代x=1得6。
为什么这样做外层三次幂求导后还要乘内层2x−1的导数2。
易错与反例
漏掉内层导数会误得3。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 6 题 基础 · 独立练习
一维运动的位置s(t)=t³米，t以秒计且t≥0。求t=2秒时的瞬时速度（米/秒）。
查看答案
查看逐步解析与易错点
s′(t)=3t²，t=2时为12米/秒。
为什么这样做位置对时间的变化率是速度；2处属于时间范围内部。
易错与反例
s(2)=8米是位置，不是速度。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 7 题 提高 · 独立练习
f(x)=√x在x=0有有限右导数吗？
查看答案
没有；右差商1/√h随h→0⁺无界增大。
查看逐步解析与易错点
h>0时[√h−0]/h=1/√h，不能趋于有限数。0是定义域端点，本题特意问右侧。
为什么这样做单侧与双侧导数要先区分；无限增大也不是有限导数。
易错与反例
不要把根式求导公式在0处分母为0的式子当成一个数。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 8 题 提高 · 独立练习
x使用弧度时，(sin x)′=cos x。若θ表示角度数，f(θ)=sin(πθ/180)，f′(0)还是1吗？
查看答案
不是，f′(0)=π/180。
查看逐步解析与易错点
把角度转成弧度后，链式法则给f′(θ)=cos(πθ/180)×π/180；代0得到π/180。
为什么这样做导数与自变量的单位有关，换单位会改变每单位的变化率。
易错与反例
不能省略度到弧度的转换系数。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
第 9 题 基础 · 独立复测
f(x)=x³−2x，求f′(1)。
查看答案
查看逐步解析与易错点
f′(x)=3x²−2，所以f′(1)=1。
为什么这样做按和差及幂函数规则求导，再代入所求点。
易错与反例
先代入得到常数再求导，得到的是另一个函数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
第 10 题 基础 · 独立复测
f(x)=ln(3x+1)，求f′(1)。
查看答案
查看逐步解析与易错点
定义域x>−1/3，故1合法；f′(x)=3/(3x+1)，代1得3/4。
为什么这样做对数的导数要乘内层导数3，并核对真数为正。
易错与反例
不能只写1/(3x+1)而漏乘3。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：导数的概念与运算。一道题出错只提供候选线索。
后继知识
依据
课程依据：高中：一元函数导数及应用。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。