计数原理、排列与组合

一句话

计数先判断一次方案怎样才算不同，再用不重不漏的分类、分步、排列或组合。

本页目标：区分分类相加与分步相乘，判断排列组合是否有序并用二项式定理。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 数据的收集整理与可能性

  需要会：收集分类数据，读统计图并用列表不重不漏地枚举

• 整式的乘法与乘法公式

  需要会：把多个二项式相乘并合并同类项，用分配律解释二项式展开的组合系数

概念与推导

本页定位：课程基础。

分类与分步

“任选一种办法就能完成”常对应分类：各类不能重叠，也不能遗漏。“必须做完每一步”常对应分步：每个前缀后能接的选择数都要正确。若不同前缀后可选数不同，先画树，分别计数再合并，不能机械地把两个总数相乘。

顺序何时重要

同一组人交换两个位置后若方案变了，就是有序的选择，例如队长与副队长。若只是选入小组，交换列举顺序不改变小组，则按无序组合计数。排列公式来自每一步剩余对象数；组合公式将每组相同的m!个排列合并。

0!=1使边界记法一致：从n人中选0人只有空组一种，从n人中全选也只有一种组。允许重复、首位不能0、某人必选、指定相邻等限制都先于公式。捆绑法要计内部顺序，间接法要明确补集。

二项式系数为什么是组合数

展开n个(a+b)的积时，每个因子选a或b。恰选k个b相当于从n个位置选k个，故aⁿ⁻ᵏbᵏ的系数为Cₙᵏ。若b=2x，还需乘2ᵏ；二项式系数与最终某个x幂次的系数不是同一个概念。

组合数还满足Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ，因为选入与排除一一对应；对0<k<n，按指定对象是否入选，可得Cₙᵏ=Cₙ₋₁ᵏ+Cₙ₋₁ᵏ⁻¹。把a=b=1代入二项式定理，所有组合数之和为2ⁿ，也对应每个对象选或不选的全部子集。

检查策略

小规模时先用列表复核：是否每个合法方案恰出现一次。规模大时说明分类为何互斥完备、分步为何每条路径有相同数量。计数本身不要求随机模型；用于概率时，还要额外检查被计数的基本结果是否等可能。

公式与条件

不同对象、有无顺序、能否重复、首位限制与特殊位置先说明。阶乘公式限定整数0≤m≤n；分类要互斥完备，分步要正确计算每层可选数。

$$N=\sum _i{n}_i\text{或}N=\prod _i{n}_i$$

成立条件

分类加法要求各类互斥且覆盖全部完成方式。分步乘法要求完成任务必须依次完成各步，且每一种前缀选择后，下一步都有所声明的nᵢ种选择。

从哪里来

不同类别无重叠时直接合并计数。分步时，把每个第一步选择都接上同样多的第二步选择，得到n₁n₂；逐层继续得到乘积。若某一步的可选数依前面的具体选择而不同，应分支计数再求和。

适用场景与常见误用

可以用在

• 树状枚举

• 先分类再在各类内分步

要防止

• 可任选一种方案与必须完成多个步骤不能混用

• 分支数量不同不能机械相乘

知识讲解：计数原理、排列与组合

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

成立条件

n、m为整数，0≤m≤n；从n个不同对象中无重复地选m个并排列。0!=1，空排列有1种。

从哪里来

第一位n种，第二位n−1种，依次到第m位n−m+1种，按分步原理相乘。用阶乘记法压缩这个有限乘积。m=0单独解释为空排列的一种。

适用场景与常见误用

可以用在

• 不同职位的分配

• 不重复数字的有序排列

要防止

• 允许重复时可选数通常不同

• 首位不能为0等限制须另分类

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AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$C_n^m=\frac{n!}{m!(n-m)!},C_n^m=C_n^{n-m}$$

成立条件

n、m为整数，0≤m≤n；只选对象，不区分选出的顺序。不同对象仍有区别。

从哪里来

先选后排得到Aₙᵐ。每个m元组有m!种排列，因此无序组数为Aₙᵐ/m!。选中m个与排除n−m个一一对应，得到对称关系。

适用场景与常见误用

可以用在

• 选小组与不放回样本

• 用补集转化选择要求

要防止

• 不同角色不能用无序组合直接计数

• 除以m!前要确认每组确实重复同样次数

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$$(a+b{)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{a}^{n-k}{b}^k$$

成立条件

n为非负整数，a、b为实数或可交换的代数表达式。二项展开共n+1项；系数与完整项要区分。

从哪里来

把n个(a+b)相乘。每个乘积项从n个因子中选k个取b，其余取a，得到aⁿ⁻ᵏbᵏ；这种选法有Cₙᵏ种。按k合并同类项得到展开，n=0时为1。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求指定幂次系数

• 用a=b=1得到组合数总和2ⁿ

要防止

• 展开第k+1项才对应选k个b

• b自身含系数或幂次时要同时乘入

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AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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典型例题

例 1（先分类再分步）

从甲城到乙城可任选3班公交之一或2班列车之一，再从乙城任选4班车到丙城。各班次均可衔接，求不同出行方案数。

解与结论

$20$

1. 第一段3+2=5种选择，第二段每种都可接4班，所以(3+2)×4=20。

   为什么这样做

   同一段的备选方式分类相加；两段必须都完成，按步骤相乘。

易错与反例

• 不能把3、2、4全部相乘或全部相加。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（职位与小组的差别）

5名不同同学中选队长、副队长各1人；另问只选2人组成无角色小组。依次求两种方案数。

解与结论

$(20,10)$

1. 有角色时5×4=20种；无角色时每组被两种次序重复计数，除以2，得10种。

   为什么这样做

   有无次序取决于交换两人的位置是否改变方案。

易错与反例

• 不能只看到“选2人”就无条件使用组合。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（首位不能为零）

用数字0、1、2、3组成不重复的三位整数，共有多少个？

解与结论

$18$

1. 百位不能为0，有3种；十位可用剩余3个数字，个位剩2个，所以3×3×2=18。

   为什么这样做

   先处理首位限制，再按不重复要求逐步减少选择数。

易错与反例

• 把0放在百位得到的不是三位整数。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 不是所有带“选”字的题都用组合，先看交换后方案是否改变。
• 至少、恰好和至多不同；补集要覆盖所有不符合要求的方案。
• 捆绑内部次序、展开式的常数系数和首尾边界都不能漏。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

从甲城到乙城可任选3班公交之一或2班列车之一，再从乙城任选4班车到丙城。各班次均可衔接，求不同出行方案数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$20$

查看逐步解析与易错点

1. 第一段3+2=5种选择，第二段每种都可接4班，所以(3+2)×4=20。

   为什么这样做

   同一段的备选方式分类相加；两段必须都完成，按步骤相乘。

易错与反例

• 不能把3、2、4全部相乘或全部相加。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

5名不同同学中选队长、副队长各1人；另问只选2人组成无角色小组。依次求两种方案数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(20,10)$

查看逐步解析与易错点

1. 有角色时5×4=20种；无角色时每组被两种次序重复计数，除以2，得10种。

   为什么这样做

   有无次序取决于交换两人的位置是否改变方案。

易错与反例

• 不能只看到“选2人”就无条件使用组合。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

用数字0、1、2、3组成不重复的三位整数，共有多少个？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$18$

查看逐步解析与易错点

1. 百位不能为0，有3种；十位可用剩余3个数字，个位剩2个，所以3×3×2=18。

   为什么这样做

   先处理首位限制，再按不重复要求逐步减少选择数。

易错与反例

• 把0放在百位得到的不是三位整数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 提高 · 独立练习

求(1+2x)⁵展开式中x³的系数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$80$

查看逐步解析与易错点

1. 要选3个因子中的2x，其余选1，系数C₅³×2³=10×8=80。

   为什么这样做

   选择位置贡献组合数，2x自身的系数也要相乘。

易错与反例

• 10只是二项式系数，不是最终x³的系数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

6名不同同学排成一行，指定甲、乙必须相邻，共有多少种排法？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$240$

查看逐步解析与易错点

1. 把甲乙合成一个整体，与其余4人共5个对象，有5!种；整体内部甲乙可交换，有2种，所以2×5!=240。

   为什么这样做

   捆绑计数还要乘整体内部的不同排列。

易错与反例

• 只算5!会漏掉甲乙对调的排法。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

7名不同同学选3人小组，指定甲必须入选，共有多少组？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$15$

查看逐步解析与易错点

1. 固定甲后，从剩余6人中选2人，C₆²=15。

   为什么这样做

   甲已占用一个名额，余下选择不区分次序。

易错与反例

• 不能仍从7人选3人，或把甲的加入位置再计数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

四位数字口令每位可为0到9，允许重复、允许首位为0，共有多少种？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10000$

查看逐步解析与易错点

1. 每位均有10种选择，四步相乘10⁴=10000。

   为什么这样做

   口令与四位整数的首位规则不同，题目已允许0开头。

易错与反例

• 不能按不重复要求写10×9×8×7。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

4名男生、3名女生中选3人小组，至少有1名女生，共有多少组？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$31$

查看逐步解析与易错点

1. 全部选法C₇³=35；全男生C₄³=4，补集相减得到31。

   为什么这样做

   不符合要求的全男生是一类清楚且无重复的补集。

易错与反例

• 至少1名包括1、2、3名女生，不等于恰有1名。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

从6名不同同学中选主持、记录、计时各1人，每人至多一个职位，共有多少种？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$120$

查看逐步解析与易错点

1. 三个职位不同，依次有6、5、4种选择，乘得120。

   为什么这样做

   交换职位会改变方案，所以使用有序分配。

易错与反例

• 不能除以3!把不同职位的方案合并。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

求(2+x)⁴展开式中x²的系数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$24$

查看逐步解析与易错点

1. 选2个因子取x，另2个取2，系数C₄²×2²=6×4=24。

   为什么这样做

   x的指数确定取x的因子数，余下常数仍贡献乘积。

易错与反例

• 只报组合数6会遗漏两个常数2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：计数原理、排列与组合。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 随机变量及其分布

依据

课程依据：高中：概率、计数与随机变量。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。