因式分解（提公因式法、公式法）

一句话

因式分解就是整式乘法反着做。 乘法把 $(x + 2) (x + 3)$ 展开成 $x^{2} + 5 x + 6$ ，因式分解把 $x^{2} + 5 x + 6$ 收回成 $(x + 2) (x + 3)$ 。

会展开不等于会收回。展开是机械的，收回需要看出结构——这个差别是后面一连串困难的源头。

前置知识

整式的乘法与乘法公式
需要会：用分配律展开多项式，推导平方及立方公式
运算律（交换律、结合律、分配律）
需要会：识别并双向使用交换律、结合律和分配律

概念与推导

为什么要把和写成积

一个和式 $x^{2} + 5 x + 6$ ，你只知道它整体是多少；一个积式 $(x + 2) (x + 3)$ ，你还知道它什么时候等于零——两个因子有一个为零即可。

这就是因式分解的全部动机：积为零的性质是和式没有的。解方程、判断符号、约分，全部依赖这一条。

A B = 0 ⟺ A = 0 或 B = 0

这条性质对和式不成立： $A + B = 0$ 推不出 $A$ 或 $B$ 是什么。

三种基本方法

提公因式——分配律 $m a + m b = m (a + b)$ 从右往左用。

6 x^{3} - 9 x^{2} = 3 x^{2} (2 x - 3)

公式法——乘法公式从右往左用。

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

a^{2} \pm 2 a b + b^{2} = (a \pm b)^{2}

先提后套——绝大多数题的实际流程。 $2 x^{2} - 8 = 2 (x^{2} - 4) = 2 (x + 2) (x - 2)$ ，先提 $2$ 再用平方差；直接套公式会漏掉公因式。

展开核对与代值查错

乘回去。 展开后比较系数是一种可靠的恒等式检验。代入几个数可以查错，但不能证明所有取值都正确。

公式与适用场景

平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

成立条件

a、b取任意实数；代入的表达式应在所讨论定义域内有意义。

从哪里来

展开右侧得到a²−ab＋ab−b²，中间项抵消。

适用场景与常见误用

可以用在

平方差分解；乘法简算；分母有理化。

要防止

平方和不能直接套平方差，但不能说所有平方和都不可分解。例如 $x^{4} + 4 = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$ 。

知识讲解：因式分解（提公因式法、公式法）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

完全平方公式

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

成立条件

a、b为任意实数。

从哪里来

把两个相同括号相乘，中项由两次ab相加得到。识别时选代数项A、B，再检查中项是否为±2AB；不要把 $\sqrt{A^{2}}$ 擅自写成A。

适用场景与常见误用

可以用在

展开、配方、识别完全平方。

要防止

遗漏中项或系数2；把首尾的算术平方根当成可带符号的代数项。

知识讲解：整式的乘法与乘法公式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（先提后套）

分解因式： $3 x^{3} - 12 x$ 。

解与结论

$3 x (x + 2) (x - 2)$

先提公因式： $3 x^{3} - 12 x = 3 x (x^{2} - 4)$

为什么这样做
提取3x后，括号内直接呈现平方差，便于识别下一步。
括号内用平方差： $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

为什么这样做
两项、都是完全平方、符号相反 —— 这三个特征同时出现就是平方差的识别信号。
展开验算 $3 x (x + 2) (x - 2) = 3 x (x^{2} - 4) = 3 x^{3} - 12 x$ ✓

为什么这样做
展开并逐项比较系数可检查恒等式。只代几个数有助于查错，不能证明对全部取值成立。

易错与反例

原式不便直接识别为本节的平方差形式。提取3x后，x²−4的结构很清楚；先提公因式是这里简洁的选择。
提成 $3 (x^{3} - 4 x)$ 就停 —— 公因式没提干净，括号里还能再提 $x$ 。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（分解到不能再分）

分解因式： $x^{4} - 1$ 。

解与结论

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

$x^{4} - 1 = (x^{2})^{2} - 1^{2} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

为什么这样做
把 $x^{4}$ 看成 $(x^{2})^{2}$ ，平方差公式里的 $a$ 可以是任何式子，不限于单个字母。这一步用的是「公式中的字母代表任意式子」，见小学「用字母表示数」。
$x^{2} - 1$ 仍是平方差，继续分解： $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

为什么这样做
「分解到每个因式都不能再分」是要求。分完一轮要回头检查每个因式。
$x^{2} + 1$ 在实数范围内不能再分，到此为止

为什么这样做
对每个实数x都有x²+1≥1>0，因此没有实根；若它有实一次因式，该因式的零点就会使乘积为0，产生矛盾。这个判断不能推广为任意平方和都不可分解。

易错与反例

停在(x²＋1)(x²−1)还没有分解彻底，后一因子仍可用平方差。
试图分解 $x^{2} + 1$ 写成 $(x + 1)^{2}$ —— 展开是 $x^{2} + 2 x + 1$ ，中项凭空多出来了。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（识别陷阱）

判断 $4 x^{2} + 12 x + 9$ 能否用完全平方公式分解，若能则分解。

解与结论

能， $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$

取代数项 $A = 2 x, B = 3$ ，则 $A^{2} = 4 x^{2}, B^{2} = 9, 2 A B = 12 x$ 。

为什么这样做
完全平方公式比较的是代数项及其乘积，不是首尾的算术平方根； $A$ 可以为负。
故 $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$

为什么这样做
原式恰为 $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ ，所以是 $(A + B)^{2}$ ；不需要假设 $x$ 为正。

易错与反例

若中项为 $6 x$ ，就不是这里所需的 $2 A B = 12 x$ ，不能作为多项式恒等分解。 $x = 0$ 的偶然相等不足以证明恒等。
写成 $(2 x + 9)^{2}$ —— 尾项取的是 $9$ 本身而不是它的平方根。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	根因	怎么改
漏提公因式直接套公式	没有固定顺序意识	永远先看公因式
分解不彻底（如停在 $x^{2} - 1$ ）	不知道"到不能再分为止"是要求	每个因式再检查一遍
认为 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2}$	混淆展开与分解	展开验算，立刻露馅
完全平方中项漏 $2$	背公式没背推导	写出代数项 $A, B$ ，检查中项 $\pm 2 A B$
分解后不验算	没养成乘回去的习惯	展开对比，唯一验算手段

衔接提示

练习

难度用途

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

分解因式： $3 x^{3} - 12 x$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$3 x (x + 2) (x - 2)$

查看逐步解析与易错点

先提公因式： $3 x^{3} - 12 x = 3 x (x^{2} - 4)$

为什么这样做
提取3x后，括号内直接呈现平方差，便于识别下一步。
括号内用平方差： $x^{2} - 4 = (x + 2) (x - 2)$

为什么这样做
两项、都是完全平方、符号相反 —— 这三个特征同时出现就是平方差的识别信号。
展开验算 $3 x (x + 2) (x - 2) = 3 x (x^{2} - 4) = 3 x^{3} - 12 x$ ✓

为什么这样做
展开并逐项比较系数可检查恒等式。只代几个数有助于查错，不能证明对全部取值成立。

易错与反例

原式不便直接识别为本节的平方差形式。提取3x后，x²−4的结构很清楚；先提公因式是这里简洁的选择。
提成 $3 (x^{3} - 4 x)$ 就停 —— 公因式没提干净，括号里还能再提 $x$ 。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法） · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

判断 $4 x^{2} + 12 x + 9$ 能否用完全平方公式分解，若能则分解。

我的思路（本页草稿）

查看答案

能， $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$

查看逐步解析与易错点

取代数项 $A = 2 x, B = 3$ ，则 $A^{2} = 4 x^{2}, B^{2} = 9, 2 A B = 12 x$ 。

为什么这样做
完全平方公式比较的是代数项及其乘积，不是首尾的算术平方根； $A$ 可以为负。
故 $4 x^{2} + 12 x + 9 = (2 x + 3)^{2}$

为什么这样做
原式恰为 $A^{2} + 2 A B + B^{2}$ ，所以是 $(A + B)^{2}$ ；不需要假设 $x$ 为正。

易错与反例

若中项为 $6 x$ ，就不是这里所需的 $2 A B = 12 x$ ，不能作为多项式恒等分解。 $x = 0$ 的偶然相等不足以证明恒等。
写成 $(2 x + 9)^{2}$ —— 尾项取的是 $9$ 本身而不是它的平方根。

另有 $\sqrt{4 x^{2}} = 2 | x |$ ，例如 $x = - 1$ 时根号结果为 $2$ 。作为二元实系数多项式， $a^{2} + a b + b^{2} = (a + b / 2)^{2} + 3 b^{2} / 4$ 不是两个非恒定实线性因式的乘积；特殊代值（如 $b = 0$ ）要另论。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

分解因式： $x^{4} - 1$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x^{2} + 1) (x + 1) (x - 1)$

查看逐步解析与易错点

$x^{4} - 1 = (x^{2})^{2} - 1^{2} = (x^{2} + 1) (x^{2} - 1)$

为什么这样做
把 $x^{4}$ 看成 $(x^{2})^{2}$ ，平方差公式里的 $a$ 可以是任何式子，不限于单个字母。这一步用的是「公式中的字母代表任意式子」，见小学「用字母表示数」。
$x^{2} - 1$ 仍是平方差，继续分解： $x^{2} - 1 = (x + 1) (x - 1)$

为什么这样做
「分解到每个因式都不能再分」是要求。分完一轮要回头检查每个因式。
$x^{2} + 1$ 在实数范围内不能再分，到此为止

为什么这样做
对每个实数x都有x²+1≥1>0，因此没有实根；若它有实一次因式，该因式的零点就会使乘积为0，产生矛盾。这个判断不能推广为任意平方和都不可分解。

易错与反例

停在(x²＋1)(x²−1)还没有分解彻底，后一因子仍可用平方差。
试图分解 $x^{2} + 1$ 写成 $(x + 1)^{2}$ —— 展开是 $x^{2} + 2 x + 1$ ，中项凭空多出来了。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题综合 · 独立练习

已知 $x^{2} - y^{2} = 12$ ， $x + y = 4$ ，求 $x - y$ 的值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x - y = 3$

查看逐步解析与易错点

由平方差公式 $x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)$ ，得 $(x + y) (x - y) = 12$

为什么这样做
题目给了 $x^{2} - y^{2}$ 和 $x + y$ ，而平方差公式恰好把这两者和 $x - y$ 连在一起。 看到已知量之间存在某条公式的三个位置中的两个，就去用那条公式。
代入 $x + y = 4$ ： $4 (x - y) = 12$ ，故 $x - y = 3$

为什么这样做
不需要解出 $x$ 和 $y$ 。目标是 $x - y$ 这个整体，就把它当成一个未知量。

易错与反例

先求出x=3.5、y=0.5再相减也正确；直接把x−y当成整体，可用一次除法得到目标。选择较短方法是效率建议，不是判错依据。

这就是韦达定理「不解出根也能求值」的雏形：目标式能用已知的组合表出时，就不必求出单个变量。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法） · 二元一次方程组。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题提高 · 独立练习

在实系数范围内分解因式 $2 x^{2} y - 8 y$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2 y (x - 2) (x + 2)$ 。

查看逐步解析与易错点

先提2y得到2y(x²−4)，再把括号中的平方差写成(x−2)(x+2)。展开后恢复原式。

为什么这样做
提公因式与平方差可以连续使用；每一步都是多项式恒等式。

易错与反例

y=0时等式仍成立，提公因式不是除以y，不必排除y=0。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题提高 · 独立练习

分解因式 $9 t^{2} - 12 t + 4$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3 t - 2)^{2}$ 。

查看逐步解析与易错点

取A=3t、B=2，首尾为A²和B²，中间项−2AB=−12t，因此是(A−B)²。

为什么这样做
识别完全平方须同时核对首项、中项和常数项。

易错与反例

看到两端是平方还不够，中间项也必须匹配。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题基础 · 独立练习

多项式 $x^{2} + 6 x + 9$ 的正确因式分解是哪一项？

A.
$(x + 3) (x - 3)$
B.
$(x + 6)^{2}$
C.
$(x + 3)^{2}$
D.
$x (x + 6) + 9$

我的思路（本页草稿）

查看答案

查看逐步解析与易错点

(x+3)²=x²+6x+9；A展开是x²−9，B的中项和常数都不符，D仍是和的形式。

为什么这样做
因式分解要写成因式的乘积，并且展开与原式恒等。

易错与反例

改写成另一种和式，不一定完成了因式分解。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题基础 · 独立练习

利用因式分解计算 $49^{2} - 51^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$- 200$

查看逐步解析与易错点

(49−51)(49+51)=−2×100=−200。

为什么这样做
把平方差转成乘积可简化运算，并保留次序决定的符号。

易错与反例

49<51，所以结果应为负，可以先用大小关系检验符号。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题提高 · 独立复测

分解因式 $5 a^{3} - 20 a$ ，并展开检查。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5 a (a - 2) (a + 2)$ 。

查看逐步解析与易错点

5a³−20a=5a(a²−4)=5a(a−2)(a+2)；反向展开得5a³−20a。

为什么这样做
各项先提公共因子，剩余部分为平方差。

易错与反例

停在5(a³−4a)时还能进一步分解。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题提高 · 独立复测

已知实数x、y满足 $x^{2} - y^{2} = 0$ ，能否一定推出x=y？写出完整结论。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；完整结论是x=y或x=−y。

查看逐步解析与易错点

平方差为(x−y)(x+y)=0，至少一个因子为0。x=1、y=−1满足原条件但x≠y。

为什么这样做
零乘积可以由不同因子为0产生，不能只保留一个分支。

易错与反例

把x+y直接除掉会漏掉x+y=0的分支。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

依据

课程依据：初中：代数式与因式分解。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

因式分解（提公因式法、公式法） ​

一句话 ​

前置知识 ​

概念与推导 ​

为什么要把和写成积 ​

三种基本方法 ​

展开核对与代值查错 ​

公式与适用场景 ​

平方差公式 ​

完全平方公式 ​

典型例题 ​

例 1（先提后套） ​

例 2（分解到不能再分） ​

例 3（识别陷阱） ​

易错点 ​

衔接提示 ​

练习 ​

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题 综合 · 独立练习

第 5 题 提高 · 独立练习

第 6 题 提高 · 独立练习

第 7 题 基础 · 独立练习

第 8 题 基础 · 独立练习

第 9 题 提高 · 独立复测

第 10 题 提高 · 独立复测

后继知识 ​

依据 ​

因式分解（提公因式法、公式法）

一句话

前置知识

概念与推导

为什么要把和写成积

三种基本方法

展开核对与代值查错

公式与适用场景

平方差公式

完全平方公式

典型例题

例 1（先提后套）

例 2（分解到不能再分）

例 3（识别陷阱）

易错点

衔接提示

练习

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题综合 · 独立练习

第 5 题提高 · 独立练习

第 6 题提高 · 独立练习

第 7 题基础 · 独立练习

第 8 题基础 · 独立练习

第 9 题提高 · 独立复测

第 10 题提高 · 独立复测

后继知识

依据