代数式与整式的加减

一句话

用字母表示数和数量关系，可以列出代数式、代入求值，并按运算律化简。

本页目标：区分单项式、多项式及其系数和次数，用同类项和分配律完成整式加减；再学习整体代入。含绝对值的例题属于提高内容。

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前置知识

• 运算律（交换律、结合律、分配律）

  需要会：识别并双向使用交换律、结合律和分配律

• 有理数

  需要会：用数轴比较有理数，解释负数、绝对值和符号运算

概念与推导

从数量关系列式与求值

用数、表示数的字母及运算符号组成的式子称为代数式，单独一个数或字母也可以是代数式。等式 $x+2=5$ 陈述两个式子相等，不把整个等式当作一个代数式。

例如每本练习本3元，买 $n$ 本需 $3n$ 元；给定 $n=4$，代入便得12元。这里 $n$ 表示本数，应取符合情境的非负整数。代入负数时用括号包住，求值前还要检查式子有意义，例如 $1/x$ 要求 $x\ne 0$。

单项式、多项式、系数与次数

数与字母的乘积组成单项式，字母的指数取非负整数；单独的数或字母也算单项式。单项式的数字因数叫系数，字母指数的和叫次数。例如 $-2x^{2}y$ 的系数为−2，次数为 $2+1=3$；$-x$ 的系数为−1、次数为1。非零常数的次数为0；本页不规定零单项式的次数。

几个单项式的和组成多项式，其中每个单项式叫一项，项的符号跟随该项。例如 $2x^2-3x+5$ 有三项：$2x^2$、$-3x$、5，常数项是5。先合并同类项，所得非零多项式中最高的单项式次数就是多项式的次数；上式是二次三项式。单项式与多项式统称整式。

字母在分母中或根号内的 $1/x$、$\sqrt{x}$ 不是关于 $x$ 的整式；$x/2=\frac{1}{2}x$ 的分母是常数，仍是单项式。判断同类项要比较字母及各字母指数：$x^{2}y$ 与 $x{y}^2$ 总次数相同，却不是同类项。

系数与次数练习和多项式复测分别检查这些定义。

字母到底代表什么

同一个字母在不同问题中可以承担不同角色，先按题意辨认：

角色	例子	特征
未知数	$3x-8=x+4$ 中的 $x$	要找出满足方程的全部取值；不预设一定有解或只有一解
变元	$a+b=b+a$ 中的 $a,b$	可以是任何数，式子对每个取值都成立
参数	$ax=2a-4$ 中的 $a$	暂时固定，需要时讨论不同取值对解的影响

角色由问题决定，不由字母名称决定。恒等式 $a+b=b+a$ 对所讨论的实数都成立，不能用它唯一确定 $a$；在含参方程中，则把参数暂时固定，求未知数的解，再按需要讨论参数。

准备除以含参数的系数时，要先判断它是否为零，因为这会影响变形是否可逆以及方程的类型。

合并同类项 = 分配律反着用

$$3x+5x=(3+5)x=8x$$

中间那一步是分配律 $m(a+b)=ma+mb$ 从右往左用，即把展开的和重新写成积。

合并同类项是提公因式的一种情形：提出相同的字母部分，再把系数相加。例如：

$$3x^2+5x^2=8x^2\text{与}3x^{2}y+5x^{2}y=8x^{2}y\text{与}3(a+b)+5(a+b)=8(a+b)$$

第三个式子把 $(a+b)$ 看作共同部分，同样能应用分配律。这也是整体思想的一种用法。

为什么只有同类项能合并

合并同类项时保留相同的字母部分，只把系数相加。$3x$ 与 $5y$ 的字母部分不同，没有关于 $x,y$ 的额外关系时，不能按同类项合成一项。

把 $3x+5y$ 写成 $8xy$ 会改变式子的值：取 $x=1,y=0$，两式分别为3和0。一个式子可以保留多项，不必强行合成一个乘积或数。

去括号：符号是分配律分给每一项的

$$-(a-b+c)=-a+b-c$$

$-1$ 要乘进括号里的每一项。括号前还有其他系数时，系数连同符号一起分配给每一项：

$$-3(a-2b)=-3a+6b\text{（不是 }-3a-2b\text{）}$$

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公式与适用场景

合并同类项

$$ma+na=(m+n)a$$

成立条件

m、n为实数系数，a表示完全相同的字母部分或整体；不能把不同字母部分强行合并。

从哪里来

分配律从右往左使用；改变的是系数，字母部分不变。

适用场景与常见误用

可以用在

• 化简代数式；整体代入。

要防止

• $x^2+x^3$ 不是同类项之和，不能合为 $x^5$。

知识讲解：代数式与整式的加减

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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去括号的符号

$$a+(b-c)=a+b-c,a-(b-c)=a-b+c$$

成立条件

a、b、c为实数或有意义的代数式。

从哪里来

正号可看作乘1，负号可看作乘−1；分配律作用于括号内的每一项。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含括号式子的化简。

要防止

• 负号只改变第一项的符号。

知识讲解：代数式与整式的加减

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（基础）

化简：$3(2x-1)-2(x+4)$。

解与结论

$4x-11$

1. 去括号：$6x-3-2x-8$

   为什么这样做

   括号前是负号时，括号内每一项都要变号。 依据是分配律 $-2(x+4)=(-2)\cdot x+(-2)\cdot 4$ —— 不是「口诀」，是乘法分配到每一项。

2. 合并同类项：$(6x-2x)+(-3-8)=4x-11$

   为什么这样做

   同类项才能合并，靠的还是分配律反向用：$6x-2x=(6-2)x$。 字母部分不同的项之间没有任何可合并的余地。

易错与反例

• 漏乘或符号出错，例如把 $-2(x+4)$ 写成 $-2x+8$；代x＝0，原式为−8而错式为8，可立即查出。

• 把 $6x$ 与 $-3$ 合并成 $3x$，不同类项强行相加。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（整体代入）

已知 $a-b=3$，求 $2(a-b)-5(b-a)$ 的值。

解与结论

$21$

1. 注意 $b-a=-(a-b)$，故原式 $=2(a-b)+5(a-b)$

   为什么这样做

   题目只给了 $a-b$ 的值，没给 $a$ 和 $b$ 各自的值 —— 这就是在提示要把 $a-b$ 当成一个整体。见到 $b-a$ 先想到它是 $a-b$ 的相反数。

2. 合并得 $7(a-b)=7\times 3=21$

   为什么这样做

   把 $(a-b)$ 当作一个"字母"来合并同类项，整体代入即可。

易错与反例

• 这里只有a与b的差，没有其他约束，不能唯一确定各自的值；目标组合却能唯一确定。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（分类讨论）

化简 $|x-2|+|x+1|$，其中 $-1<x<2$。

解与结论

$3$

1. 由 $-1<x<2$ 判断符号：$x-2<0$，$x+1>0$

   为什么这样做

   绝对值要去掉必须先知道里面式子的符号。 题目给的双边条件正是为了让两个式子的符号能分别定下来 —— 条件的形状告诉你要判断哪几个式子。

2. $|x-2|=-(x-2)=2-x$，$|x+1|=x+1$

   为什么这样做

   负的取相反数，正的直接去括号。

3. $(2-x)+(x+1)=3$

   为什么这样做

   $x$ 相消，结果与 $x$ 无关。

易错与反例

• 两个绝对值都直接去掉，得 $(x-2)+(x+1)=2x-1$。 代 $x=0$ 验算：原式 $=2+1=3$，而 $2x-1=-1$ —— 代一个具体值就能发现。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	核对点	怎么改
$3x+5y=8xy$	字母部分不同，不能按同类项合并	取具体值比较两式，保留不同的项
$-(a-b)=-a-b$	第二项没有正确乘−1	用分配律让−1乘每一项
$-3(a-2b)=-3a-2b$	第二项漏乘了−3	系数连同符号一起乘进去
$x^2+x^3=x^5$	把加法当成乘法的指数规则	同类项要求指数相同，不是相加
由 $a-b=3$ 断定 $a,b$ 各自唯一	一个差不足以唯一确定两个数	先看目标式能不能由已知整体表示

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练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

12 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

化简：$3(2x-1)-2(x+4)$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4x-11$

查看逐步解析与易错点

1. 去括号：$6x-3-2x-8$

   为什么这样做

   括号前是负号时，括号内每一项都要变号。 依据是分配律 $-2(x+4)=(-2)\cdot x+(-2)\cdot 4$ —— 不是「口诀」，是乘法分配到每一项。

2. 合并同类项：$(6x-2x)+(-3-8)=4x-11$

   为什么这样做

   同类项才能合并，靠的还是分配律反向用：$6x-2x=(6-2)x$。 字母部分不同的项之间没有任何可合并的余地。

易错与反例

• 漏乘或符号出错，例如把 $-2(x+4)$ 写成 $-2x+8$；代x＝0，原式为−8而错式为8，可立即查出。

• 把 $6x$ 与 $-3$ 合并成 $3x$，不同类项强行相加。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

已知 $a-b=3$，求 $2(a-b)-5(b-a)$ 的值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$21$

查看逐步解析与易错点

1. 注意 $b-a=-(a-b)$，故原式 $=2(a-b)+5(a-b)$

   为什么这样做

   题目只给了 $a-b$ 的值，没给 $a$ 和 $b$ 各自的值 —— 这就是在提示要把 $a-b$ 当成一个整体。见到 $b-a$ 先想到它是 $a-b$ 的相反数。

2. 合并得 $7(a-b)=7\times 3=21$

   为什么这样做

   把 $(a-b)$ 当作一个"字母"来合并同类项，整体代入即可。

易错与反例

• 这里只有a与b的差，没有其他约束，不能唯一确定各自的值；目标组合却能唯一确定。

「目标式能用已知的组合表出时，不必求出单个变量」—— 这个思路在韦达定理处会成为主角。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

化简 $|x-2|+|x+1|$，其中 $-1<x<2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$3$

查看逐步解析与易错点

1. 由 $-1<x<2$ 判断符号：$x-2<0$，$x+1>0$

   为什么这样做

   绝对值要去掉必须先知道里面式子的符号。 题目给的双边条件正是为了让两个式子的符号能分别定下来 —— 条件的形状告诉你要判断哪几个式子。

2. $|x-2|=-(x-2)=2-x$，$|x+1|=x+1$

   为什么这样做

   负的取相反数，正的直接去括号。

3. $(2-x)+(x+1)=3$

   为什么这样做

   $x$ 相消，结果与 $x$ 无关。

易错与反例

• 两个绝对值都直接去掉，得 $(x-2)+(x+1)=2x-1$。 代 $x=0$ 验算：原式 $=2+1=3$，而 $2x-1=-1$ —— 代一个具体值就能发现。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：代数式与整式的加减 · 有理数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

把 $-2(3a-b)+3(a-2b)$ 写成 $Aa+Bb$，依次给出A、B。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-3,-4)$

查看逐步解析与易错点

1. $-6a+2b+3a-6b=-3a-4b$。

   为什么这样做

   分配律去括号，再分别合并字母部分相同的项。

易错与反例

• 负系数要乘括号内的每一项；a项与b项不能合并。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

下列哪一项与 $-2x^{2}y$ 是同类项？

• A.

  $3x{y}^2$

• B.

  $3x^{2}y$

• C.

  $-2x^2{y}^2$

• D.

  $-2xy$

我的思路（本页草稿）

查看答案

B

查看逐步解析与易错点

1. 同类项的字母及各字母指数相同，系数可以不同，因此选 $3x^{2}y$。

   为什么这样做

   比较字母部分，而不是只比较系数或总次数。

易错与反例

• 总次数相同并不保证同类，例如 $x{y}^2$ 与 $x^{2}y$。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

长方形长为 $(x+3)$ 厘米、宽为 $(x-1)$ 厘米，其中 $x>1$。用x表示周长，并求x=4时的周长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4x+4$ 厘米；x=4时为20厘米。

查看逐步解析与易错点

1. $2[(x+3)+(x-1)]=4x+4$；代入x=4得20。

   为什么这样做

   周长是两条长与两条宽之和；x>1保证两种边长均为正。

易错与反例

• 不能把长乘宽当作周长；面积与周长的单位不同。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：代数式与整式的加减 · 图形的认识与测量（周长、面积、体积）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

小明代入x=1，发现x+1与2x都等于2，便说两个式子恒等。这个结论成立吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不成立，例如x=0时分别为1与0。

查看逐步解析与易错点

1. 代一个值相等只能说明这个值满足等式；x=0给出反例，所以两式不恒等。

   为什么这样做

   恒等要求在所讨论的全部取值上相等，一个符合范围的反例即可否定。

易错与反例

• 几个数值试验通过可以帮助查错，不能取代恒等变形的证明。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

已知 $2a-b=5$，求 $6a-3b+4$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$19$

查看逐步解析与易错点

1. $6a-3b+4=3(2a-b)+4=3\times 5+4=19$。

   为什么这样做

   目标式能由已知整体表示，无须分别求a、b。

易错与反例

• 不能由一个差的值直接断定a、b各自唯一。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

把 $4(2x-3)-3(x+1)$ 化成 $Ax+B$，依次给出A、B。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(5,-15)$

查看逐步解析与易错点

1. $8x-12-3x-3=5x-15$。

   为什么这样做

   先分配到每项，再合并同类项。

易错与反例

• 第二个括号前的−3要同时乘x和1。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

合并同类项 $4m^{2}n-7m^{2}n$，结果是哪一项？

• A.

  $-3m^4{n}^2$

• B.

  $11m^{2}n$

• C.

  $-3m^{2}n$

• D.

  $-3mn$

我的思路（本页草稿）

查看答案

C

查看逐步解析与易错点

1. $4m^{2}n-7m^{2}n=(4-7)m^{2}n=-3m^{2}n$。

   为什么这样做

   合并是分配律的逆用，只相加系数，保留字母部分。

易错与反例

• 加减同类项不把字母指数相加，那是同底数幂相乘的另一条规则。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 基础 · 独立练习

单项式 $-3x^{2}y$ 的系数和次数分别是多少？按此顺序填写。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-3,3)$

查看逐步解析与易错点

1. 数字因数是−3，所以系数为−3。

   为什么这样做

   系数包含数字因数前的符号，不能只取其绝对值。

2. x的指数为2，y未写出的指数为1，故次数为2+1=3。

   为什么这样做

   单项式的次数是所有字母指数的和，不是系数，也不是最大的单个指数。

易错与反例

• 不要漏掉系数的负号或y的指数1。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-10。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 12 题 基础 · 独立复测

已化简的多项式 $2x^{4}y-3x^2+y-5$ 有几项、次数是多少？按“项数、次数”的顺序填写。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(4,5)$

查看逐步解析与易错点

1. 四项分别是 $2x^{4}y$、$-3x^2$、$y$ 和−5，所以项数为4。

   为什么这样做

   常数项也算一项，每项保留自己的符号；这些项不能继续合并为同类项。

2. 四项的次数依次为5、2、1、0，最大值为5，所以多项式的次数为5。

   为什么这样做

   先求每个非零单项式的总次数，再取最高次数；不把所有项的次数相加。

易错与反例

• 最高字母指数4不是本题多项式的次数；首项还含一个y。

• 项数和次数是两个不同指标，不要漏数常数项。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-10。

回补：代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 一元一次方程
• 整式的乘法与乘法公式
• 函数的概念（变量说）

依据

课程依据：初中：代数式与因式分解。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

已核电子教材中的相关位置

• 义务教育教科书数学七年级上册：第三章 代数式；3.1 列代数式表示数量关系，3.2 代数式的值（印刷页 68；69、79）。

  所列官方电子本，封面标2024审定；纸质版次未载。部分内容对应：对应列式与求值；本站例题为自编。

• 义务教育教科书数学七年级上册：第四章 整式的加减；4.1 整式，4.2 整式的加法与减法（印刷页 88；89、95）。

  所列官方电子本，封面标2024审定；纸质版次未载。部分内容对应：对应单项式、多项式和合并同类项；整式乘法在其他节点。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。