数形结合

什么时候想到画图

当式子含距离、斜率、面积、数量积，或问题询问函数值与交点个数时，图形可以帮助组织推理。画图前说明坐标、定义域和单位；草图提供线索，精确结论仍须由条件、计算或几何证明支持。

例如平方和的平方根可以表示距离，$f(x)=g(x)$ 对应两图像交点，$f(x)>0$ 对应函数图像在横轴上方的部分。图形与代数是同一个问题的不同表示，不是画完图就省略条件。

典型例题

例 1（W形曲线：不同实根个数）

方程 $x^2-4|x|+3=k$ 有四个不同实根，求k的范围。

图形观察：令 $u=|x|$，函数可写成 $(u-2{)}^2-1$。两个谷底在x＝±2，高度−1；x＝0处高度3。水平线在谷底与中峰之间时有四个交点。

代数确认：$u=2\pm \sqrt{k+1}$。要有两个不同的正u，需 $0<\sqrt{k+1}<2$，即 $-1<k<3$；每个正u对应两个相反数x，恰好四根。k＝−1时只得x＝±2；k＝3时得x＝0、±4，只有三根。边界不能包括。

例 2（数轴距离：最小值及取等区间）

求 $|x-1|+|x-5|$ 的最小值。

解：两项分别是x到1、5的距离。若 $1\le x\le 5$，两段相加刚好是两定点间的距离4；若x在两点之外，就多走一段来回距离，总和大于4。因此最小值为4，在整个 $[1,5]$ 上都取得。

这不要求x恰在中点3。若题设再限制x≥6，原取等区间不再可用，最小值改为x＝6时的6。

例 3（反射：折线路径最短）

点 $A(0,1),B(3,2)$，P在x轴上运动，求 $PA+PB$ 的最小值。

解：把A关于x轴反射到 $A^{\prime }(0,-1)$。因为P在对称轴上，$PA=P{A}^{\prime }$，所以 $PA+PB=P{A}^{\prime }+PB\ge A^{\prime }B=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。

取等要使P位于线段A'B上。该直线为y＝x−1，与x轴交于P(1,0)，确实满足约束。故最小值为 $3\sqrt{2}$，唯一取等点是P(1,0)。反射让两段折线可以拼成一条直线。

反例与失效情形

反例 1（草图不能代替精确关系）

徒手画 $y=x^2+x+1$ 时，若把曲线画得穿过横轴，就会误判它有实根。配方得 $y=(x+1/2{)}^2+3/4>0$，实际没有横轴交点。画图所用的顶点与截距也必须来自计算或已知条件。

反例 2（把离散定义域连成连续曲线）

对数列 $a_n=(n-3/2{)}^2$，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，不能把连续抛物线的顶点值0当成数列最小值，因为序号3/2不允许。应比较整数1与2，二者值均为1/4，其余正整数离轴更远，故最小值1/4。

检查与回补

画图后检查“图上的点是否都在原定义域里”“角、距离、坐标是否和式子对应”“取等点是否可达”。可回到二次函数区间最值、单位圆、数列验证这些能力。

只有两个端点或若干散点时，不能随意把它们连成函数全图。几何关系本身也可以导出精确值；需要避免的是用不精确的草图替代论证。