指数函数与对数函数

一句话

指数函数把输入当指数，对数函数反过来问“这个正数是底数的几次幂”；两者的范围与底数条件不可省。

本页目标：解释指数与对数互逆，推导对数律并检查底数与真数。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 函数的性质（单调性、奇偶性、最值）

  需要会：用量词陈述单调、奇偶与最值，核对定义域条件

• 二次根式

  需要会：使用非负平方根、绝对值与有理化，检查定义域

概念与推导

本页定位：课程基础。

固定a>0、a≠1，函数y=aˣ的定义域是全体实数，值域是正实数。a>1时递增，0<a<1时递减；都经过(0,1)。a=1仍定义常函数，但不属于此处通常所称的指数函数。

整数指数从重复相乘出发，负指数表示倒数，分数指数用正根扩展；实指数再通过一致的连续扩展定义。负底数能计算某些整数幂，不代表它能用于这个全实数定义域。

若aʸ=x，则称y为以a为底x的对数，记为logₐx。合法底数保证指数对应唯一，真数x必须正。对数定义域为正实数、值域为全体实数，经过(1,0)，单调方向与同底指数函数一致。

同底指数与对数互为反函数，图像关于y=x对称；如果原函数限制了定义域，反函数也要使用原来的值域作新定义域。常用记号lg是以10为底，ln是以自然常数e为底；e约为2.71828，后续导数页说明选择这个底数的作用，本页的推导适用于任意合法底数。

对数的乘积、商、幂公式来自指数律。它们不允许随意拆分加法，也不能只检查乘积为正就放过两个负真数。处理方程和不等式时，先列定义域，再按递增或递减关系变形，最后核对原式。

现实中用指数模型，需要说明等时间的倍数假设与适用区间；增长率随环境改变时，不能用一个常数底数无限外推。

公式与条件

指数运算的正底数条件，与指数函数/对数函数另外要求a≠1分开；对数真数必须正。

$$a^s{a}^t=a^{s+t},\frac{a^s}{a^t}=a^{s-t},(a^s{)}^t=a^{st},a^0=1$$

成立条件

a>0，s、t为实数；分母aᵗ始终为正。

从哪里来

对整数指数可按相同因数的个数证明；分数指数取正根，使用整数幂法则得到相容的规则。实指数采用保持连续性与这些规则的一致扩展，本页使用其高中范围的性质，不把有限小数验证视作对所有实数的构造证明。

适用场景与常见误用

可以用在

• 指数式化简

• 指数增长与衰减模型

要防止

• 底数为负时不能无条件使用任意实指数法则。

• 乘幂是指数相加，幂的幂才是指数相乘。

知识讲解：指数函数与对数函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N,{\log }_a(M/N)={\log }_{a}M-{\log }_{a}N,{\log }_a(M^r)=r{\log }_{a}M$$

成立条件

a>0、a≠1，M>0、N>0，r为实数。

从哪里来

令M=aᵘ、N=aᵛ，将乘积、商、幂分别改写为aᵘ⁺ᵛ、aᵘ⁻ᵛ、aʳᵘ，再用指数与对数的唯一反向对应得到三式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 乘积或商的对数化简

• 对数方程与增长模型

要防止

• 拆分对数时须保证每个真数分别正。

• log(M+N)一般不能拆成两个对数的和。

• log(x²)在x≠0时应与2log|x|比较，不能无条件写2log x。

知识讲解：指数函数与对数函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$${\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$$

成立条件

a、b均为正且不等于1，x>0，因此log_b a≠0。

从哪里来

令y=log_a x，则aʸ=x。两侧取底b的对数，用幂的对数公式得到y log_b a=log_b x，除以非零分母即可。

适用场景与常见误用

可以用在

• 用同一底数比较或计算对数

• 解释计算器只提供常用底数也能处理其他底数

要防止

• 分母为log_b a，不要把a和x位置颠倒。

• a=1使分母为0，对数本身也失去唯一性。

知识讲解：指数函数与对数函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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典型例题

例 1（指数与对数互换）

依次求 ${\log }_{2}8$ 与 $2^{-3}$。

解与结论

$(3,\frac{1}{8})$

1. 2³=8，所以log₂8=3；负指数表示倒数，2⁻³=1/2³=1/8。

   为什么这样做

   对数回答“要取几次指数”，负指数回答“对应正幂的倒数”，两种记号不可混读。

易错与反例

• log₂8不是8÷2，负指数也不表示幂值为负。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（指定增长模型）

一个理想增长模型为P(t)=100×2ᵗ，t以年计且t≥0。依次求3年时的数量、数量达到400时的t。

解与结论

$(800,2)$

1. P(3)=100×8=800；100×2ᵗ=400等价于2ᵗ=4，所以t=2。

   为什么这样做

   指数增长表示每增加相同时间乘同一倍数，不是每年加同一个数。

易错与反例

• 这是指定的理想模型，不能凭两次观测就断言现实一定持续翻倍。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（合并对数时保留定义域）

把 $f(x)={\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)$ 写成 ${\log }_2(x^2-1)$ 时，原定义域应怎样保留？

解与结论

必须保留x>1，不能扩大成x<−1或x>1。

1. 原式要求x−1>0、x+1>0，交集是x>1。合并后的表达式在x<−1处也有定义，但例如x=−2时原来两个真数均负，原函数未定义。

   为什么这样做

   对数乘法公式要求两个真数分别正，只有乘积正还不够；合并必须保留原范围。

易错与反例

• 表达式变短不等于定义域可以改变。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• log(M+N)不等于log M+log N。
• 底数在0与1之间时，比较对数值要反转真数的不等号方向。
• 原函数限制了输入，反函数的定义域也随之限制。

衔接提示

衔接提示：反向对应与对数

指数函数在底数为正且不为1时一一对应到正实数；对数律可从指数律推导。是否缺教材铺垫需逐版核对。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：指数函数与对数函数。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

依次求 ${\log }_{2}8$ 与 $2^{-3}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3,\frac{1}{8})$

查看逐步解析与易错点

1. 2³=8，所以log₂8=3；负指数表示倒数，2⁻³=1/2³=1/8。

   为什么这样做

   对数回答“要取几次指数”，负指数回答“对应正幂的倒数”，两种记号不可混读。

易错与反例

• log₂8不是8÷2，负指数也不表示幂值为负。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

一个理想增长模型为P(t)=100×2ᵗ，t以年计且t≥0。依次求3年时的数量、数量达到400时的t。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(800,2)$

查看逐步解析与易错点

1. P(3)=100×8=800；100×2ᵗ=400等价于2ᵗ=4，所以t=2。

   为什么这样做

   指数增长表示每增加相同时间乘同一倍数，不是每年加同一个数。

易错与反例

• 这是指定的理想模型，不能凭两次观测就断言现实一定持续翻倍。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

把 $f(x)={\log }_2(x-1)+{\log }_2(x+1)$ 写成 ${\log }_2(x^2-1)$ 时，原定义域应怎样保留？

我的思路（本页草稿）

查看答案

必须保留x>1，不能扩大成x<−1或x>1。

查看逐步解析与易错点

1. 原式要求x−1>0、x+1>0，交集是x>1。合并后的表达式在x<−1处也有定义，但例如x=−2时原来两个真数均负，原函数未定义。

   为什么这样做

   对数乘法公式要求两个真数分别正，只有乘积正还不够；合并必须保留原范围。

易错与反例

• 表达式变短不等于定义域可以改变。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

计算 $2^{1/2}\cdot 2^{3/2}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. 同底正数幂相乘指数相加，得到2²=4。

   为什么这样做

   底数为正时，分数指数按正根定义，与整数指数法则相容。

易错与反例

• 指数相乘对应的是幂的幂，不能用于此处两个幂相乘。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

解实数方程 ${\log }_2(x-1)=3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$9$

查看逐步解析与易错点

1. 先有x>1，再由对数定义得x−1=2³=8，故x=9；代回真数为8，合法。

   为什么这样做

   指数式与对数式互换时，底数和真数条件仍存在。

易错与反例

• 不能把log运算当作与2或3的普通乘除。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 6 题 基础 · 独立练习

以下哪个数可以作为实数域上指数函数y=aˣ（按通常a≠1的命名）的底数a？

• A.

  −2

• B.

  0

• C.

  1

• D.

  1/2

我的思路（本页草稿）

查看答案

D

查看逐步解析与易错点

1. 指数函数要求a>0且a≠1，只有1/2满足；a=1会给常函数，负底数不能对所有实数指数保持实值。

   为什么这样做

   函数的命名限制与某个单独幂能否计算是不同问题。

易错与反例

• (−2)³可计算，不意味着(−2)ˣ能对所有实数x定义成此处指数函数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 7 题 提高 · 独立练习

解不等式 ${\log }_{1/2}(x-1)>1$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1,\frac{3}{2})$

查看逐步解析与易错点

1. 先要求x>1。底数1/2介于0与1之间，对数函数递减，所以0<x−1<1/2，得到1<x<3/2。

   为什么这样做

   由对数值比较真数时，递减函数会反转大小关系；真数正性同时保留。

易错与反例

• 不能把小于1的底数按递增情形处理。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 8 题 提高 · 独立练习

在a>0、a≠1、M>0、N>0条件下，证明 ${\log }_a(MN)={\log }_{a}M+{\log }_{a}N$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

对数的乘积公式成立。

查看逐步解析与易错点

1. 令 $u={\log }_{a}M$、$v={\log }_{a}N$，则M=aᵘ、N=aᵛ，故MN=aᵘ⁺ᵛ。由同底对数定义及唯一性，${\log }_a(MN)=u+v$。

   为什么这样做

   对数律从指数律与反向对应推出，不需要当作无来由的新运算规则。

易错与反例

• M、N分别正是定义条件；仅有MN>0不能保证右侧两项都定义。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 9 题 基础 · 独立复测

求实数方程 $3^{x+1}=27$ 的解。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2$

查看逐步解析与易错点

1. 27=3³，同底指数函数严格递增而一一对应，所以x+1=3，x=2。

   为什么这样做

   比较指数需要合法底数且a≠1，保证相同幂值对应相同指数。

易错与反例

• 若底数为1，不能由幂相等推出指数相等。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 10 题 提高 · 独立复测

f(x)=2ˣ只在0≤x≤2上定义。写出其反函数，并注明反函数的定义域和值域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

反函数为log₂x，定义域[1,4]，值域[0,2]。

查看逐步解析与易错点

1. 原函数在[0,2]严格递增，值域为[1,4]；交换输入输出得到反函数，原值域变成新的定义域，原定义域变成新的值域。

   为什么这样做

   反函数不仅是换一个表达式，还要交换正确的输入输出范围。

易错与反例

• 不能把限制后的反函数仍写成定义于全部正实数的函数。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：指数函数与对数函数。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 导数的概念与运算

依据

课程依据：高中：指数与对数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。