十字相乘法与分组分解

本页是衔接补充，适合已会提公因式和平方公式的学生。具体课程与教材范围应查引用中心，不由一个课标括号推断全部方法均被排除。

一句话

十字相乘从展开后的系数反找因式。 它与韦达定理共享“展开并比较系数”的依据，通常用来寻找容易处理的因式。

$$x^2+px+q=(x+m)(x+n)\text{其中}m+n=p,mn=q$$

理解这一点，你就不需要把它当成一个额外的技巧记忆——它和你已经会的东西是同一件事。

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前置知识

• 因式分解（提公因式法、公式法）

  需要会：用提公因式与平方公式把多项式写成积并展开核对

概念与推导

从展开出发

$$(x+m)(x+n)=x^2+(m+n)x+mn$$

比较系数就得到：要把 $x^2+px+q$ 分解，需要找两个数，和是 $p$、积是 $q$。

推导只用到展开括号，没有技巧成分。困难不在原理，在搜索：得从 $q$ 的因数里试出和为 $p$ 的那一对。

搜索顺序

固定流程，别乱试：

1. 先看 $q=0$，可直接提 $x$。若 $q>0$ 且存在实数 $m,n$，两者同号且 $p\ne 0$；若 $q<0$，两者异号。
2. 列 $q$ 的因数对。
3. 逐对验和。
4. 展开验算。

例：$x^2-5x+6$。$q=6>0$ 且 $p=-5<0$，故两数同为负。$6=(-1)(-6)=(-2)(-3)$。前者和 $-7$，后者和 $-5$ ✓。得 $(x-2)(x-3)$。

二次项系数不为 1

$a{x}^2+bx+c$ 要交叉相乘：把 $a$ 拆成 $a_1{a}_2$、$c$ 拆成 $c_1{c}_2$，使 $a_1{c}_2+a_2{c}_1=b$。

$$2x^2+7x+3:\begin{array}{ccc}1& & 1\\ 2& & 3\end{array}1\times 3+2\times 1=5\text{✗}$$$$\begin{array}{ccc}1& & 3\\ 2& & 1\end{array}1\times 1+2\times 3=7\text{✓}\Rightarrow (x+3)(2x+1)$$

这里最容易错：套 $x^2+px+q$ 的形式，忘了交叉。

分组分解

四项及以上，没有公因式也没有公式可套时，先分组制造公因式。

$$ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)$$

分组的判断标准：分完后各组能提出同一个括号。提不出同一个就换分法。

$$x^2-y^2+2x+1=(x^2+2x+1)-y^2=(x+1{)}^2-y^2=(x+1+y)(x+1-y)$$

这一例的分组不是 2+2 而是 3+1——分组方式由目标决定，不是固定的。凑出完全平方再用平方差，是分组里最常见的一类。

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公式与适用场景

十字相乘法

$$x^2+px+q=(x+m)(x+n)\text{其中}m+n=p,mn=q$$

成立条件

在实数范围分解 $x^2+px+q$，须存在实数 $m,n$ 满足和积条件，等价于 $p^2-4q\ge 0$；试整数因数只是常用选择。一般式还须二次系数非零。

从哪里来

直接展开(x+m)(x+n)=x²+(m+n)x+mn，比较系数得到和积条件。学过韦达后，也可把它理解为根与系数关系的逆向应用；本推导本身只需展开。

适用场景与常见误用

可以用在

• 因式明显时快速分解二次三项式。

• 为二次方程与二次不等式提供因式表示；也可选用配方或求根公式。

要防止

• 二次项系数不为 1 时忘记交叉相乘，直接套 $x^2+px+q$ 的形式

• 不检验：分解完应展开验算中项系数

• 未找到整数因数不等于没有实根。例如x²−2有无理根，x²＋x＋1则无实根，要依据判别式区分。

补充说明与可选推广

本站将本方法作为衔接补充。课程范围的解读与教材目录按引用中心的核验状态说明，不能由一个括号判定所有方法均被排除。

知识讲解：十字相乘法与分组分解

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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立方和与立方差

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$$

成立条件

a、b为任意实数。

从哪里来

展开右侧，中间的a²b和ab²分别抵消。和式可由差式中把b替换为−b得到。

适用场景与常见误用

可以用在

• 立方式分解与化简。

要防止

• 第二个括号的ab符号写反；漏掉平方项。

知识讲解：十字相乘法与分组分解

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（基础）

分解因式：$x^2+5x+6$。

解与结论

$(x+2)(x+3)$

1. 常数项 $6>0$、一次项系数 $5>0$，故待求的两数同为正

   为什么这样做

   先定符号能砍掉一半的尝试。 积为正说明同号，和为正说明同为正。 不先定符号就会在 $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ 里乱试。

2. $6$ 的正因数对：$1\times 6$（和 $7$）、$2\times 3$（和 $5$ ✓）

   为什么这样做

   要找的是「和为 $5$、积为 $6$」的两个数 —— 这正是 $(x+m)(x+n)$ 展开后 $m+n=p,mn=q$ 的要求，不是记忆技巧。

3. 故 $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$，展开验算得 $x^2+5x+6$ ✓

   为什么这样做

   展开后的各项与原多项式逐项相同，验证了分解恒等式。

易错与反例

• 只核对和或只核对积，不能保证分解正确；两者必须同时匹配。符号判断可减少尝试，但不是唯一可用方法。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（系数不为 1）

分解因式：$3x^2-10x+8$。

解与结论

$(x-2)(3x-4)$

1. 常数项 $8>0$、一次项系数 $-10<0$，故两个常数同为负

   为什么这样做

   本题把两个一次因式的x系数选为正数1、3。常数积为正说明它们同号，交叉和为负再推出两个常数都为负。

2. $3=1\times 3$，$8=(-2)\times (-4)$。交叉相乘凑中项： $1\times (-4)+3\times (-2)=-10$ ✓

   为什么这样做

   二次项系数不为1时，中项来自交叉乘积之和，不是两个常数直接相加；需要特别检查。

3. 故 $3x^2-10x+8=(x-2)(3x-4)$

   为什么这样做

   按十字图取行：第一行 $1,-2$ 组成 $(x-2)$，第二行 $3,-4$ 组成 $(3x-4)$。

易错与反例

• 套用 $x^2+px+q$ 的形式，找「和为 $-10$、积为 $8$」的两数 —— 忽略了二次项系数 $3$，怎么试都不对。

• 交叉方向搞反：写成 $(x-4)(3x-2)$，展开得 $3x^2-14x+8$，中项不对。 展开一次就能发现，别省。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（分组）

分解因式：$x^3-x^2-4x+4$。

解与结论

$(x-1)(x+2)(x-2)$

1. 按 $2+2$ 分组：$(x^3-x^2)+(-4x+4)=x^2(x-1)-4(x-1)$

   为什么这样做

   本题前两项提x²，后两项提−4，恰好得到相同的括号x−1。能形成共同因式是选择这种分组的依据。

2. 提出公因式：$x^2(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x^2-4)$

   为什么这样做

   把 $(x-1)$ 当成一个整体提出来，用的还是分配律。

3. $x^2-4$ 是平方差，继续分解：$(x-1)(x+2)(x-2)$

   为什么这样做

   分解到每个因式都不能再分为止。分组之后还要再检查一轮。

易错与反例

• 停在 $(x-1)(x^2-4)$ —— 分解不彻底。

• 分组后两组提不出同一个括号仍硬做。提不出就换分法，这是判断标准不是感觉。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 4（立方差与停止条件）

分解 $x^3-8$。

解：把8看成 $2^3$，得 $x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)$。展开检查中间两项抵消；第二个因子等于 $(x+1{)}^2+3$，恒正，不能再分成实一次因式。

易错点

错误	根因	怎么改
系数不为 1 时直接套 $x^2+px+q$	没区分两种形式	见到 $a\ne 1$ 立刻画十字
符号试错，反复失败	没有先定符号	由 $q$ 的符号定同异号，再试
分解完不验算	没养成习惯	展开对比，唯一验算手段
分组后提不出同一括号仍硬做	不知道这是判断标准	提不出就换分法
凑不出就卡住	不知道有退路	改用配方法或公式法

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衔接提示

衔接提示：展开、分解与根的和积

三者有可推导的代数联系；不能把课标一句“不超过二次”解释为排除了所有衔接技巧，也不能用行为动词机械计算能力落差。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：运算律（交换律、结合律、分配律） · 十字相乘法与分组分解 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 对称多项式的表达 · 圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

分解因式：$x^2+5x+6$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x+2)(x+3)$

查看逐步解析与易错点

1. 常数项 $6>0$、一次项系数 $5>0$，故待求的两数同为正

   为什么这样做

   先定符号能砍掉一半的尝试。 积为正说明同号，和为正说明同为正。 不先定符号就会在 $\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 6$ 里乱试。

2. $6$ 的正因数对：$1\times 6$（和 $7$）、$2\times 3$（和 $5$ ✓）

   为什么这样做

   要找的是「和为 $5$、积为 $6$」的两个数 —— 这正是 $(x+m)(x+n)$ 展开后 $m+n=p,mn=q$ 的要求，不是记忆技巧。

3. 故 $x^2+5x+6=(x+2)(x+3)$，展开验算得 $x^2+5x+6$ ✓

   为什么这样做

   展开后的各项与原多项式逐项相同，验证了分解恒等式。

易错与反例

• 只核对和或只核对积，不能保证分解正确；两者必须同时匹配。符号判断可减少尝试，但不是唯一可用方法。

反过来看：$2$ 和 $3$ 的和是 $5$、积是 $6$， 所以 $x^2-5x+6=0$ 的两根就是 $2$ 和 $3$ —— 这就是韦达定理的逆向。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

分解因式：$3x^2-10x+8$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x-2)(3x-4)$

查看逐步解析与易错点

1. 常数项 $8>0$、一次项系数 $-10<0$，故两个常数同为负

   为什么这样做

   本题把两个一次因式的x系数选为正数1、3。常数积为正说明它们同号，交叉和为负再推出两个常数都为负。

2. $3=1\times 3$，$8=(-2)\times (-4)$。交叉相乘凑中项： $1\times (-4)+3\times (-2)=-10$ ✓

   为什么这样做

   二次项系数不为1时，中项来自交叉乘积之和，不是两个常数直接相加；需要特别检查。

3. 故 $3x^2-10x+8=(x-2)(3x-4)$

   为什么这样做

   按十字图取行：第一行 $1,-2$ 组成 $(x-2)$，第二行 $3,-4$ 组成 $(3x-4)$。

易错与反例

• 套用 $x^2+px+q$ 的形式，找「和为 $-10$、积为 $8$」的两数 —— 忽略了二次项系数 $3$，怎么试都不对。

• 交叉方向搞反：写成 $(x-4)(3x-2)$，展开得 $3x^2-14x+8$，中项不对。 展开一次就能发现，别省。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 独立练习

分解因式：$6x^2-x-2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2x+1)(3x-2)$

查看逐步解析与易错点

1. 常数项 $-2<0$，故两个常数异号

   为什么这样做

   积为负必然异号。异号时不必再看一次项符号定谁正谁负 —— 交叉试的时候自然定下来。

2. $6=2\times 3$，$-2=1\times (-2)$。交叉：$2\times (-2)+3\times 1=-1$ ✓

   为什么这样做

   首项正因数的拆法有1×6、2×3；常数因子还须检查符号和摆放顺序。这里选择(2x+1)(3x−2)，交叉和正好为−1。不能把某一组尝试失败当作不可分解的结论。

3. 故 $6x^2-x-2=(2x+1)(3x-2)$，展开得 $6x^2-4x+3x-2=6x^2-x-2$ ✓

   为什么这样做

   验算。

易错与反例

• 试遍 $1\times 6$ 的拆法失败后就放弃，没试 $2\times 3$。 二次项系数的拆法也要穷举，不只是常数项。

未找到整数因数时可转用判别式和求根公式。$x^2+x+1$ 没有实根，$x^2-2$ 则有无理根；不能从没凑出因数直接判断根的类型。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

分解因式：$x^3-x^2-4x+4$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x-1)(x+2)(x-2)$

查看逐步解析与易错点

1. 按 $2+2$ 分组：$(x^3-x^2)+(-4x+4)=x^2(x-1)-4(x-1)$

   为什么这样做

   本题前两项提x²，后两项提−4，恰好得到相同的括号x−1。能形成共同因式是选择这种分组的依据。

2. 提出公因式：$x^2(x-1)-4(x-1)=(x-1)(x^2-4)$

   为什么这样做

   把 $(x-1)$ 当成一个整体提出来，用的还是分配律。

3. $x^2-4$ 是平方差，继续分解：$(x-1)(x+2)(x-2)$

   为什么这样做

   分解到每个因式都不能再分为止。分组之后还要再检查一轮。

易错与反例

• 停在 $(x-1)(x^2-4)$ —— 分解不彻底。

• 分组后两组提不出同一个括号仍硬做。提不出就换分法，这是判断标准不是感觉。

分组方式由目标决定，不一定是 $2+2$。例如 $x^2-y^2+2x+1$ 要按 $3+1$ 分： $(x^2+2x+1)-y^2=(x+1{)}^2-y^2$，再用平方差。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 5 题 提高 · 独立复测

分解 $6x^2-7x-3$，展开检查中项。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2x-3)(3x+1)$

查看逐步解析与易错点

1. 试首项分解 $6=2\times 3$，常数分解 $-3=(-3)\times 1$。

   为什么这样做

   积为负，两个常数必须异号；中项来自交叉相乘。

2. 交叉和为 $2\times 1+3\times (-3)=-7$，因此分解为 $(2x-3)(3x+1)$。

   为什么这样做

   检查的是中项系数，而不是只检查首尾项。

易错与反例

• 不能把中项误写成两个常数的和。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

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第 6 题 提高 · 独立练习

在整数系数范围分解因式 $2x^2+7x+3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2x+1)(x+3)$。

查看逐步解析与易错点

1. 首项2x²来自2x·x，常数3来自1·3；交叉项6x+x=7x，故分解正确。

   为什么这样做

   首项、常数和交叉项必须同时匹配。

易错与反例

• 只检查两端的乘积会漏掉中项系数。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 7 题 提高 · 独立练习

在实系数范围分解因式 $x^3+8$，说明余下的二次因子能否再分为实一次因式。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x+2)(x^2-2x+4)$；二次因子不能再分成实一次因式。

查看逐步解析与易错点

1. 立方和公式给出(x+2)(x²−2x+4)。二次因子=(x−1)²+3>0，没有实根，故无实一次因式。展开得到x³+8。

   为什么这样做

   公式里的2是8的立方根；能否继续分解要说明系数范围。

易错与反例

• 不能写成(x+2)³，它会多出二次项和一次项。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 8 题 提高 · 独立练习

分解因式 $x^2-y^2+4x+4$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x+2-y)(x+2+y)$。

查看逐步解析与易错点

1. 先把x²+4x+4合成(x+2)²，原式成为(x+2)²−y²，再用平方差。

   为什么这样做

   四项不一定按相邻两项分组；选择能形成平方结构的三项。

易错与反例

• 不能把x²与4x合成4x²。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 9 题 基础 · 独立练习

试不出整数常数m、n使 $x^2-3=(x+m)(x+n)$，下列判断正确的是哪一项？

• A.

  它没有实数根

• B.

  它不能分成任何实一次因式

• C.

  它可写成 $(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$

• D.

  它等于 $(x-3)(x+3)$

我的思路（本页草稿）

查看答案

C

查看逐步解析与易错点

1. (x−√3)(x+√3)=x²−3；实系数范围允许无理数系数。

   为什么这样做

   找不到整数系数分解，与找不到实系数分解是不同结论。

易错与反例

• 整数组合试验失败不能推出没有实根。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 10 题 提高 · 独立复测

用交叉项核对 $3x^2+8x+4$ 的因式分解。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3x+2)(x+2)$。

查看逐步解析与易错点

1. 交叉项为6x+2x=8x，首项3x²、常数4也匹配，所以是(3x+2)(x+2)。

   为什么这样做

   乘法展开同时检查三个系数。

易错与反例

• 把因子误排成(3x+4)(x+1)会得到中项7x。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 11 题 提高 · 独立复测

在实系数范围分解x³−27，并说明余下二次因子能否再分成两个实一次因式。

我的思路（本页草稿）

查看答案

(x−3)(x²+3x+9)；二次因子不能再分成实一次因式。

查看逐步解析与易错点

1. 用立方差公式分解，展开可还原；二次因子的判别式9−36=−27<0，没有实根，也可配方为(x+3/2)²+27/4>0。

   为什么这样做

   先识别立方差结构，再检查剩余因子在指定数系的可分解性。

易错与反例

• 不能把复数范围的分解要求混入实系数范围。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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后继知识

本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。

依据

课程依据：初中：代数式与因式分解。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。