分类讨论

什么时候想到它

当一个条件会改变公式、符号、解的个数或对象类型时，先找临界点：绝对值内部为零、分母为零、最高次项系数消失、两根重合、斜率不存在、顶点进入区间等。

分类不只发生在含参题中。已知系数的不等式也可按自变量的符号区间讨论；关键是分类能否让每一类的推理确定下来。

怎样组织

先说明讨论的全集，找出使条件变化的界限，再选择互斥且穷尽的分类。分别求解后，回到原题合并并检查端点。重叠的分类若结论相容未必错误，但会带来重复；计数问题尤其必须避免重复计算。

例如对实参数可分 $a<0,a=0,a>0$；若真正改变结论的是 $a$ 与0、1的关系，则仅分正负还不够。分类标准来自所用条件，不是看到字母就按正负切分。

典型例题

例 1（不等式：次数与根序）

解关于 $x$ 的不等式 $a{x}^2-(a+1)x+1<0$。

解：先看 $a=0$，原式为 $-x+1<0$，故 $x>1$。若 $a\ne 0$，原式为 $(ax-1)(x-1)<0$，边界是 $1/a$ 与1。

• $a<0$：$1/a<1$，开口向下，负值在两根外，故 $x<1/a$ 或 $x>1$。
• $0<a<1$：$1/a>1$，开口向上，故 $1<x<1/a$。
• $a=1$：原式为 $(x-1{)}^2<0$，无实数解。
• $a>1$：$1/a<1$，故 $1/a<x<1$。

上述四类与 $a=0$ 覆盖所有实数。严格不等式不能包含零点。此题同时演示了次数、开口、根序与重根四种条件，不能只算一次判别式就结束。

例 2（数列：第一项）

已知从1开始编号的数列前n项和 $S_n=n^2+1$，求 $a_n$。

解：$a_1=S_1=2$。当 $n\ge 2$ 时，$a_n=S_n-S_{n-1}=n^2+1-[(n-1{)}^2+1]=2n-1$。

所以 $a_n=\{\begin{array}{ll}2,& n=1\\ 2n-1,& n\ge 2\end{array}$。若把第二段直接用于 $n=1$，会得到1，与 $S_1=2$ 矛盾。即使另定义空和 $S_0=0$，也不能把只对正整数给出的 $S_n=n^2+1$ 擅自用于0。

例 3（几何：斜率是否存在）

表示经过点 $P(1,2)$ 的全部直线。

解：斜率存在时，直线可写成 $y-2=k(x-1)$，其中 $k\in \mathbb{R}$；竖直线的斜率不存在，另有 $x=1$。

每条经过P的直线或者竖直，或者可以写成上述斜截关系，这两类覆盖全部。只写含k的一族会漏掉竖直线；给k取一个“很大的数”也不能代替它。

反例与不适用情形

反例 1（按无关的界限分类）

解 $x^2-3x+2>0$ 时，仅分 $x>0$ 与 $x<0$ 既漏掉0，也没有把符号确定下来：同为正数，$x=1.5$ 不满足，$x=3$ 却满足。

合适的界限是因式 $(x-1)(x-2)$ 的零点1和2。按 $x<1,1<x<2,x>2$ 讨论并检查端点，得到 $x<1$ 或 $x>2$。没有参数也能分类，问题是分类是否有效。

反例 2（只看参数正负）

求 $f(x)=x^2-2ax+1$ 在 $[0,1]$ 上的最小值，只分 $a<0,a\ge 0$ 不够。因为 $a=1/2$ 时顶点在区间内，$a=2$ 时顶点在右侧，最小值位置不同。

正确结果是：$a<0$ 时为1；$0\le a\le 1$ 时为 $1-a^2$；$a>1$ 时为 $2-2a$。分界来自轴 $x=a$ 与区间端点0、1的比较。

回补与检验

先检查二次函数区间最值、数列的定义域或方程的次数。练习时要说明每个分界点改变了哪条推理，再把边界值代回原题，而不只是背分类表。