数据的收集、整理与描述

一句话

数据先明确“调查谁、怎样收集”，再用位置、波动和图表共同解释，不能只报一个平均数。

本页目标：计算并解释均值、中位数、众数、方差，识别图表误导。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 数据的收集整理与可能性

  需要会：收集分类数据，读统计图并用列表不重不漏地枚举

• 有理数

  需要会：计算均值、带符号离均差及其平方，需要有理数运算。

概念与推导

本页定位：课程基础。

总体是想研究的全部对象，样本是实际收集的部分。问题、单位、时间范围和抽样办法应先说明。便利样本、遗漏某一类对象或重复记录，都会影响结论，扩大同样有偏的样本不一定改善代表性。

平均数把总量平均分摊；中位数先排序，奇数个取中间值，偶数个取中间两值的平均；众数是出现次数最多的值，可能不唯一。没有唯一众数时应如实说明。指标都不能代替观察完整分布。

频数是次数，频率是次数占总数的比例。条形图通常直接以高度编码某个值；频率直方图以区间分组、面积表示频率，尤其在组距不等时不能仅比较高度。

离均差之和为0，不能反映波动，所以用平方离差的平均定义描述性方差。方差为0当且仅当所有观测值相同；方差单位为原单位的平方。高中会继续讨论标准差、抽样不确定性与统计推断，不能将一个小样本的描述结论无条件推广到总体。

公式与条件

均值要求非空数据；比较离散程度须保持单位与背景可比；加权平均需要明确权重。

$$\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n}$$

成立条件

至少有一个数据，即正整数n≥1；数据表示同类数量且单位一致。

从哪里来

把全部数据的总量重新平均分成n份，每份就是平均数，因此平均数乘份数应还原总量。

适用场景与常见误用

可以用在

• 描述一组同类数据的平均水平。

要防止

• 把平均数当成每一个人的实际值。

• 不同样本量的两组均值直接相加再除以2。

知识讲解：数据的收集整理与可能性

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

$$\overline{x}=\frac{w_1{x}_1+\cdots +w_n{x}_n}{w_1+\cdots +w_n}$$

成立条件

$w_i\ge 0$ 且权重总和大于0；权重可表示频数或贡献比例。

取等条件

若所有正权重对应的x相同，均值等于该共同值；本式不是不等式。

从哪里来

每个值重复w次（整数频数）时，总和就是各值乘出现次数的和，再除总次数。比例权重使用同一分摊思想；权重总和为1时分母可省略。

适用场景与常见误用

可以用在

• 按人数或频数合并均值

• 计算明确比例的总评

要防止

• 不同组人数不等时，组均值不能直接平均。

• 权重总和不为1时不能省略分母。

知识讲解：数据的收集、整理与描述

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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$$s^2=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

成立条件

$n\ge 1$；本页使用除以n的描述性方差。各数据须具有可比较的单位。

取等条件

方差为0当且仅当所有观测值相同。

从哪里来

离均差直接相加会抵消。平方后每项非负，平方离差的平均刻画围绕均值的分散程度；各值都相同时才为0。

适用场景与常见误用

可以用在

• 在相同单位、相关背景下比较波动

• 解释均值相同的数据仍可有不同分布

要防止

• 不能把方差与均值混为一个指标。

• 方差单位是原单位的平方；标准差才回到原单位。

知识讲解：数据的收集、整理与描述

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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$$\text{组频率}=\frac{\text{组频数}}{\text{总频数}}=\text{组距}\times \text{频率密度}$$

成立条件

分组互不重叠并覆盖全部数据；总频数为正，组距为正，纵轴明确为频率/组距。

从哪里来

每组占比先由频数除以总频数得到。令矩形面积等于占比，将其除以组距即为高度，所以全部矩形面积之和为1。

适用场景与常见误用

可以用在

• 读取不同组距的直方图

• 区分条形高度与频率面积

要防止

• 组距不同时，高矩形的频率未必更大。

• 必须先看纵轴是频数、频率还是频率密度。

知识讲解：数据的收集、整理与描述

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（三个位置指标）

数据2、2、3、5、8的平均数、中位数、众数分别是多少？按此顺序作答。

解与结论

$(4,3,2)$

1. 总和20，除以5得平均数4；排序后中间是3；2出现两次最多，所以众数2。

   为什么这样做

   三个指标回答不同问题：平均分摊、排序中心和最常出现的值。

易错与反例

• 中位数要先排序，不能取原记录的随意中间项。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（权重不同的平均）

某课程平时成绩占30%，期末成绩占70%。平时80分、期末90分，求总评。

解与结论

$87$

1. 总评=80×0.3+90×0.7=24+63=87分。

   为什么这样做

   权重表示每部分对总分的贡献，权重和为1时可以直接加权。

易错与反例

• 不能将两成绩简单平均为85，除非权重相等。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（极端值与解释范围）

五人某项支出为1、2、3、4、100元。用平均数22元描述“多数人的典型支出”有什么限制？

解与结论

平均数计算正确，但被100元的高值明显拉高；中位数3元能补充描述中间水平。

1. 总和110，均值22；其中4人支出不超过4。排序中间为3，说明只报告均值会掩盖分布。

   为什么这样做

   指标选择取决于所问问题；应同时观察极端值和分布，不能把平均数当成所有人的水平。

易错与反例

• 中位数也不能独自说明全部差异，不应把一种指标宣布为永远更好。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• “众数”不是“最大的数”；数据2、2、3、5、8中众数是2。
• 平均数相同，不意味着分布或波动相同。
• 图的纵轴从何处起、组距多宽、样本是谁，都可能改变读图结论。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

数据2、2、3、5、8的平均数、中位数、众数分别是多少？按此顺序作答。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(4,3,2)$

查看逐步解析与易错点

1. 总和20，除以5得平均数4；排序后中间是3；2出现两次最多，所以众数2。

   为什么这样做

   三个指标回答不同问题：平均分摊、排序中心和最常出现的值。

易错与反例

• 中位数要先排序，不能取原记录的随意中间项。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

某课程平时成绩占30%，期末成绩占70%。平时80分、期末90分，求总评。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$87$

查看逐步解析与易错点

1. 总评=80×0.3+90×0.7=24+63=87分。

   为什么这样做

   权重表示每部分对总分的贡献，权重和为1时可以直接加权。

易错与反例

• 不能将两成绩简单平均为85，除非权重相等。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

五人某项支出为1、2、3、4、100元。用平均数22元描述“多数人的典型支出”有什么限制？

我的思路（本页草稿）

查看答案

平均数计算正确，但被100元的高值明显拉高；中位数3元能补充描述中间水平。

查看逐步解析与易错点

1. 总和110，均值22；其中4人支出不超过4。排序中间为3，说明只报告均值会掩盖分布。

   为什么这样做

   指标选择取决于所问问题；应同时观察极端值和分布，不能把平均数当成所有人的水平。

易错与反例

• 中位数也不能独自说明全部差异，不应把一种指标宣布为永远更好。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

用“离均差平方的平均”定义方差，求数据1、3、5的方差。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{8}{3}$

查看逐步解析与易错点

1. 均值3；平方离差为4、0、4，方差为(4+0+4)/3=8/3。

   为什么这样做

   先围绕均值计算偏离程度，平方消除正负抵消，再平均。

易错与反例

• 本题描述性方差除以n=3；不要与某些统计估计中除以n−1的定义混用。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

一个频率直方图的组距分别为10和20，对应高度（频率/组距）为0.04和0.03。哪组的频率较大？

• A.

  第一组

• B.

  第二组

• C.

  两组相同

• D.

  只看高度就知第一组大

我的思路（本页草稿）

查看答案

B

查看逐步解析与易错点

1. 第一组面积10×0.04=0.4，第二组20×0.03=0.6，所以第二组频率较大。

   为什么这样做

   频率直方图用面积表示频率，组距不同不能只比较高度。

易错与反例

• 不要把频率密度当作频率。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

要估计全校学生每日乘校车时间，却只在校车上调查乘客，能直接代表全校学生吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；没有覆盖不乘校车的学生，样本选择存在偏差。

查看逐步解析与易错点

1. 调查对象只来自校车乘客，未乘车者的0分钟或其他出行情况被排除，与“全校学生”的总体不同。

   为什么这样做

   样本与总体的覆盖关系影响结论；样本量大也不能自动修复系统性遗漏。

易错与反例

• 先核对调查对象，再讨论计算结果，不能只看统计表很整齐。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

对非空数据x₁,…,xₙ，为什么所有离均差之和为0？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x})=0$。

查看逐步解析与易错点

1. 均值满足 $n\overline{x}=x_1+\cdots +x_n$，故相减得 $(x_1+\cdots +x_n)-n\overline{x}=0$。

   为什么这样做

   均值是平均分摊后的平衡点；离均差求和会抵消，所以要用平方或绝对值描述分散程度。

易错与反例

• 离均差和为0并不表示数据都相同。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

甲数据4、5、6，乙数据0、5、10。两组平均数相同，哪组更集中在均值附近？

• A.

  甲

• B.

  乙

• C.

  集中程度相同

• D.

  均值相同就无法比较

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 甲偏离5为−1、0、1；乙为−5、0、5。甲的方差2/3小于乙的50/3，所以甲更集中。

   为什么这样做

   比较离散程度要使用偏离情况，不能只看均值。

易错与反例

• 均值相同不意味着波动相同。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

数据8、2、6、4的平均数与中位数分别是多少？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(5,5)$

查看逐步解析与易错点

1. 总和20除以4得5；排序为2、4、6、8，中间两数4和6的平均为5。

   为什么这样做

   偶数个数据的中位数取排序后中间两个数的平均。

易错与反例

• 不能把未排序时中间的2和6直接平均。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

尚未收集到任何数据，能将平均数记为0吗？与“收集到三个0”有什么区别？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能。空数据没有定义的平均数；三个0的平均数才是0。

查看逐步解析与易错点

1. 均值需要数据总和除以个数n，n必须大于0。空集合时n=0，不能除；三个0时总和0、n=3，所以均值0。

   为什么这样做

   “缺数据”与“观测值为0”有不同含义，统计表应保留缺失状态。

易错与反例

• 用0代替缺失数据会改变分母并扭曲结果。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 提高 · 独立复测

甲数据2、5、8，乙数据4、5、6。比较均值和围绕均值的集中程度，本题方差除以n。

我的思路（本页草稿）

查看答案

两组均值均为5；乙更集中，甲方差6、乙方差2/3。

查看逐步解析与易错点

1. 甲平方离差为9、0、9，除3得6；乙为1、0、1，除3得2/3。

   为什么这样做

   均值相同不代表波动相同，比较同单位下的方差才对应此处集中程度。

易错与反例

• 不能因为两组均值都5，就说分布特征完全相同。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：数据的收集、整理与描述。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 抽样与统计估计

依据

课程依据：初中：统计与概率。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。