一元二次方程根与系数的关系

一句话

韦达定理不是一个需要额外记忆的技巧，它就是 $a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})$ 展开后比较系数的结果。

因式分解、求根与韦达定理由这个展开联系起来，但各自回答的问题不同；使用前先检查方程次数和根所在的数系。

前置知识

一元二次方程的解法
需要会：用配方与求根公式求完整根集，先判断方程次数

可选补充：十字相乘法与分组分解。这些建议不作为开始学习的硬性门槛。

概念与推导

从因式分解出发

设 $a \neq 0$ ，且 $x_{1}, x_{2}$ 是 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个实根（可以相等），由因式分解有

a x^{2} + b x + c = a (x - x_{1}) (x - x_{2})

展开右边：

a (x - x_{1}) (x - x_{2}) = a x^{2} - a (x_{1} + x_{2}) x + a x_{1} x_{2}

与左边比较系数：

- a (x_{1} + x_{2}) = b, a x_{1} x_{2} = c

即

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

推导只用到"展开括号"和"比较系数"两件事，没有任何技巧成分。

为什么它这么重要

它常让我们不求出两个根，就能计算两根的对称多项式。分式、根式和绝对值表达式还需要额外检查定义域与符号。

对称式：交换 $x_{1}, x_{2}$ 后表达式不变。例如 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 是对称式， $x_{1}^{2} + x_{2}$ 不是。

对称多项式基本定理保证：任何对称多项式都能用 $e_{1} = x_{1} + x_{2}$ 与 $e_{2} = x_{1} x_{2}$ 表出。

例如中点用到根的和，弦长平方用到根差的平方。还必须结合距离公式、交点存在条件和斜率是否存在，不能只凭“对称”就省去几何条件。

一般情形

可选拓展：当 $a_{n} \neq 0$ ，把 $n$ 次方程 $a_{n} x^{n} + \dots + a_{0} = 0$ 的全部复根按重数计为 $x_{1}, \dots, x_{n}$ 时，有

e_{k} (x_{1}, \dots, x_{n}) = (- 1)^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}}

其中 $e_{k}$ 是各个不同的 $k$ 个根之积的总和。本页训练只需二次情形，无须先学习一般理论。

公式与适用场景

韦达定理（根与系数的关系）

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

成立条件

$a x^{2} + b x + c = 0 (a \neq 0)$ 且 $Δ = b^{2} - 4 a c \geq 0$

从哪里来

当二次方程有实根时，将多项式写成a(x−x₁)(x−x₂)，展开比较系数即可推得；重根时按重数记作x₁=x₂。

适用场景与常见误用

可以用在

求两根的对称式（ $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 、 $\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}}$ 、 $| x_{1} - x_{2} |$ 等）
已知和与积构造方程（逆向使用）
解析几何"设而不求"：弦长、中点、面积
根的分布问题（配合判别式与区间端点函数值）

要防止

在两个实根的应用中漏掉Δ≥0条件；若讨论复根，应明确数系，不能混用实根题设。
求出参数后不回代检验判别式条件
只会正向（已知根求和积），不会逆向构造方程

补充说明与可选推广

可选拓展：对首项系数 $a_{n} \neq 0$ 的n次多项式，在复数中把全部根按重数列出，有 $e_{k} = (- 1)^{k} a_{n - k} / a_{n}$ 。本页中学训练只需二次实根情形。

知识讲解：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

对称式常用改写

\begin{aligned} a^{2} + b^{2} & = (a + b)^{2} - 2 a b \\ (a - b)^{2} & = (a + b)^{2} - 4 a b \\ a^{3} + b^{3} & = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b) \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{a + b}{a b} \end{aligned}

成立条件

第四式需 $a b \neq 0$ ；其余对任意实数成立

从哪里来

前三式分别由平方、立方展开整理得到；第四式在ab≠0时通分得到。一般的对称多项式可用a+b、ab表示，但这一概括只谈多项式，不能直接扩大为所有对称表达式。

适用场景与常见误用

可以用在

韦达定理的配套使用 —— 这是"不必解出根"的技术保障
解析几何弦长公式（用到 $(x_{1} - x_{2})^{2}$ 的改写）
已知 $x + \frac{1}{x}$ 求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 一类问题

要防止

遇到非对称式（如 $x_{1}^{2} + x_{2}$ ）也硬套 —— 此时必须解出根或另想办法

补充说明与可选推广

互换检验帮助识别对称结构。分式还需分母非零，根式需定义域与符号；非对称目标也可能经变形后使用和积。

知识讲解：对称多项式的表达

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

典型例题

例 1（基础）

已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个根，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 。

解与结论

$7$

由韦达定理得 $x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = 1$

为什么这样做
方程系数已知，直接读出两个基本对称式，不必解方程
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 3^{2} - 2 \times 1 = 7$

为什么这样做
目标式是对称式，可用 $e_{1} = x_{1} + x_{2}$ 与 $e_{2} = x_{1} x_{2}$ 表出。恒等式 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ 是最常用的一条改写。

易错与反例

直接解根再平方也能得到正确答案；本题用和积可减少根式计算。含参二次方程仍可用求根公式，不应说成根本无法求根。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（逆向使用）

已知两数之和为 $5$ ，之积为 $6$ ，求这两个数。

解与结论

${2, 3}$

设这两数为 $x_{1}, x_{2}$ ，则它们是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两根

为什么这样做
韦达定理反过来用：知道 $e_{1} = 5, e_{2} = 6$ ，就能构造出以它们为根的方程 $x^{2} - e_{1} x + e_{2} = 0$ 。这是从"根"到"方程"的方向。
$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ ，故两数为 $2, 3$

为什么这样做
十字相乘找 $m + n = - 5, m n = 6$ ，即 $- 2$ 与 $- 3$

易错与反例

已知和积后，应先构造方程；之后可用分解、配方或求根公式。不能把不会十字相乘当成无法逆向构造的理由。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（含参）

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ 有两个实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 8$ ，求 $m$ 的值。

解与结论

$m = - 2 + \sqrt{6}$

判别式条件 $Δ = 4 (m + 1)^{2} - 4 m^{2} \geq 0 \Rightarrow 2 m + 1 \geq 0 \Rightarrow m \geq - \frac{1}{2}$

为什么这样做
题设要求两个实根，因此必须同时满足判别式非负。可以先记录这项条件，并用它筛选后续得到的参数候选。
韦达定理： $x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1), x_{1} x_{2} = m^{2}$

为什么这样做
系数含参不影响韦达定理的使用
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 (m + 1)^{2} - 2 m^{2} = 2 m^{2} + 8 m + 4$

为什么这样做
仍是把对称式化归为 $e_{1}, e_{2}$
令 $2 m^{2} + 8 m + 4 = 8$ ，即 $m^{2} + 4 m - 2 = 0$ ，解得 $m = - 2 \pm \sqrt{6}$

为什么这样做
建立方程
由 $m \geq - \frac{1}{2}$ 筛选： $- 2 + \sqrt{6} \approx 0.449 > - \frac{1}{2}$ 保留； $- 2 - \sqrt{6} < - \frac{1}{2}$ 舍去。故 $m = - 2 + \sqrt{6}$

为什么这样做
回代检验判别式条件。这一步是分类讨论"最后合并结论"的体现，与解分式方程要验增根是同一类要求。

易错与反例

忘记写 $Δ \geq 0$ ，得出两个答案
求出 $m$ 后不回代检验

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 4（衔接补充：两个根都在区间内）

方程 $x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ 有两个不同的实根，且都在 $(0, 3)$ 中，求 $m$ 的范围。

解：设 $f (x) = x^{2} - 2 m x + m + 2$ 。开口向上，要有两个不同实根，需 $Δ = 4 (m - 2) (m + 1) > 0$ ；两根都在区间内还要求轴 $x = m$ 在 $(0, 3)$ 内，并有 $f (0) = m + 2 > 0, f (3) = 11 - 5 m > 0$ 。这些条件合并得到 $2 < m < 11 / 5$ 。

为什么充分：此范围内顶点在区间中，顶点值因 $Δ > 0$ 而为负，两端为正；抛物线在顶点两侧各有一个零点，均在 $(0, 3)$ 内。 $m = 2$ 为重根， $m = 11 / 5$ 时一个根等于3，都必须排除。

只检查端点为正不够。例如 $(x - 4) (x - 5)$ 在0和3处都为正，但两根均不在区间内；还要检查轴与判别式。

易错点

错误	根因	怎么改
含参题忘记写 $Δ \geq 0$	把韦达定理当成无条件恒等式	记住它的前提是"两根存在"
求出参数后不回代检验	分类讨论的"合并结论"意识缺失	与解分式方程验增根同一类要求
只会正向、不会构造方程	没有理解和积决定系数	先写 $x^{2} - s x + p = 0$ ，再选择求根方法
对非对称式硬套韦达	没有"对称式"这个概念	互换 $x_{1}, x_{2}$ 检验
遇到对称式仍去解根	习惯未建立	刻意训练：见对称式先写 $e_{1}, e_{2}$

衔接提示

练习

难度用途

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个根，求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$7$

查看逐步解析与易错点

由韦达定理得 $x_{1} + x_{2} = 3, x_{1} x_{2} = 1$

为什么这样做
方程系数已知，直接读出两个基本对称式，不必解方程
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 3^{2} - 2 \times 1 = 7$

为什么这样做
目标式是对称式，可用 $e_{1} = x_{1} + x_{2}$ 与 $e_{2} = x_{1} x_{2}$ 表出。恒等式 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$ 是最常用的一条改写。

易错与反例

直接解根再平方也能得到正确答案；本题用和积可减少根式计算。含参二次方程仍可用求根公式，不应说成根本无法求根。

同法可求立方和。倒数和写成 $(x_{1} + x_{2}) / (x_{1} x_{2})$ 时必须有 $x_{1} x_{2} \neq 0$ ；根式和非对称表达式要分别检查条件，不能一概归入对称多项式定理。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

已知两数之和为 $5$ ，之积为 $6$ ，求这两个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

${2, 3}$

查看逐步解析与易错点

设这两数为 $x_{1}, x_{2}$ ，则它们是方程 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两根

为什么这样做
韦达定理反过来用：知道 $e_{1} = 5, e_{2} = 6$ ，就能构造出以它们为根的方程 $x^{2} - e_{1} x + e_{2} = 0$ 。这是从"根"到"方程"的方向。
$x^{2} - 5 x + 6 = (x - 2) (x - 3) = 0$ ，故两数为 $2, 3$

为什么这样做
十字相乘找 $m + n = - 5, m n = 6$ ，即 $- 2$ 与 $- 3$

易错与反例

已知和积后，应先构造方程；之后可用分解、配方或求根公式。不能把不会十字相乘当成无法逆向构造的理由。

因式分解、求根与韦达由展开和因式定理联系，但回答的问题不同。十字相乘所找的两个常数是两根的相反数；逆向构造方程也可以配合其他求根方法。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 2 (m + 1) x + m^{2} = 0$ 有两个实根 $x_{1}, x_{2}$ ，且 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 8$ ，求 $m$ 的值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$m = - 2 + \sqrt{6}$

查看逐步解析与易错点

判别式条件 $Δ = 4 (m + 1)^{2} - 4 m^{2} \geq 0 \Rightarrow 2 m + 1 \geq 0 \Rightarrow m \geq - \frac{1}{2}$

为什么这样做
题设要求两个实根，因此必须同时满足判别式非负。可以先记录这项条件，并用它筛选后续得到的参数候选。
韦达定理： $x_{1} + x_{2} = 2 (m + 1), x_{1} x_{2} = m^{2}$

为什么这样做
系数含参不影响韦达定理的使用
$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} = 4 (m + 1)^{2} - 2 m^{2} = 2 m^{2} + 8 m + 4$

为什么这样做
仍是把对称式化归为 $e_{1}, e_{2}$
令 $2 m^{2} + 8 m + 4 = 8$ ，即 $m^{2} + 4 m - 2 = 0$ ，解得 $m = - 2 \pm \sqrt{6}$

为什么这样做
建立方程
由 $m \geq - \frac{1}{2}$ 筛选： $- 2 + \sqrt{6} \approx 0.449 > - \frac{1}{2}$ 保留； $- 2 - \sqrt{6} < - \frac{1}{2}$ 舍去。故 $m = - 2 + \sqrt{6}$

为什么这样做
回代检验判别式条件。这一步是分类讨论"最后合并结论"的体现，与解分式方程要验增根是同一类要求。

易错与反例

忘记写 $Δ \geq 0$ ，得出两个答案
求出 $m$ 后不回代检验

把条件换成倒数和或根差时，仍可先改写为和积，但须补相应条件：倒数和要求根的积非零；根差还须检查绝对值或根的命名顺序。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题综合 · 示例（讲解中已出现）

直线 $y = x + m$ 与抛物线 $y = x^{2}$ 交于 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ 两点。用 $m$ 表示线段 $A B$ 的长度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$| A B | = \sqrt{2 (1 + 4 m)}$ ，其中 $m > - \frac{1}{4}$

查看逐步解析与易错点

联立消元得 $x^{2} - x - m = 0$ ，由 $Δ = 1 + 4 m > 0$ 得 $m > - \frac{1}{4}$

为什么这样做
联立是解析几何的第一步，判别式给出"确实有两个交点"的前提条件。
韦达定理： $x_{1} + x_{2} = 1, x_{1} x_{2} = - m$

为什么这样做
不解出 $x_{1}, x_{2}$ 。这就是"设而不求"——因为后面要求的量是对称式。
$| A B | = \sqrt{1 + k^{2}} \cdot | x_{1} - x_{2} |$ ，此处 $k = 1$ ，而 $(x_{1} - x_{2})^{2} = (x_{1} + x_{2})^{2} - 4 x_{1} x_{2} = 1 + 4 m$

为什么这样做
弦长公式把问题化归为 $| x_{1} - x_{2} |$ ，而 $(x_{1} - x_{2})^{2}$ 是对称式，可用 $e_{1}, e_{2}$ 表出。整条链的关键就在这里。
$| A B | = \sqrt{2} \cdot \sqrt{1 + 4 m} = \sqrt{2 (1 + 4 m)}$

为什么这样做
代入化简

易错与反例

本题也可直接解根计算；用和积通常更简洁，但仍需核对两个交点条件。
忘记判别式条件，给出的答案没有 $m$ 的范围

推广到其他曲线时，需先检查消元是否等价、二次系数是否非零，以及斜率是否存在，再使用判别式与和积。条件改变时流程必须相应调整。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 分式与分式方程 · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题提高 · 独立练习

两实数之和为 $7$ ，之积为 $12$ ，求这两个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

${3, 4}$

查看逐步解析与易错点

构造方程 $t^{2} - 7 t + 12 = 0$ 。

为什么这样做
根的和决定一次项系数，积决定常数项。
分解为 $(t - 3) (t - 4) = 0$ ，两数为 $3, 4$ 。

为什么这样做
同时检查和为7、积为12，避免只满足一个条件。

易错与反例

一次项符号应为负。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题提高 · 独立复测

两实数之和为 $1$ ，之积为 $- 6$ ，求这两个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

${- 2, 3}$

查看逐步解析与易错点

构造 $t^{2} - t - 6 = 0$ 。

为什么这样做
积为负说明两数异号。
$(t - 3) (t + 2) = 0$ ，两数为 $3, - 2$ 。

为什么这样做
和为1、积为−6可再次代回确认。

易错与反例

把两个数写成同号会使乘积为正。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题基础 · 独立练习

x₁、x₂为 $2 x^{2} - 7 x + 3 = 0$ 的两个实根。不解根，求 $1 / x_{1} + 1 / x_{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{7}{3}$

查看逐步解析与易错点

Δ=25>0，x₁+x₂=7/2，x₁x₂=3/2≠0；倒数和=(x₁+x₂)/(x₁x₂)=7/3。

为什么这样做
韦达先读和积；倒数还要求两个根都非零。

易错与反例

一次项系数为−7，和为−b/a=7/2，不能漏掉负号。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题综合 · 独立练习

方程 $x^{2} - 2 m x + m + 2 = 0$ 有两个正实根（允许两根相等），求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[2, + \infty)$

查看逐步解析与易错点

要求Δ=4(m−2)(m+1)≥0、两根和2m>0、积m+2>0。三者取交集得到m≥2。m=2时两根都是2，符合题意。

为什么这样做
实根存在后，积为正说明同号，和为正排除两负；反向也成立。

易错与反例

仅检查和积的符号不能保证实根存在；允许相等时应取Δ≥0。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题综合 · 独立练习

方程 $x^{2} - 3 x + m = 0$ 的两实根中，一个小于1，另一个大于1。求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(- \infty, 2)$

查看逐步解析与易错点

若x₁<1<x₂，则(1−x₁)(1−x₂)=1−3+m=m−2<0，故m<2。反之m<2使Δ=9−4m>1>0，且这两个因子的乘积为负，1必在两根之间。

为什么这样做
用端点代入值判断根的分布，还要说明实根存在，完成必要与充分两个方向。

易错与反例

m=2时1本身是根，不能满足严格在两根之间。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题基础 · 独立练习

x₁、x₂是 $x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 的两根。以x₁+1、x₂+1为根的首一二次方程写成 $t^{2} + B t + C = 0$ ，依次给出B、C。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(- 6, 6)$

查看逐步解析与易错点

新根和为4+2=6，积为x₁x₂+(x₁+x₂)+1=1+4+1=6，所以方程为t²−6t+6=0。

为什么这样做
把新根的和积写成旧根的和积，再按(t−u)(t−v)展开构造。

易错与反例

方程的一次项系数是新根和的相反数。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题综合 · 独立复测

方程 $x^{2} - (m + 2) x + 2 m = 0$ 有两个不同的正实根，求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(0, 2) \cup (2, + \infty)$

查看逐步解析与易错点

Δ=(m−2)²>0给出m≠2；根的积2m>0给出m>0，此时根和m+2>0。合并得m>0且m≠2。也可分解为(x−m)(x−2)检验。

为什么这样做
正根、实根、不同根是三个条件，必须同时成立。

易错与反例

m=0有零根，m=2有重根，两点都不能取。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

依据

课程依据：初中：方程与不等式。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

一元二次方程根与系数的关系 ​

一句话 ​

前置知识 ​

概念与推导 ​

从因式分解出发 ​

为什么它这么重要 ​

一般情形 ​

公式与适用场景 ​

韦达定理（根与系数的关系） ​

对称式常用改写 ​

典型例题 ​

例 1（基础） ​

例 2（逆向使用） ​

例 3（含参） ​

例 4（衔接补充：两个根都在区间内） ​

易错点 ​

衔接提示 ​

练习 ​

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

第 5 题 提高 · 独立练习

第 6 题 提高 · 独立复测

第 7 题 基础 · 独立练习

第 8 题 综合 · 独立练习

第 9 题 综合 · 独立练习

第 10 题 基础 · 独立练习

第 11 题 综合 · 独立复测

后继知识 ​

依据 ​

一元二次方程根与系数的关系

一句话

前置知识

概念与推导

从因式分解出发

为什么它这么重要

一般情形

公式与适用场景

韦达定理（根与系数的关系）

对称式常用改写

典型例题

例 1（基础）

例 2（逆向使用）

例 3（含参）

例 4（衔接补充：两个根都在区间内）

易错点

衔接提示

练习

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题综合 · 示例（讲解中已出现）

第 5 题提高 · 独立练习

第 6 题提高 · 独立复测

第 7 题基础 · 独立练习

第 8 题综合 · 独立练习

第 9 题综合 · 独立练习

第 10 题基础 · 独立练习

第 11 题综合 · 独立复测

后继知识

依据