对称多项式的表达

本页是代数结构的衔接补充，主要练习从目标式识别可以使用的和积。课程与教材范围按引用记录判断。

一句话

韦达定理给出两根的和与积；对称多项式可以用这两个量改写。分式、根式或涉及根的顺序时，还要处理它们各自的条件。

前者没有后者，只是一个孤立的结论；两者合起来，才是"设而不求"。

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前置知识

• 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）

  需要会：由因式分解比较系数，构造方程并在根存在条件下使用和积

概念与推导

什么叫对称

对称式：交换 $x_1,x_2$ 后表达式不变。

$x_1^2+x_2^2$ 交换后还是 $x_1^2+x_2^2$，对称；$x_1^2+x_2$ 交换后变成 $x_2^2+x_1$，不对称。

互换变量可以检查对称性，但非对称目标也可能先平方、作和差或结合顺序条件后使用韦达。

基本对称式

$$e_1=x_1+x_2,e_2=x_1{x}_2$$

叫「初等对称多项式」。韦达定理给的正是这两个：$e_1=-{\displaystyle \frac{b}{a}}$，$e_2={\displaystyle \frac{c}{a}}$。

对称多项式基本定理

任何二元实系数对称多项式，都可以恒等改写为 $e_1,e_2$ 的多项式。

这里限定的是多项式恒等式。可以这样理解：令 $S_k=x_1^k+x_2^k$，则 $S_0=2,S_1=e_1$，且展开可验 $S_k=e_1{S}_{k-1}-e_2{S}_{k-2}$（$k\ge 2$）。对称的成对项 $x_1^m{x}_2^n+x_1^n{x}_2^m$（$m>n$）等于 $e_2^n{S}_{m-n}$，对角项等于 $e_2^m$。因此每一类项都能逐步改写。这个理由不自动处理任意带分母或根号的表达式。

推导常用式的过程都是纯展开：

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=e_1^2-2e_2$$$$(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=e_1^2-4e_2$$$$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2{)}^3-3x_1{x}_2(x_1+x_2)=e_1^3-3e_1{e}_2$$$$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{e_1}{e_2}$$

最后一式要求 $e_2=x_1{x}_2\ne 0$，它是通分得到的有理式，不是多项式定理本身。

一个重要的非多项式：$|x_1-x_2|$

$$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2}=\sqrt{e_1^2-4e_2}=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$$

注意用的是 $\sqrt{a^2}=|a|$（见二次根式）。$x_1-x_2$ 本身不对称（交换会变号），但它的绝对值和平方对称。

根差公式还要求二次系数 $a\ne 0$ 且 $\mathrm{\Delta }\ge 0$，两根是实数。

这条式子就是解析几何弦长公式的核心。

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公式与适用场景

对称式常用改写

$$\begin{array}{rl}{a}^2+b^2& =(a+b{)}^2-2ab\\ (a-b{)}^2& =(a+b{)}^2-4ab\\ a^3+b^3& =(a+b{)}^3-3ab(a+b)\\ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}& =\frac{a+b}{ab}\end{array}$$

成立条件

第四式需 $ab\ne 0$；其余对任意实数成立

从哪里来

前三式分别由平方、立方展开整理得到；第四式在ab≠0时通分得到。一般的对称多项式可用a+b、ab表示，但这一概括只谈多项式，不能直接扩大为所有对称表达式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 韦达定理的配套使用 —— 这是"不必解出根"的技术保障

• 解析几何弦长公式（用到 $(x_1-x_2{)}^2$ 的改写）

• 已知 $x+\frac{1}{x}$ 求 $x^2+\frac{1}{x^2}$ 一类问题

要防止

• 遇到非对称式（如 $x_1^2+x_2$）也硬套 —— 此时必须解出根或另想办法

补充说明与可选推广

互换检验帮助识别对称结构。分式还需分母非零，根式需定义域与符号；非对称目标也可能经变形后使用和积。

知识讲解：对称多项式的表达

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

典型例题

例 1（标准流程）

已知 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-4x+2=0$ 的两根，求 ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$ 与 $x_1^3+x_2^3$。 答案按两个所求量的顺序填写。

解与结论

$(2,40)$

1. 互换检验：交换 $x_1,x_2$ 后两个目标式都不变，是对称式

   为什么这样做

   交换两根有助于识别结构。立方和用多项式恒等式；倒数和用通分，还必须检查根的积非零。

2. 由韦达定理读出 $e_1=x_1+x_2=4$，$e_2=x_1{x}_2=2$

   为什么这样做

   方程系数已知，两个基本对称式直接读出，不必解方程。

3. ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}={\displaystyle \frac{e_1}{e_2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

   为什么这样做

   通分即得，$e_2\ne 0$ 所以合法（$x_1{x}_2=2\ne 0$，两根都不为零）。

4. $x_1^3+x_2^3=e_1^3-3e_1{e}_2=64-3\cdot 4\cdot 2=64-24=40$

   为什么这样做

   恒等式 $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$，直接展开即可验证，不需要记忆。

易错与反例

• 直接解根也能计算，但立方展开较长；本题用和积更简洁。系数含参不表示求根公式失效。

• 用 ${\displaystyle \frac{e_1}{e_2}}$ 时不检查 $e_2\ne 0$。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（非对称式怎么办）

已知 $x_1,x_2$ 是 $x^2-3x+1=0$ 的两根且 $x_1>x_2$，求 $x_1-x_2$。

解与结论

$\sqrt{5}$

1. 互换检验：$x_1-x_2$ 交换后变号，不是对称式

   为什么这样做

   先检验，才知道不能直接套。这一步给出的是「换个思路」的信号，不是死路。

2. 但 $(x_1-x_2{)}^2$ 交换后不变，是对称式： $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=9-4=5$

   为什么这样做

   平方一下把非对称变成对称，这是处理 $x_1-x_2$ 一类目标的标准动作。 代价是最后要开方并判符号。

3. 开方：$|x_1-x_2|=\sqrt{5}$。由 $x_1>x_2$ 知 $x_1-x_2>0$，故 $x_1-x_2=\sqrt{5}$

   为什么这样做

   $\sqrt{a^2}=|a|$（见二次根式）。 题目给的 $x_1>x_2$ 不是多余条件，正是用来定符号的 —— 条件的存在本身就在提示你这一步会用到它。

易错与反例

• 平方后开方直接写 $x_1-x_2=\sqrt{5}$，跳过符号判断。若题目改成 $x_1<x_2$，答案是 $-\sqrt{5}$。

• 直接求根也有效；本题先求差的平方，再用大小顺序定符号，可以减少根式减法。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（解析几何最小模型）

直线 $y=x+m$ 与抛物线 $y=x^2$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点。 用 $m$ 表示线段 $AB$ 的长度。

解与结论

$|AB|=\sqrt{2(1+4m)}$，其中 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

1. 联立消元得 $x^2-x-m=0$，由 $\mathrm{\Delta }=1+4m>0$ 得 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

   为什么这样做

   联立是解析几何的第一步，判别式给出"确实有两个交点"的前提条件。

2. 韦达定理：$x_1+x_2=1,x_1{x}_2=-m$

   为什么这样做

   不解出 $x_1,x_2$。这就是"设而不求"——因为后面要求的量是对称式。

3. $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$，此处 $k=1$， 而 $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=1+4m$

   为什么这样做

   弦长公式把问题化归为 $|x_1-x_2|$，而 $(x_1-x_2{)}^2$ 是对称式， 可用 $e_1,e_2$ 表出。整条链的关键就在这里。

4. $|AB|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+4m}=\sqrt{2(1+4m)}$

   为什么这样做

   代入化简

易错与反例

• 本题也可直接解根计算；用和积通常更简洁，但仍需核对两个交点条件。

• 忘记判别式条件，给出的答案没有 $m$ 的范围

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	根因	怎么改
对 $x_1^2+x_2$ 之类硬用韦达	没有对称式概念	互换检验
求 $x_1-x_2$ 时不判符号	忘了 $\sqrt{a^2}=|a|$	找题目里定符号的条件
含参时不先验 $\mathrm{\Delta }$	把韦达当恒等式	根不存在时一切无意义
记不住改写式	只背结论没推过	每条都能两行展开验证

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衔接提示

衔接提示：展开、分解与根的和积

三者有可推导的代数联系；不能把课标一句“不超过二次”解释为排除了所有衔接技巧，也不能用行为动词机械计算能力落差。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：运算律（交换律、结合律、分配律） · 十字相乘法与分组分解 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 对称多项式的表达 · 圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

已知 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-4x+2=0$ 的两根，求 ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}$ 与 $x_1^3+x_2^3$。 答案按两个所求量的顺序填写。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,40)$

查看逐步解析与易错点

1. 互换检验：交换 $x_1,x_2$ 后两个目标式都不变，是对称式

   为什么这样做

   交换两根有助于识别结构。立方和用多项式恒等式；倒数和用通分，还必须检查根的积非零。

2. 由韦达定理读出 $e_1=x_1+x_2=4$，$e_2=x_1{x}_2=2$

   为什么这样做

   方程系数已知，两个基本对称式直接读出，不必解方程。

3. ${\displaystyle \frac{1}{x_1}}+{\displaystyle \frac{1}{x_2}}={\displaystyle \frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}}={\displaystyle \frac{e_1}{e_2}}={\displaystyle \frac{4}{2}}=2$

   为什么这样做

   通分即得，$e_2\ne 0$ 所以合法（$x_1{x}_2=2\ne 0$，两根都不为零）。

4. $x_1^3+x_2^3=e_1^3-3e_1{e}_2=64-3\cdot 4\cdot 2=64-24=40$

   为什么这样做

   恒等式 $a^3+b^3=(a+b{)}^3-3ab(a+b)$，直接展开即可验证，不需要记忆。

易错与反例

• 直接解根也能计算，但立方展开较长；本题用和积更简洁。系数含参不表示求根公式失效。

• 用 ${\displaystyle \frac{e_1}{e_2}}$ 时不检查 $e_2\ne 0$。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

已知 $x_1,x_2$ 是 $x^2-3x+1=0$ 的两根且 $x_1>x_2$，求 $x_1-x_2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{5}$

查看逐步解析与易错点

1. 互换检验：$x_1-x_2$ 交换后变号，不是对称式

   为什么这样做

   先检验，才知道不能直接套。这一步给出的是「换个思路」的信号，不是死路。

2. 但 $(x_1-x_2{)}^2$ 交换后不变，是对称式： $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=9-4=5$

   为什么这样做

   平方一下把非对称变成对称，这是处理 $x_1-x_2$ 一类目标的标准动作。 代价是最后要开方并判符号。

3. 开方：$|x_1-x_2|=\sqrt{5}$。由 $x_1>x_2$ 知 $x_1-x_2>0$，故 $x_1-x_2=\sqrt{5}$

   为什么这样做

   $\sqrt{a^2}=|a|$（见二次根式）。 题目给的 $x_1>x_2$ 不是多余条件，正是用来定符号的 —— 条件的存在本身就在提示你这一步会用到它。

易错与反例

• 平方后开方直接写 $x_1-x_2=\sqrt{5}$，跳过符号判断。若题目改成 $x_1<x_2$，答案是 $-\sqrt{5}$。

• 直接求根也有效；本题先求差的平方，再用大小顺序定符号，可以减少根式减法。

对于实系数二次方程ax²+bx+c=0，a≠0且Δ=b²−4ac≥0时，实根满足 |x₁−x₂|=√Δ/|a|。理由是差的平方=(−b/a)²−4c/a=Δ/a²，再取非负平方根。重根时两边均为0。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 独立练习

已知 $x_1,x_2$ 是 $x^2-4x+1=0$ 的两根，不解方程求 $1/x_1+1/x_2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. 由韦达得 $x_1+x_2=4,x_1{x}_2=1\ne 0$。

   为什么这样做

   先确认两根存在且均不为零，才能取倒数。

2. 通分得 $(x_1+x_2)/(x_1{x}_2)=4$。

   为什么这样做

   目标关于两根对称，可直接用和积。

易错与反例

• 分母用的是根的积，不是根的和。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 提高 · 独立复测

已知 $u,v$ 是 $x^2-5x+2=0$ 的两根，求 $1/u+1/v$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{5}{2}$

查看逐步解析与易错点

1. $u+v=5,uv=2$；判别式 $17>0$。

   为什么这样做

   实根存在且积非零，倒数有意义。

2. $1/u+1/v=(u+v)/(uv)=5/2$。

   为什么这样做

   用通分将目标改为和积。

易错与反例

• 不要直接把和 $5$ 当作倒数之和。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

实数a、b满足a+b=3、ab=−2，求 $a^{2}b+a{b}^2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-6$

查看逐步解析与易错点

1. a²b+ab²=ab(a+b)=−2×3=−6。

   为什么这样做

   先提取公共因子ab，使目标直接由和积表示。

易错与反例

• 不能把a²b+ab²误写成(ab)²。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

u、v是 $x^2-3x+1=0$ 的两根，求 $u^4+v^4$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$47$

查看逐步解析与易错点

1. u+v=3、uv=1，先得u²+v²=9−2=7；再得u⁴+v⁴=(u²+v²)²−2u²v²=49−2=47。

   为什么这样做

   把平方和恒等式连续使用两次；(uv)²可由积直接求出。

易错与反例

• 第二步应减2(uv)²，不是减2uv的一般替代规则。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

实数u、v满足u+v=4、uv=3，求 $(u+2)(v+2)$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$15$

查看逐步解析与易错点

1. 展开为uv+2(u+v)+4=3+8+4=15。

   为什么这样做

   把对称乘积展开后按和积重新组合。

易错与反例

• 常数2×2=4，不能漏掉。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

u、v是 $x(x-3)=0$ 的两个根，能否用 $(u+v)/(uv)$ 计算 $1/u+1/v$？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；原倒数和没有意义。

查看逐步解析与易错点

1. 两个根是0和3，其中一个倒数无定义；uv=0，通分后的分母也为0。

   为什么这样做

   通分恒等式的适用条件是u、v均非零；缺少条件时不能把未定义式当作数计算。

易错与反例

• 不能把3/0写成0或无穷大作为实数答案。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 提高 · 独立练习

u、v是 $x^2-6x+5=0$ 的两根，但未规定大小顺序。u−v是否有唯一值？列出可能值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

没有唯一值；可能为4或−4。

查看逐步解析与易错点

1. (u−v)²=(u+v)²−4uv=36−20=16，因此|u−v|=4。两根可按5、1或1、5命名，分别得到4与−4。

   为什么这样做

   和积不区分根的命名；恢复非对称的差时必须有顺序条件。

易错与反例

• 把平方开根后直接取+4会凭空加入u>v。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

u、v是 $x^2-5x+3=0$ 的两实根，求 $u^3+v^3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$80$

查看逐步解析与易错点

1. Δ=13>0，u+v=5、uv=3；u³+v³=(u+v)³−3uv(u+v)=125−45=80。

   为什么这样做

   展开立方和后减去含uv的交叉项即可，不必分别求根。

易错与反例

• 不能把u³+v³直接替换为(u+v)³。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：对称多项式的表达 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

直线 $y=x+m$ 与抛物线 $y=x^2$ 交于 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点。 用 $m$ 表示线段 $AB$ 的长度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$|AB|=\sqrt{2(1+4m)}$，其中 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

查看逐步解析与易错点

1. 联立消元得 $x^2-x-m=0$，由 $\mathrm{\Delta }=1+4m>0$ 得 $m>-{\displaystyle \frac{1}{4}}$

   为什么这样做

   联立是解析几何的第一步，判别式给出"确实有两个交点"的前提条件。

2. 韦达定理：$x_1+x_2=1,x_1{x}_2=-m$

   为什么这样做

   不解出 $x_1,x_2$。这就是"设而不求"——因为后面要求的量是对称式。

3. $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot |x_1-x_2|$，此处 $k=1$， 而 $(x_1-x_2{)}^2=(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2=1+4m$

   为什么这样做

   弦长公式把问题化归为 $|x_1-x_2|$，而 $(x_1-x_2{)}^2$ 是对称式， 可用 $e_1,e_2$ 表出。整条链的关键就在这里。

4. $|AB|=\sqrt{2}\cdot \sqrt{1+4m}=\sqrt{2(1+4m)}$

   为什么这样做

   代入化简

易错与反例

• 本题也可直接解根计算；用和积通常更简洁，但仍需核对两个交点条件。

• 忘记判别式条件，给出的答案没有 $m$ 的范围

推广到其他曲线时，需先检查消元是否等价、二次系数是否非零，以及斜率是否存在，再使用判别式与和积。条件改变时流程必须相应调整。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 分式与分式方程 · 一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）

依据

课程依据：初中：代数式与因式分解。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。