二次函数含参区间最值

本页是衔接补充，适合已能配方并理解二次函数图像的学生。课程范围与教材要求见引用中心，不以本页主题推断所有教材都缺少过渡。

一句话

二次函数在闭区间上的最值，可以通过对称轴与区间的相对位置、开口方向以及端点值确定。参数变化时，应先确定区间非空，再讨论这些条件。

三种参数配置共用位置比较与端点核对。

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前置知识

• 二次函数

  需要会：配方解释抛物线顶点、零点与在区间上的取值

概念与推导

为什么只看对称轴的位置

$f(x)=a(x-h{)}^2+k$（$a\ne 0$）在对称轴 $x=h$ 两侧单调，一边增一边减。所以在非空闭区间 $[m,n]$（$m\le n$）上：

• 最值只可能在三个地方取到：区间左端 $m$、右端 $n$、顶点 $h$（当且仅当 $h\in [m,n]$）。
• 区间内没有别的候选点。

于是问题化为：$h$ 落在 $[m,n]$ 的左边、里面、还是右边？ 分类讨论的分界点由此确定，不是凭感觉划的。

以 $a>0$（开口向上）为例：

$h$ 的位置	最小值	最大值
$h<m$（轴在左）	$f(m)$	$f(n)$
$m\le h\le n$（轴在内）	$f(h)=k$	$max\{f(m),f(n)\}$
$h>n$（轴在右）	$f(n)$	$f(m)$

$a<0$ 时最大最小互换，结构不变。

注意最大值那一行：轴在区间内时，最大值要比较两个端点，取离对称轴更远的那个。这是最常漏的一档。

三种模型

模型	什么在动	分界点从哪来
轴动区间定	对称轴含参，区间固定	令 $h$ 与 $m,n$ 比较
轴定区间动	对称轴固定，区间含参	令 $m,n$ 与 $h$ 比较
双动	两者都含参	比较二者的相对关系

三种模型的讨论依据完全相同——都是比较 $h$ 与 $[m,n]$。区别只在于把不等式解成关于哪个字母。

与高中导数的关系

对闭区间上连续、内部可导的函数，内点最值的必要条件是 $f^{\prime }(x)=0$，端点也要比较。导数为0并不保证有极值；如果区间内有不可导点，还须单独检查，候选点很多或形成区间时也要继续分析。

二次函数满足 $f^{\prime }(x)=2a(x-h)$，只有一个导数零点 $h$，所以回到本页的轴与区间比较。一般函数可能有多个候选点，不能直接照搬“只有三个位置”的结论；完整条件见后继的导数应用。

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公式与适用场景

二次函数的区间最值候选

$$\begin{array}{rl}h& =-\frac{b}{2a},C=\{f(m),f(n)\}\cup \{f(h)\mid h\in [m,n]\}\\ \underset{[m,n]}{min}f& =minC,\underset{[m,n]}{max}f=maxC\end{array}$$

成立条件

f为实二次函数，a≠0；m、n为有限实数且m≤n，区间闭合。

取等条件

a>0时最小值在最靠近轴的可取点、最大值在最远端点；a<0时互换。两端同距可同时取等，m＝n时只有一个可取点。

从哪里来

二次函数在轴的两侧分别单调。因此极值只需比较两个端点，以及允许时的顶点。开区间、空区间或退化系数不能照搬。

适用场景与常见误用

可以用在

• 固定或移动区间、含参数的最值。

要防止

• 区间为空仍计算；只比一个端点；把开区间端点当可取点。

知识讲解：二次函数含参区间最值

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（轴动区间定）

求 $f(x)=x^2-2ax+1$ 在 $[0,2]$ 上的最小值（用 $a$ 表示）。

解与结论

$min=\{\begin{array}{ll}1,& a<0\\ 1-a^2,& 0\le a\le 2\\ 5-4a,& a>2\end{array}$

1. 配方：$f(x)=(x-a{)}^2+1-a^2$，对称轴 $x=a$，开口向上

   为什么这样做

   对称轴含参数，区间固定 —— 这是「轴动区间定」模型。 参数在对称轴上，所以讨论的对象就是 $a$ 与区间端点的大小。

2. 分三种情况：$a<0$（轴在区间左侧）、$0\le a\le 2$（轴在区间内）、$a>2$（轴在右侧）

   为什么这样做

   分界点 $0$ 和 $2$ 不是凑的，就是区间端点。 「轴落在区间外还是内」这个判断，直接决定了分界位置。

3. $a<0$：区间在对称轴右侧，$f$ 单调递增，最小值 $f(0)=1$

   为什么这样做

   轴在左边意味着整个区间落在递增的那一支上，最左端最小。

4. $0\le a\le 2$：顶点在区间内且开口向上，最小值 $f(a)=1-a^2$

   为什么这样做

   顶点取得到，就是最低点。

5. $a>2$：区间在对称轴左侧，$f$ 单调递减，最小值 $f(2)=4-4a+1=5-4a$

   为什么这样做

   轴在右边意味着整个区间落在递减的那一支上，最右端最小。

6. 写出分段结论

   为什么这样做

   分类讨论必须有合并结论这一步。 只写三种情况的过程不算做完。

易错与反例

• 直接代顶点得 $1-a^2$，不讨论顶点是否在区间内。

• 分界点漏等号。边界处（$a=0$ 或 $a=2$）两种算法结果相同，归到哪一段都行， 但不能两段都不含，也不能写成开区间导致漏值。

• 讨论完不写分段函数形式。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（轴在区间内求最大值）

求 $f(x)=-x^2+2x+3$ 在 $[0,3]$ 上的最大值与最小值。

解与结论

$(\text{最大值},\text{最小值})=(4,0)$

1. 配方得 $f(x)=-(x-1{)}^2+4$，对称轴 $x=1$，开口向下

   为什么这样做

   配方是为了读出对称轴和顶点纵坐标。先定位对称轴，一切讨论都以它为基准。

2. 判断位置：$1\in [0,3]$，对称轴在区间内

   为什么这样做

   最值只可能在三个地方取到 —— 左端点、右端点、顶点（当且仅当顶点在区间内）。 区间内没有别的候选点，因为二次函数在对称轴两侧单调。

3. 开口向下，顶点是最高点，故最大值 $f(1)=4$

   为什么这样做

   顶点在区间内，所以取得到。

4. 最小值比较两端：$f(0)=3$，$f(3)=0$，取小者 $0$

   为什么这样做

   轴在区间内时，另一端的最值必须比较两个端点。 $1$ 到 $0$ 距离为 $1$、到 $3$ 距离为 $2$，离对称轴越远，函数值越偏离顶点， 所以 $f(3)$ 更小。

易错与反例

• 最小值只算 $f(0)$ 不比较 $f(3)$ —— 这是本类题最常漏的一档。

• 以为顶点一定是最小值。开口向下时顶点是最大值。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（轴定区间动）

求 $f(x)=x^2-4x+3$ 在 $[t,t+1]$ 上的最小值（用 $t$ 表示）。

解与结论

$min=\{\begin{array}{ll}{t}^2-2t,& t<1\\ -1,& 1\le t\le 2\\ t^2-4t+3,& t>2\end{array}$

1. 配方：$f(x)=(x-2{)}^2-1$，对称轴 $x=2$ 固定，开口向上；区间 $[t,t+1]$ 随 $t$ 平移

   为什么这样做

   这是「轴定区间动」模型。和上一题完全同构 —— 还是比较对称轴与区间，只是这次把不等式解成关于 $t$。

2. 区间在轴左侧：$t+1<2$ 即 $t<1$，$f$ 递减，最小值 $f(t+1)=(t+1{)}^2-4(t+1)+3=t^2-2t$

   为什么这样做

   区间整体落在对称轴左边，函数在其上递减，右端点最小。

3. 轴在区间内：$t\le 2\le t+1$ 即 $1\le t\le 2$，最小值 $f(2)=-1$

   为什么这样做

   顶点取得到。注意这个条件是两个不等式同时成立：$t\le 2$ 且 $t+1\ge 2$。

4. 区间在轴右侧：$t>2$，$f$ 递增，最小值 $f(t)=t^2-4t+3$

   为什么这样做

   区间整体落在对称轴右边，左端点最小。

易错与反例

• 用区间端点与 $2$ 比较时只比一个端点，得到错误的分界。 区间在轴左边是 $t+1<2$（右端点都在左边），不是 $t<2$。

• 把三种模型当成三个题型分别记忆。认出「都是比较轴与区间」，三种就变成一种。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 4（双动，还要比较两个端点）

设 $a\ge -1$，求 $f(x)=(x-a{)}^2$ 在 $[0,2a+2]$ 上的最小值与最大值。

解：$a\ge -1$ 保证区间非空，轴为 $x=a$。当 $-1\le a<0$ 时，轴在左侧，最小值为 $f(0)=a^2$；当 $a\ge 0$ 时，$0\le a\le 2a+2$，轴在区间内，最小值为0。

最大值比较 $f(0)=a^2$ 与 $f(2a+2)=(a+2{)}^2$；两者之差为 $4(a+1)\ge 0$，所以最大值始终为 $(a+2{)}^2$。$a=-1$ 时区间只有0，两个最值都为1。这里同时移动的是轴和右端点，不能把区间当常量套用例1。

易错点

错误	根因	怎么改
直接代顶点当最值	忘了顶点可能不在区间内	先判 $h$ 与 $[m,n]$
轴在区间内时最大值只取一端	不知道要比较	比较两端点，取离轴远的
分界点漏等号	边界情况没想清	边界时两种算法结果相同，归哪边都行但要写全
开口向下时照搬向上的结论	死记表格	记"离轴远则偏离顶点"，与开口无关
结论不写成分段形式	讨论完不合并	分类讨论必须有合并结论这一步

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衔接提示

衔接提示：用函数符号求不等式解集

借图像和分段符号可统一方程与不等式；18课时是主题建议量，不能推出必须暑假补课。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：一元二次不等式 · 绝对值方程与不等式 · 二次函数含参区间最值。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

求 $f(x)=-x^2+2x+3$ 在 $[0,3]$ 上的最大值与最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(\text{最大值},\text{最小值})=(4,0)$

查看逐步解析与易错点

1. 配方得 $f(x)=-(x-1{)}^2+4$，对称轴 $x=1$，开口向下

   为什么这样做

   配方是为了读出对称轴和顶点纵坐标。先定位对称轴，一切讨论都以它为基准。

2. 判断位置：$1\in [0,3]$，对称轴在区间内

   为什么这样做

   最值只可能在三个地方取到 —— 左端点、右端点、顶点（当且仅当顶点在区间内）。 区间内没有别的候选点，因为二次函数在对称轴两侧单调。

3. 开口向下，顶点是最高点，故最大值 $f(1)=4$

   为什么这样做

   顶点在区间内，所以取得到。

4. 最小值比较两端：$f(0)=3$，$f(3)=0$，取小者 $0$

   为什么这样做

   轴在区间内时，另一端的最值必须比较两个端点。 $1$ 到 $0$ 距离为 $1$、到 $3$ 距离为 $2$，离对称轴越远，函数值越偏离顶点， 所以 $f(3)$ 更小。

易错与反例

• 最小值只算 $f(0)$ 不比较 $f(3)$ —— 这是本类题最常漏的一档。

• 以为顶点一定是最小值。开口向下时顶点是最大值。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：二次函数含参区间最值 · 二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

求 $f(x)=x^2-2ax+1$ 在 $[0,2]$ 上的最小值（用 $a$ 表示）。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$min=\{\begin{array}{ll}1,& a<0\\ 1-a^2,& 0\le a\le 2\\ 5-4a,& a>2\end{array}$

查看逐步解析与易错点

1. 配方：$f(x)=(x-a{)}^2+1-a^2$，对称轴 $x=a$，开口向上

   为什么这样做

   对称轴含参数，区间固定 —— 这是「轴动区间定」模型。 参数在对称轴上，所以讨论的对象就是 $a$ 与区间端点的大小。

2. 分三种情况：$a<0$（轴在区间左侧）、$0\le a\le 2$（轴在区间内）、$a>2$（轴在右侧）

   为什么这样做

   分界点 $0$ 和 $2$ 不是凑的，就是区间端点。 「轴落在区间外还是内」这个判断，直接决定了分界位置。

3. $a<0$：区间在对称轴右侧，$f$ 单调递增，最小值 $f(0)=1$

   为什么这样做

   轴在左边意味着整个区间落在递增的那一支上，最左端最小。

4. $0\le a\le 2$：顶点在区间内且开口向上，最小值 $f(a)=1-a^2$

   为什么这样做

   顶点取得到，就是最低点。

5. $a>2$：区间在对称轴左侧，$f$ 单调递减，最小值 $f(2)=4-4a+1=5-4a$

   为什么这样做

   轴在右边意味着整个区间落在递减的那一支上，最右端最小。

6. 写出分段结论

   为什么这样做

   分类讨论必须有合并结论这一步。 只写三种情况的过程不算做完。

易错与反例

• 直接代顶点得 $1-a^2$，不讨论顶点是否在区间内。

• 分界点漏等号。边界处（$a=0$ 或 $a=2$）两种算法结果相同，归到哪一段都行， 但不能两段都不含，也不能写成开区间导致漏值。

• 讨论完不写分段函数形式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：二次函数含参区间最值 · 二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

求 $f(x)=x^2-4x+3$ 在 $[t,t+1]$ 上的最小值（用 $t$ 表示）。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$min=\{\begin{array}{ll}{t}^2-2t,& t<1\\ -1,& 1\le t\le 2\\ t^2-4t+3,& t>2\end{array}$

查看逐步解析与易错点

1. 配方：$f(x)=(x-2{)}^2-1$，对称轴 $x=2$ 固定，开口向上；区间 $[t,t+1]$ 随 $t$ 平移

   为什么这样做

   这是「轴定区间动」模型。和上一题完全同构 —— 还是比较对称轴与区间，只是这次把不等式解成关于 $t$。

2. 区间在轴左侧：$t+1<2$ 即 $t<1$，$f$ 递减，最小值 $f(t+1)=(t+1{)}^2-4(t+1)+3=t^2-2t$

   为什么这样做

   区间整体落在对称轴左边，函数在其上递减，右端点最小。

3. 轴在区间内：$t\le 2\le t+1$ 即 $1\le t\le 2$，最小值 $f(2)=-1$

   为什么这样做

   顶点取得到。注意这个条件是两个不等式同时成立：$t\le 2$ 且 $t+1\ge 2$。

4. 区间在轴右侧：$t>2$，$f$ 递增，最小值 $f(t)=t^2-4t+3$

   为什么这样做

   区间整体落在对称轴右边，左端点最小。

易错与反例

• 用区间端点与 $2$ 比较时只比一个端点，得到错误的分界。 区间在轴左边是 $t+1<2$（右端点都在左边），不是 $t<2$。

• 把三种模型当成三个题型分别记忆。认出「都是比较轴与区间」，三种就变成一种。

对于闭区间上连续、内点可导的函数，内点极值必须在导数为零处取得，还要比较端点；导数为零未必有极值。若有不可导的内点，也应单独检查，不能机械套用二次函数模型。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

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第 4 题 提高 · 独立复测

设 $t\ge -1$，求 $f(x)=x^2-2tx+1$ 在 $[0,t+1]$ 上的最小值和最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

最小值：$-1\le t<0$ 时为 $1$，$t\ge 0$ 时为 $1-t^2$。最大值：$-1\le t\le 1$ 时为 $2-t^2$，$t>1$ 时为 $1$。

查看逐步解析与易错点

1. 配方得 $f(x)=(x-t{)}^2+1-t^2$，轴为 $x=t$；$t\ge -1$ 保证区间非空。

   为什么这样做

   轴与区间同时变化，先比较位置而不是把顶点直接代入。

2. 若 $-1\le t<0$，轴在区间左侧，最小值 $f(0)=1$；若 $t\ge 0$，轴在区间内，最小值 $f(t)=1-t^2$。

   为什么这样做

   右端点总比轴大1，所以不会出现轴在区间右侧的情形。

3. 最大值比较 $f(0)=1$ 与 $f(t+1)=2-t^2$。在 $t\ge -1$ 中，$2-t^2\ge 1$ 等价于 $-1\le t\le 1$。

   为什么这样做

   开口向上，最大值在端点；端点比较还会产生新的分界。

4. $t=-1$ 时区间退化为 $\{0\}$，两个最值都为1；$t=0,1$ 处相邻结论一致。

   为什么这样做

   分界、退化区间都要纳入最终结论。

易错与反例

• 只求顶点值；忘记比较两个端点；漏掉 $t=-1$。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：二次函数含参区间最值 · 二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

求 $f(x)=(x-3{)}^2$ 在[0,1]上的最小值与最大值，按此顺序作答。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(4,9)$

查看逐步解析与易错点

1. 轴x=3在区间右侧，函数在[0,1]上递减；最小值f(1)=4，最大值f(0)=9。

   为什么这样做

   区间内离轴越近，平方距离越小；顶点不在允许范围内。

易错与反例

• 不能用顶点值0作为本题最小值。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 6 题 提高 · 独立练习

a为实数，求 $(x-a{)}^2$ 在[−1,1]上的最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

最大值为 $(|a|+1{)}^2$。

查看逐步解析与易错点

1. 比较端点值(−1−a)²=(a+1)²与(1−a)²，两者之差为4a。a≥0选左端，a<0选右端，统一写成(|a|+1)²；a=0两端同取。

   为什么这样做

   开口向上时闭区间最大值在较远端点；端点比较会带来参数分界。

易错与反例

• 最大值不是一律在右端点取得。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 7 题 提高 · 独立练习

函数f(x)=x²在开区间(0,1)上有最大值和最小值吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

都没有；0和1是可趋近但取不到的边界值。

查看逐步解析与易错点

1. 任取0<x<1，x/2仍在区间内且函数值更小；(x+1)/2也在区间内且函数值更大，因此没有某个点能取得最大或最小。

   为什么这样做

   最值需要在允许的自变量处实际取得，开区间端点不能直接参与取值。

易错与反例

• 不能把闭区间[0,1]的答案0、1照搬。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 8 题 提高 · 独立练习

求函数 $(x-a{)}^2$ 在区间[a,2a−1]上的最小值和最大值，先说明区间非空的条件。

我的思路（本页草稿）

查看答案

a≥1时区间非空，最小值0，最大值(a−1)²；a<1时不存在该非空区间上的最值。

查看逐步解析与易错点

1. 非空要求a≤2a−1，即a≥1。此时轴x=a是左端点，平方从0增至(2a−1−a)²=(a−1)²；a=1时区间只有一个点，两最值都为0。

   为什么这样做

   先确定允许区间，再比较轴与端点；退化成单点的闭区间仍有最值。

易错与反例

• a<1不能把颠倒的两个端点当成已给出的非空区间。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数含参区间最值。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 综合 · 独立练习

已知 $f(x)=x^2-2ax+1$ 在[0,2]上的最小值为0，求a。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$1$

查看逐步解析与易错点

1. a<0时最小值为1，不符合；0≤a≤2时最小值1−a²=0给a=1；a>2时最小值5−4a=0给a=5/4，但不在本分支，舍去。

   为什么这样做

   根据轴与区间的位置分支解方程，并把候选代回各自分支范围。

易错与反例

• 不能保留落在错误分支中的5/4。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数含参区间最值。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 综合 · 独立复测

t≥0，求 $f(x)=(x-2t{)}^2$ 在[t,3t+1]上的最小值和最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

最小值0，最大值(t+1)²。

查看逐步解析与易错点

1. 区间长度2t+1>0。由t≤2t≤3t+1，顶点在区间内，最小值0。两端距轴分别为t和t+1，右端更远，所以最大值(t+1)²。t=0时得到[0,1]上的0与1。

   为什么这样做

   轴和两个端点都变化，仍可比较它们的相对位置与距离。

易错与反例

• 不能只判断顶点在区间内，就省去求最大值时的端点比较。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数含参区间最值。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。

依据

课程依据：初中：代数式与因式分解。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。