一元一次不等式（组）

一句话

不等式和方程只差一条性质：两边同乘负数时，方向要变。

其余全部相同。而这一条差别的代价，是从此以后每一次乘除都必须先判断符号——这个负担会一路跟到高中的分式不等式和导数题。

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前置知识

• 一元一次方程

  需要会：用等式性质解一次方程，并处理系数为零的退化情形

概念与推导

三条不等式性质

$$a>b⟹a+c>b+c\text{（同加，方向不变）}$$$$a>b,c>0⟹ac>bc\text{（乘正数，方向不变）}$$$$a>b,c<0⟹ac<bc\boxed{{\displaystyle \text{乘负数，方向反转}}}$$

前两条和等式性质一模一样。只有第三条是新的，也是本章全部错误的来源。

为什么乘负数要变号

不必死记。$3>2$，两边乘 $-1$：$-3$ 和 $-2$ 哪个大？在数轴上 $-3$ 在 $-2$ 左边，所以 $-3<-2$。

乘 $-1$ 就是关于原点翻折，翻折把左右颠倒了。 这是变号的几何解释，比口诀可靠。

解集是一个范围，不是一个数

一元一次方程（未知数系数非零）有一个解；一元一次不等式的解常是半直线。一般方程或不等式的解集还可能为空集、全体实数、多个区间甚至孤立点。例如 $0x=0$ 有无穷多个解，$x^2\le 0$ 只有解 $0$。因此要按具体问题判断：

• 验算可代端点、内部点和域外点来查错；完整的解集仍须靠等价变形或分段符号推理证明，有限个样本不能替代证明
• 表达方式多了：数轴、不等式、区间记号（区间记号高中才引入）
• "解集"这个词开始有意义——它是一个集合，而集合是高中第一章的内容

高中的集合之所以排在最前面，正是因为要给"解集"这类对象一套统一的语言。 本页产生的解集是它最早的服务对象。

不等式组：取交集，不是各解各的

$$\{\begin{array}{l}2x-1>3\\ x-5<0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x>2\\ x<5\end{array}⟹2<x<5$$

"组"的含义是同时成立，所以取两个解集的公共部分。

画数轴是唯一可靠的做法。 口诀（"大大取大、小小取小、大小取中间、小大无解"）是四种情况的记忆版，但它只覆盖两个不等式且方向标准的情形，稍有变化就套不上。数轴永远对。

一个式子的三种问法（续）

在一元一次方程那页提过：$kx+b$ 配上不同问题就成了方程、不等式、函数三章。

到这里可以把第二条补完：

$$kx+b>0\text{ 的解集}=\text{直线 }y=kx+b\text{ 在 }x\text{ 轴上方的那一段}$$

而分界点正是方程 $kx+b=0$ 的解。先解方程找到分界点，再判断哪一侧符合——这个流程到一元二次不等式处会原样重演，只是分界点变成两个。

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公式与适用场景

不等式的加乘性质

$$a>b\Rightarrow a+c>b+c;a>b,c>0\Rightarrow ac>bc;a>b,c<0\Rightarrow ac<bc$$

成立条件

各量为实数；乘数正负决定方向，乘数为0时严格不等式不再成立。

从哪里来

a−b为正数。加同一个数不改变差；乘正数使差仍正，乘负数使差为负。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解不等式；带参数的乘除变形。

要防止

• 乘负数不变号；除以符号未知的量。

知识讲解：一元一次不等式（组）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

同向不等式取交集

$$(x>a\text{且}x>b)⟺x>max(a,b)$$

成立条件

a、b为实数，两条件同时成立；端点为严格开端点。

从哪里来

要同时大于两个界限，就要超过其中较大的一个；反向显然同时满足。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求不等式组与定义域的公共部分。

要防止

• 把且当成或；非严格边界照抄严格边界。

知识讲解：一元一次不等式（组）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（基础）

解不等式：${\displaystyle \frac{2x-1}{3}}>{\displaystyle \frac{x+1}{2}}$，并在数轴上表示解集。

解与结论

$x\in (5,+\mathrm{\infty })$

1. 两边同乘 $6$（正数，不等号方向不变）：$2(2x-1)>3(x+1)$

   为什么这样做

   不等式两边同乘正数时方向不变，同乘负数时方向相反；本题6为正数，故保持不等号。

2. 去括号：$4x-2>3x+3$

   为什么这样做

   分配律，与解方程完全相同。

3. 移项合并：$x>5$

   为什么这样做

   移项的依据是「两边同加同一个数」，加法不影响不等号方向。

4. 数轴上从 $5$ 出发向右画，$5$ 处用空心圆点

   为什么这样做

   严格大于取不到端点，空心；$\ge$ 才用实心。 这个区别到一元二次不等式的解集写法处仍然要用。

易错与反例

• 同乘负数忘记变号 —— 本题没遇到，但这是整个知识点的核心风险点。

• 端点画成实心。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（不等式组）

解不等式组：$\{\begin{array}{l}2x-1>3\\ x-5<0\end{array}$

解与结论

$x\in (2,5)$

1. 分别解：$2x-1>3\Rightarrow x>2$；$x-5<0\Rightarrow x<5$

   为什么这样做

   不等式组的每一个不等式先各自解开，这一步没有相互影响。

2. 取交集：$2<x<5$

   为什么这样做

   「组」的含义是同时满足，所以取交集不是并集。 数轴上画两条，重叠的那一段就是答案。

易错与反例

• 取并集写成x>2或x<5，会使全体实数都被纳入；原题要求同时满足，应取交集。

• 两个不等式的解集不相交（如x>5且x<2）时，解集为空，即没有同时满足要求的实数。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（含参）

若不等式组 $\{\begin{array}{l}x>2\\ x>a\end{array}$ 的解集是 $x>2$，求 $a$ 的取值范围。

解与结论

$a\in (-\mathrm{\infty },2]$

1. 两个不等式方向相同，解集是「较大者之后」

   为什么这样做

   同向不等式取交集时，$x>2$ 与 $x>a$ 的交集由较大的那个界决定 —— 数轴上画一下就看出来，不必背「同大取大」。

2. 要使解集恰为 $x>2$，需要 $2$ 是较大的界，即 $a\le 2$

   为什么这样做

   $a<2$ 时 $2$ 更大，交集是 $x>2$ ✓； $a=2$ 时两式相同，交集仍是 $x>2$ ✓； $a>2$ 时交集变成 $x>a$ ✗。

3. 故 $a\le 2$

   为什么这样做

   等号要取到 —— $a=2$ 是合法情形，漏掉就少了一个点。

易错与反例

• 答 $a<2$，漏掉 $a=2$。判断端点能否取到，方法是把它代回去看结论是否仍成立。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	根因	怎么改
两边同乘负数忘记变号	把不等式当方程做	每次乘除先报符号
除以含字母的式子不讨论符号	把参数当正数默认	符号未知就必须分类讨论
不等式组各解各的不取交集	忽略"组"的含义	画数轴，取公共部分
端点开闭出错	最后一步凭感觉写	把端点代回原不等式验一次
解集为空时不敢写"无解"	认为题目一定有解	无解是合法答案

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练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

解不等式：${\displaystyle \frac{2x-1}{3}}>{\displaystyle \frac{x+1}{2}}$，并在数轴上表示解集。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in (5,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 两边同乘 $6$（正数，不等号方向不变）：$2(2x-1)>3(x+1)$

   为什么这样做

   不等式两边同乘正数时方向不变，同乘负数时方向相反；本题6为正数，故保持不等号。

2. 去括号：$4x-2>3x+3$

   为什么这样做

   分配律，与解方程完全相同。

3. 移项合并：$x>5$

   为什么这样做

   移项的依据是「两边同加同一个数」，加法不影响不等号方向。

4. 数轴上从 $5$ 出发向右画，$5$ 处用空心圆点

   为什么这样做

   严格大于取不到端点，空心；$\ge$ 才用实心。 这个区别到一元二次不等式的解集写法处仍然要用。

易错与反例

• 同乘负数忘记变号 —— 本题没遇到，但这是整个知识点的核心风险点。

• 端点画成实心。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元一次不等式（组） · 一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

解不等式组：$\{\begin{array}{l}2x-1>3\\ x-5<0\end{array}$

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in (2,5)$

查看逐步解析与易错点

1. 分别解：$2x-1>3\Rightarrow x>2$；$x-5<0\Rightarrow x<5$

   为什么这样做

   不等式组的每一个不等式先各自解开，这一步没有相互影响。

2. 取交集：$2<x<5$

   为什么这样做

   「组」的含义是同时满足，所以取交集不是并集。 数轴上画两条，重叠的那一段就是答案。

易错与反例

• 取并集写成x>2或x<5，会使全体实数都被纳入；原题要求同时满足，应取交集。

• 两个不等式的解集不相交（如x>5且x<2）时，解集为空，即没有同时满足要求的实数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

若不等式组 $\{\begin{array}{l}x>2\\ x>a\end{array}$ 的解集是 $x>2$，求 $a$ 的取值范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$a\in (-\mathrm{\infty },2]$

查看逐步解析与易错点

1. 两个不等式方向相同，解集是「较大者之后」

   为什么这样做

   同向不等式取交集时，$x>2$ 与 $x>a$ 的交集由较大的那个界决定 —— 数轴上画一下就看出来，不必背「同大取大」。

2. 要使解集恰为 $x>2$，需要 $2$ 是较大的界，即 $a\le 2$

   为什么这样做

   $a<2$ 时 $2$ 更大，交集是 $x>2$ ✓； $a=2$ 时两式相同，交集仍是 $x>2$ ✓； $a>2$ 时交集变成 $x>a$ ✗。

3. 故 $a\le 2$

   为什么这样做

   等号要取到 —— $a=2$ 是合法情形，漏掉就少了一个点。

易错与反例

• 答 $a<2$，漏掉 $a=2$。判断端点能否取到，方法是把它代回去看结论是否仍成立。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

解不等式 $-3x+2\ge 11$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },-3]$

查看逐步解析与易错点

1. $-3x\ge 9$；同除−3要反向，得 $x\le -3$。

   为什么这样做

   乘除负数会改变数轴上的大小次序。

易错与反例

• 端点−3使两边相等，可以取到。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

解不等式组 $3x-1\le 8$ 且 $2x+5>3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-1,3]$

查看逐步解析与易错点

1. 分别得x≤3与x>−1，取共同部分得−1<x≤3。

   为什么这样做

   “且”要求同时满足，解集取交集。

易错与反例

• −1不满足严格不等式，3满足另一个非严格不等式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

一次活动固定费用12元，每增加1人再花8元，总预算不超过50元。最多可增加多少人？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. 设增加n人，12+8n≤50，得n≤4.75；n是非负整数，最大为4。4人共44元，5人共52元超支。

   为什么这样做

   数学解集还要与人数的整数、非负约束相交。

易错与反例

• 人数不能按四舍五入把4.75变成5。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

实数x需要同时满足 $x\ge 4$ 与 $x<1$，解集是什么？

我的思路（本页草稿）

查看答案

空集。

查看逐步解析与易错点

1. x≥4已推出x>1，与x<1不能同时成立，因此没有公共点。

   为什么这样做

   不等式组取交集；两段不相交时交集为空。

易错与反例

• 不能用“或”连接两段当作原不等式组的答案。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

讨论不等式 $ax<2$ 的实数解集，分别说明a>0、a<0和a=0。

我的思路（本页草稿）

查看答案

a>0时x<2/a；a<0时x>2/a；a=0时为全体实数。

查看逐步解析与易错点

1. a>0同除a方向不变；a<0同除a方向反向；a=0时原式0<2对任意x成立。

   为什么这样做

   除法先检查非零，再检查除数符号；0的情况直接代回。

易错与反例

• 不能在a=0时写2/a。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

解不等式 $-(x+2)/2\ge 3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },-8]$

查看逐步解析与易错点

1. 两边乘2得−x−2≥6，故−x≥8，得x≤−8。

   为什么这样做

   正数倍乘保持方向，最后同乘−1才反向。

易错与反例

• 外面的负号同时作用于x和2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

要求x同时满足 $x<3$ 和 $x\ge 3$，解集是哪一项？

• A.

  空集

• B.

  全体实数

• C.

  只有3

• D.

  $x\ne 3$

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 第一式排除3及其右侧，第二式排除3左侧；没有共同点。

   为什么这样做

   边界3只满足第二式，不满足第一式。

易错与反例

• 不能因为两个区间接触于3，就忽略一个端点是开口。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 一元二次不等式
• 集合
• 绝对值方程与不等式

依据

课程依据：初中：方程与不等式。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。