反比例函数

一句话

反比例函数保持两个变量的乘积不变，图像分成两支，大小比较必须留在明确的区间内。

本页目标：检查自变量非零，画反比例函数并解释双曲线两支。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 函数的概念（变量说）

  需要会：区分输入、输出与对应规则，用表、式、图表示函数

• 分式与分式方程

  需要会：保留分母非零条件，约分、通分、解分式方程并验根

概念与推导

本页定位：课程基础。

当xy=k且k为非零常数时，可写成 $y=k/x$。x不能为0，y也不能为0，因此图像不经过坐标轴。k>0时两变量同号，图像在第一、第三象限；k<0时异号，图像在第二、第四象限。

如果两个输入同为正或同为负，利用通分比较输出差：k>0时每一支都递减，k<0时每一支都递增。若一负一正，分母乘积变号，不能沿用同支结论。图像靠近坐标轴不表示某点能落到轴上。

过曲线上一点向两轴作垂线，围成矩形的边长为|x|、|y|，面积为|xy|=|k|；第二、第四象限也必须取正面积。

定面积、定路程或定工作量的关系可能成反比例，但需要先检查固定量与效率等假设。现实中速度、边长通常为正，因此只用相应的一支；不能无限制外推到0或负数。

公式与条件

反比例是变量乘积固定；反函数是交换输入与输出后形成的对应，名称相近但判断任务不同。

$$y=\frac{k}{x}(k\ne 0,x\ne 0),xy=k,y_2-y_1=-\frac{k(x_2-x_1)}{x_1{x}_2}$$

成立条件

k为固定非零常数；比较单调性时 $x_1<x_2$ 必须位于同一支，即同为正数或同为负数。

从哪里来

通分得 $k/x_2-k/x_1=-k(x_2-x_1)/(x_1{x}_2)$。同一支上 $x_1{x}_2>0$，故k>0时输出差为负、分别递减；k<0时分别递增。xy=k还说明两坐标同号或异号。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由点求比例系数

• 同一支上的大小比较

• 定面积、定工作量的模型

要防止

• 不能把“两支各自递减”合成在整个非零实数域递减。

• k=0不属于反比例函数。

• 反比例函数与“反函数”是不同概念。

知识讲解：反比例函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（由曲线上的点求k）

反比例函数 $y=k/x$ 经过(-2,3)。依次求k与x=4时的y。

解与结论

$(-6,-\frac{3}{2})$

1. $k=xy=(-2)\times 3=-6$，所以 $y=-6/x$；x=4时 $y=-3/2$。

   为什么这样做

   反比例关系保持乘积固定，先由一个非零输入求出比例常数。

易错与反例

• 不能把k算成y/x，那是正比例关系的系数。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（固定面积与实际范围）

面积为24平方米的长方形，长x米、宽y米。若长为6米，宽为多少米？写出关系并填写宽的数值。

解与结论

$4$

1. xy=24，因此y=24/x，实际范围x>0。x=6时y=4米。

   为什么这样做

   面积固定时两边长成反比例；长度的情境排除了0和负值。

易错与反例

• 函数图像在数学上可有两支，本情境只用第一象限的一支。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（两支分别单调的边界）

“函数 $y=6/x$ 在整个 $x\ne 0$ 的范围内随x增大而减小”正确吗？

解与结论

不正确；它在x<0与x>0两个区间上分别递减。

1. 取−1<1，但f(−1)=−6<f(1)=6，反驳跨越0的递减结论。在同一支上比较，两输入乘积为正，差商为负。

   为什么这样做

   定义域断成两段，分别递减不能合并成整个范围递减。

易错与反例

• 讨论单调性必须指明区间。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• $y=3/(x-1)$并非y关于x的反比例函数；它关于 $x-1$ 成反比例。
• x加倍时y减半，说的是倍数关系，不能概括成“y一定变小”。
• 与直线联立时先保留x≠0，再检查每个解对应的交点。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

反比例函数 $y=k/x$ 经过(-2,3)。依次求k与x=4时的y。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-6,-\frac{3}{2})$

查看逐步解析与易错点

1. $k=xy=(-2)\times 3=-6$，所以 $y=-6/x$；x=4时 $y=-3/2$。

   为什么这样做

   反比例关系保持乘积固定，先由一个非零输入求出比例常数。

易错与反例

• 不能把k算成y/x，那是正比例关系的系数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

面积为24平方米的长方形，长x米、宽y米。若长为6米，宽为多少米？写出关系并填写宽的数值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. xy=24，因此y=24/x，实际范围x>0。x=6时y=4米。

   为什么这样做

   面积固定时两边长成反比例；长度的情境排除了0和负值。

易错与反例

• 函数图像在数学上可有两支，本情境只用第一象限的一支。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数 · 图形的认识与测量（周长、面积、体积）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

“函数 $y=6/x$ 在整个 $x\ne 0$ 的范围内随x增大而减小”正确吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不正确；它在x<0与x>0两个区间上分别递减。

查看逐步解析与易错点

1. 取−1<1，但f(−1)=−6<f(1)=6，反驳跨越0的递减结论。在同一支上比较，两输入乘积为正，差商为负。

   为什么这样做

   定义域断成两段，分别递减不能合并成整个范围递减。

易错与反例

• 讨论单调性必须指明区间。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

函数 $y=4/x$ 的两支图像位于哪些象限？

• A.

  第一与第三

• B.

  第二与第四

• C.

  第一与第二

• D.

  第三与第四

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. xy=4>0，x、y同号，所以位于第一、第三象限。

   为什么这样做

   非零乘积的符号决定两个坐标的同异号。

易错与反例

• 图像不经过原点，也不与坐标轴相交。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

P(-2,3)在 $y=-6/x$ 上，从P向两坐标轴作垂线，与原点围成的矩形面积是多少？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. 矩形边长分别为2、3，面积6，也等于|xy|=|−6|。

   为什么这样做

   几何边长取坐标的绝对值，面积不能为负。

易错与反例

• 第二象限中k为负，但面积是|k|。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数 · 图形的认识与测量（周长、面积、体积）。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 综合 · 独立练习

求 $y=6/x$ 与 $y=x-1$ 的交点横坐标组成的集合。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{-2,3\}$

查看逐步解析与易错点

1. $6/x=x-1$，x≠0；乘x得 $x^2-x-6=0$，即 $(x-3)(x+2)=0$。两根3、−2均非零，代回得到交点(3,2)、(−2,−3)。

   为什么这样做

   联立要求同一输入输出，清分母后必须回查非零限制。

易错与反例

• 不要只保留第一象限交点；题目没有限制x为正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数 · 一次函数 · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

反比例关系 $y=k/x$ 中k固定且非零。将一个非零输入x变为2x，输出如何变化？

我的思路（本页草稿）

查看答案

输出变成原来的二分之一。

查看逐步解析与易错点

1. 新输出为 $k/(2x)=\frac{1}{2}(k/x)=y/2$。由于x≠0，2x也非零。

   为什么这样做

   同一个k保持不变，两次输入都必须属于定义域。

易错与反例

• “减半”指除以2；当y为负数时，数值反而更大，不能说一定变小。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

$y=3/(x-1)$ 是关于x的反比例函数吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不是；若令t=x−1，则y是t的反比例函数。

查看逐步解析与易错点

1. 关于x，x=2时xy=6；x=4时xy=4，乘积不恒定。关于t，ty=3且t≠0。

   为什么这样做

   “谁与谁成反比例”必须说清变量，不能仅凭分母出现字母判断。

易错与反例

• 平移了分母的图像不再以原来的两条坐标轴为渐近线。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

反比例函数经过(3,−4)，当x=−2时求y。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. k=3×(−4)=−12，所以y=−12/(−2)=6。

   为什么这样做

   先固定乘积，再按新的非零输入求值。

易错与反例

• x、y在k<0时异号；x为负时y为正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

函数 $y=12/x$ 只取 $2\le x\le 8$。依次写出y的最小值与最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(\frac{3}{2},6)$

查看逐步解析与易错点

1. 在正数区间上函数递减；x=8时最小为3/2，x=2时最大为6。两个端点都允许，故都能取到。

   为什么这样做

   这里输入始终处于同一支，可以用该支的单调性比较端点。

易错与反例

• 反比例函数取最大值不一定对应最大x；还需看k符号及所取区间。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：反比例函数。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。

依据

课程依据：初中：函数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。