换元

什么时候想到它

同一结构反复出现、根号妨碍运算、两个变量有固定关系时，可以找一个新变量，让约束或次数更简单。换元不必是一一对应；但必须说明新元范围，并在回代时找全所有原变量的值。

四步检查

先写原定义域，再设新元并求出它的实际范围；在新范围内求解，最后完整回代并检查原式。只写换元公式却忽略可取范围，或者把新元的一个值当成原变量的唯一值，都会漏解或增解。

如果只是把简单一次方程的字母改名，没有减少结构复杂度，通常没有必要；这不意味着改名在数学上非法。应比较换元前后哪个表达更清楚。

典型例题

例 1（指数式降为二次式）

解 $2^{2x}-3\cdot 2^x+2=0$，$x\in \mathbb{R}$。

解：设 $t=2^x$，实际范围为 $t>0$。方程变为 $t^2-3t+2=(t-1)(t-2)=0$，得 $t=1$ 或2，均符合范围。回代得到 $x=0$ 或1。

为什么有效：两次出现的指数具有倍数关系，$2^{2x}=(2^x{)}^2$。指数函数严格递增，每个保留的t对应唯一x。若新方程出现负根，也不能保留。

例 2（根式换元与非负条件）

解 $x+\sqrt{x-1}=3$。

解：原式要求 $x\ge 1$。设 $t=\sqrt{x-1}\ge 0$，则 $x=t^2+1$。代入得 $t^2+t-2=0$，即 $(t+2)(t-1)=0$。只有 $t=1$ 非负，回代 $x=2$。检查 $2+\sqrt{1}=3$，成立。

为什么要写范围：$t=-2$ 不可能等于算术平方根。如果把它平方回去得x＝5，再代原式会得到7，不是3。

例 3（固定和改用差）

$a,b\ge 0$ 且 $a+b=6$，求 $ab$ 的最大值。

解：设 $a=3+t,b=3-t$。非负条件给出 $-3\le t\le 3$。于是 $ab=(3+t)(3-t)=9-t^2\le 9$，在 $t=0$ 即 $a=b=3$ 时取到9。

为什么这样设：和6自动满足，唯一剩余的变化用差的一半t表示。平方非负给出上界，再检查取等点确实在新范围内。

例 4（同一个新元对应多个原变量）

解 $(x^2+3x{)}^2-2(x^2+3x)-8=0$。

解：设 $t=x^2+3x=(x+3/2{)}^2-9/4$，故 $t\ge -9/4$。新方程 $(t-4)(t+2)=0$ 给出4和−2，两者都可取。

回代：$x^2+3x=4$ 给出x＝1或−4；$x^2+3x=-2$ 给出x＝−1或−2。最终有四个不同实根 $-4,-2,-1,1$。不能把t的两个解直接当成x的两个解。

反例与失效情形

反例 1（新元范围丢失）

$x^2+1=0$ 中设 $t=x^2$，得到t＝−1。若只看新方程，会以为已经找到实数解；但 $t\ge 0$，负值不在新元范围中，所以原方程没有实数解。

反例 2（回代只取正值）

解 $x^4-5x^2+4=0$，设 $t=x^2$ 得t＝1或4。若最后写x＝1或2，就漏了负值。完整回代为x＝±1、±2；换元可以多对一，回代必须找全原像。

与其他方法配合

固定和的换元会显出平方结构，可与基本不等式的取等思想互相检查。根式换元要复习二次根式；整体换元要会配方与完整求根。

是否换元、换哪个元，应由目标与定义域共同决定。不能把“写了t”当作已经完成等价求解。