断层议题与回补索引
原13条议题逐条审定，保留旧编号用于追溯。条目是待检验的学习联系或经验建议，不宣称11条断层均已证实。同一议题可关联多个知识点。
类别：A为推理条件，B为知识联系，C为语言或定义衔接，D为对象与表示，E为经验建议。类别不是证据强弱等级。
下列题只检查数学能力。做对或做错不用于证明某版教材缺少内容，也不证明某种训练量的普遍效果。
1. 分析结论的适用条件
A类 · 修正。完备性支撑实分析中的若干定理；中学学习应核对连续、可导及区间条件，不要求先完成大学分析证明。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：实数 · 导数的概念与运算 · 导数的应用（单调性、极值、最值）
验证：验证1：导数的概念与运算 · 验证2：导数的应用（单调性、极值、最值）。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
2. 展开、分解与根的和积
B类 · 修正。三者有可推导的代数联系；不能把课标一句“不超过二次”解释为排除了所有衔接技巧，也不能用行为动词机械计算能力落差。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：运算律（交换律、结合律、分配律） · 十字相乘法与分组分解 · 一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） · 对称多项式的表达 · 圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）
验证：验证1：十字相乘法与分组分解 · 验证2：一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
3. 用函数符号求不等式解集
B类 · 修正。借图像和分段符号可统一方程与不等式；18课时是主题建议量，不能推出必须暑假补课。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：一元二次不等式 · 绝对值方程与不等式 · 二次函数含参区间最值
验证：验证1：一元二次不等式 · 验证2：绝对值方程与不等式。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
4. 显式定义域与函数对象
C类 · 修正。变量说并未规定连续变化或必须有解析式。衔接重点是定义域、对应与函数对象的显式表达。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：函数的概念（变量说） · 函数的概念（对应说） · 函数的性质（单调性、奇偶性、最值）
验证：验证1：函数的概念（对应说） · 验证2：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
5. 反向对应与对数
D类 · 修正。指数函数在底数为正且不为1时一一对应到正实数；对数律可从指数律推导。是否缺教材铺垫需逐版核对。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：指数函数与对数函数
验证：验证1：指数函数与对数函数 · 复测2：指数函数与对数函数。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
6. 证明中的条件与对应关系
A类 · 修正。某定理不要求证明，不等于取消演绎训练；通过独立证明与反例检查条件是否掌握。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：全等三角形与几何证明 · 相似三角形 · 立体几何初步
验证：验证1：全等三角形与几何证明 · 复测2：立体几何初步。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
7. 向量的几何与坐标表示
D类 · 修正。有向线段和坐标是同一对象的两种表示；数量积可联系长度、夹角和余弦定理。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：平面向量 · 空间向量与立体几何 · 解三角形（正弦定理、余弦定理）
验证：验证1：平面向量 · 验证2：空间向量与立体几何。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
8. 从锐角边比到任意角
C类 · 保留。单位圆定义扩展正弦余弦的自变量范围，在锐角范围内与边比一致；正切仍有除零限制。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
验证：验证1：任意角与单位圆定义 · 验证2：任意角与单位圆定义。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
9. 数列的定义域与递推
D类 · 修正。数列是有限正整数集或正整数集上的函数。不能声称所有数列无限、所有等比数列都有实指数延拓，或教材从未点明函数联系。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数） · 等差数列与等比数列
验证：验证1：数列的概念（定义在正整数集上的函数） · 验证2：等差数列与等比数列 · 复测3：等差数列与等比数列。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
10. 几何工具的证明与使用条件
B类 · 修正。圆幂、射影和角平分线比例可作为拓展；是否属于某课标或教材要求必须查原条目，不能从摘录缺席推断全文缺席。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
验证：验证1：圆 · 验证2：勾股定理与逆定理。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
11. 数系扩张的问题动机
C类 · 修正。负数、无理数和复数解决不同问题。加减乘除封闭、方程可解与完备性不是同一个性质。
证据状态：数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验
验证：验证1：有理数 · 验证2：实数 · 验证3：复数的表示与运算。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
12. 从数量关系到方程
E类 · 保留（经验建议）。方程便于顺着关系表达未知量；算术法和估算也有价值。是否需要回补应用独立题确认。
证据状态：经验建议；无学习效果保证
回补：用字母表示数与简易方程 · 一元一次方程
验证：验证1：用字母表示数与简易方程 · 验证2：一元一次方程。
这些题检查关联的数学能力，不据作答结果判断某版教材是否遗漏，也不把学习困难直接归因为教材。
13. 用复测反馈调整练习
E类 · 保留（经验建议）。训练量因人而异。四周、15分钟或若干题是可调整建议，不是课标指标或效果保证。
证据状态：经验建议；无学习效果保证
回补：数学建模与探究
验证：验证1：数学建模与探究 · 复测2：数学建模与探究。
先独立处理一个整数决策，再用不同参数复测并对照步骤；两次结果不能证明某种训练量对所有人有效。