常用结论与求和方法的证明

这些是可复用的数学结论，使用时仍须核对定义域和取等条件。导数相关部分面向已经学习导数的高中读者；求和部分先从有限项的展开与抵消理解。

指数与对数的两个界

对所有实数x，有 $e^x\ge 1+x$，等号仅在x＝0成立。

证明：设 $g(x)=e^x-x-1$，则 $g^{\prime }(x)=e^x-1$。当x<0时导数负，x>0时导数正，故g在0处取得全局最小值 $g(0)=0$。这使用了指数函数的正性与单调性，以及可导函数的单调判定。

对x>0，有 $\ln x\le x-1$，等号仅在x＝1成立。

证明：设 $h(x)=x-1-\ln x$，$h^{\prime }(x)=1-1/x=(x-1)/x$。分母为正，故h先减后增，在1处取最小值0。也可在前一个结论中令变量为 $\ln x$，由 $e^{\ln x}=x$ 得出；这一步要求x>0。

应用：令x＝2t，有 $e^{2t}\ge 1+2t$，等号t＝0。对正数a、b，令x＝a/b，得 $\ln (a/b)\le a/b-1$，等号a＝b。不能把对数结论用于a/b≤0，也不能乘未知符号的量后保持不等号不变。

Cauchy–Schwarz：不是换一种写法

任意实数a、b、c、d满足

$$(ac+bd{)}^2\le (a^2+b^2)(c^2+d^2).$$

证明：右边减左边，展开并合并，恰为 $(ad-bc{)}^2\ge 0$。等号当且仅当ad＝bc，包含其中一组数全为0的情况，不需要先除以某个坐标。

对正整数n，任意两组实数还满足

$${\left(\sum _{i=1}^n{a}_i{b}_i\right)}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{a}_i^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{b}_i^2\right).$$

一般证明：右边减左边等于 $\sum _{i<j}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$。展开右侧，平方项汇成所有不同下标的 $a_i^2{b}_j^2$，交叉项正好减去内积平方中的交叉项，因此恒等。每个平方非负，结论成立。

等号要求所有这些平方都为0。若b组不全为0，等价于存在同一实数t使 $a_i=t{b}_i$；若b组全为0，等号自然成立。

应用：x＋y＝6时，$36=(x+y{)}^2\le 2(x^2+y^2)$，所以 $x^2+y^2\ge 18$；x＝y＝3满足条件，故最小值确为18。若另要求x≥4，则等号点不可取，不能仍答18；此时 $x^2+(6-x{)}^2=2(x-3{)}^2+18$ 在x≥4上最小为20。

有限数列求和的五种方法

以下n均为正整数。写出首尾项与项数，是每种方法的共同检查。

1. 公式法：先确认模型

$S=3+6+12+\cdots +3\cdot 2^{n-1}$ 是首项3、公比2的等比和。由 $2S-S=3\cdot 2^n-3$ 得

$$S=3(2^n-1).$$

套用一般等比公式 $a_1(1-q^n)/(1-q)$ 时需要q≠1；q＝1时每项都为a₁，和为na₁，不能除以0。

2. 错位相减：把系数差变简单

设 $T=1+2\cdot 2+3\cdot 2^2+\cdots +n{2}^{n-1}$。把T乘2后，幂次错开一位。用2T减T，各中间幂次的系数都差−1，得到

$$T=n{2}^n-(1+2+\cdots +2^{n-1})=(n-1)2^n+1.$$

先写清首项−1与最后的 $n{2}^n$，防止抵消时漏掉两端。n＝1时公式给1，和原式一致。

3. 裂项：制造相邻抵消

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}.$$

依据是每一项通分后都还原原分式；k≥1保证分母非零。中间项抵消后只剩首尾，不能把末项也消掉。

4. 分组：拆成已会的和

$$\sum _{k=1}^n(2k-1+2^k)=n^2+2^{n+1}-2.$$

说明：奇数部分为 $2\sum k-n=n(n+1)-n=n^2$；指数部分 $2+4+\cdots +2^n=2^{n+1}-2$。先拆出不同结构，再各自求和，最后相加。

5. 倒序相加：检查每列是否同和

把 $U=1+2+\cdots +n$ 与反向的 $U=n+(n-1)+\cdots +1$ 对齐，每列为n＋1，共n列。因此 $2U=n(n+1)$，所以

$$U=\frac{n(n+1)}{2}.$$

n为奇数时也成立，因为相加的是两个完整的和，不需要把原式硬拆成整数对。不是所有数列倒序相加都会有相同列和，例如平方数列就不能直接套这个推理。

平方和：圆锥分层说明中用到的恒等式

$$1^2+2^2+\cdots +n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.$$

证明：由 $(k+1{)}^3-k^3=3k^2+3k+1$，从k＝1加到n，左边抵消得 $(n+1{)}^3-1$。因此

$$3\sum _{k=1}^n{k}^2=(n+1{)}^3-1-3\frac{n(n+1)}{2}-n,$$

整理即得公式。这把新的平方和化为已证明的一次和，而不是仅列一个结论名。

圆锥分层时出现 $\sum k^2/n^3=1/3+1/(2n)+1/(6n^2)$；相应内接分层给出 $1/3-1/(2n)+1/(6n^2)$。两者随n增大都趋近1/3，为等底等高圆锥与圆柱的体积比提供了进阶说明。

选方法时问什么

能直接识别等差、等比时先用公式；项中是“序号×等比项”时考虑错位相减；相邻倒数可考虑裂项；多种结构相加时考虑分组；首尾列和固定时考虑倒序相加。用完后检查n＝1、项数、分母和取等条件。

相关回补：分式运算、数列与递推、参数的必要与充分条件。