实数

一句话

实数由有理数和无理数组成；根号的定义、数的范围和估算精度都要说清。

本页目标：区分有理数与无理数，用平方比较估计实数范围。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 有理数

  需要会：用数轴比较有理数，解释负数、绝对值和符号运算

概念与推导

本页定位：课程基础。

有理数可以表示为整数之比；无理数不能。每个有理数可写成有限小数或无限循环小数；无限不循环小数表示无理数。这里描述的是完整无限展开，有限位计算器显示不能用来判断是否循环。

若 $x^2=a$，x称为a的平方根。$a>0$有两个平方根，$a=0$只有一个，$a<0$在实数内没有平方根。符号 $\sqrt{a}$ 特指非负的一个。立方根不同：$x^3=a$ 对每个实数a都有唯一实数解，负数的立方根仍为负。

为了比较 $\sqrt{a}$ 与非负数b，可以比较a与 $b^2$。平方比较必须注意符号；例如 $(-3{)}^2>(-2{)}^2$ 却有 $-3<-2$。用相邻十分位的平方夹住目标，就能给出带理由的估计。

数轴上的每个点对应一个实数。有理数之间虽可继续插入有理数，仍不能表示如长度 $\sqrt{2}$ 的所有点。高中导数使用实数体系支持极限；本页用不可通约长度说明扩充动机，不要求先学习大学的完备性证明。

公式与条件

任何开方都先说明数系与根号次数；估计同时给出两个可核算的界。

$$\sqrt{a^2}=|a|,{\left(\sqrt[3]{a}\right)}^3=a$$

成立条件

$a$ 为实数；$\sqrt{b}$ 在实数内要求 $b\ge 0$ 且取非负值，$\sqrt[3]{a}$ 对所有实数均定义。

从哪里来

$|a|\ge 0$ 且 $|a{|}^2=a^2$，由非负平方根唯一性可得第一式。立方函数在整个实数范围严格递增，因此等于a的立方只对应一个实数。

适用场景与常见误用

可以用在

• 区分根号值与方程根集

• 用平方或立方检验开方结果

要防止

• 正数有两个平方根但只有一个算术平方根。

• 0的平方根只有0，负数没有实数平方根。

知识讲解：实数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（一个根号值与完整根集）

依次写出 $\sqrt{25}$、25的两个平方根（后两项从小到大），用逗号分隔。

解与结论

$(5,-5,5)$

1. $\sqrt{25}=5$ 是非负的算术平方根；方程 $x^2=25$ 的根为 $-5,5$。

   为什么这样做

   根号表示一个非负数，求平方根则要列全使平方等于原数的实数。

易错与反例

• 不能写√25=±5。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（平方夹逼估计）

不使用计算器，将 $\sqrt{10}$ 夹在两个相邻的一位小数之间，依次写出下界和上界。

解与结论

$(3.1,3.2)$

1. ${3.1}^2=9.61<10<10.24={3.2}^2$，所以 $3.1<\sqrt{10}<3.2$。

   为什么这样做

   在非负数范围，平方随原数增大而增大，因此可用平方反向比较。

易错与反例

• 负数范围不能照搬平方大小与原数大小的同向关系。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（无理性的反证）

证明 $\sqrt{2}$ 不能写成两个整数的比。

解与结论

$\sqrt{2}$ 是无理数。

1. 若 $\sqrt{2}=p/q$，其中 $p,q$ 为互质正整数，则 $p^2=2q^2$，故 $p^2$ 为偶数，p也为偶数（奇数的平方仍是奇数）。令 $p=2k$，得 $q^2=2k^2$，从而q也为偶数。这与p、q互质矛盾。

   为什么这样做

   任一正有理数都能先约成最简分数；推出分子分母同为偶数，才与最简性冲突。

易错与反例

• 若开头没有要求互质，“两者都是偶数”本身并不矛盾。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• $\sqrt{4}=2$ 是有理数，不能按是否“带根号”分类。
• $\sqrt{a+b}=\sqrt{a}+\sqrt{b}$ 一般不成立，取 $a=b=1$ 即可核对。
• 任意实数的平方非负，但实数本身未必非负；开平方不能丢掉绝对值。

衔接提示

衔接提示：分析结论的适用条件

完备性支撑实分析中的若干定理；中学学习应核对连续、可导及区间条件，不要求先完成大学分析证明。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：实数 · 导数的概念与运算 · 导数的应用（单调性、极值、最值）。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

衔接提示：数系扩张的问题动机

负数、无理数和复数解决不同问题。加减乘除封闭、方程可解与完备性不是同一个性质。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：有理数 · 实数 · 复数的表示与运算。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

依次写出 $\sqrt{25}$、25的两个平方根（后两项从小到大），用逗号分隔。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(5,-5,5)$

查看逐步解析与易错点

1. $\sqrt{25}=5$ 是非负的算术平方根；方程 $x^2=25$ 的根为 $-5,5$。

   为什么这样做

   根号表示一个非负数，求平方根则要列全使平方等于原数的实数。

易错与反例

• 不能写√25=±5。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

不使用计算器，将 $\sqrt{10}$ 夹在两个相邻的一位小数之间，依次写出下界和上界。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3.1,3.2)$

查看逐步解析与易错点

1. ${3.1}^2=9.61<10<10.24={3.2}^2$，所以 $3.1<\sqrt{10}<3.2$。

   为什么这样做

   在非负数范围，平方随原数增大而增大，因此可用平方反向比较。

易错与反例

• 负数范围不能照搬平方大小与原数大小的同向关系。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

证明 $\sqrt{2}$ 不能写成两个整数的比。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{2}$ 是无理数。

查看逐步解析与易错点

1. 若 $\sqrt{2}=p/q$，其中 $p,q$ 为互质正整数，则 $p^2=2q^2$，故 $p^2$ 为偶数，p也为偶数（奇数的平方仍是奇数）。令 $p=2k$，得 $q^2=2k^2$，从而q也为偶数。这与p、q互质矛盾。

   为什么这样做

   任一正有理数都能先约成最简分数；推出分子分母同为偶数，才与最简性冲突。

易错与反例

• 若开头没有要求互质，“两者都是偶数”本身并不矛盾。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

下列哪个数是无理数？

• A.

  $\sqrt{9}$

• B.

  $\frac{1}{7}$

• C.

  $0.125$

• D.

  $\sqrt{3}$

我的思路（本页草稿）

查看答案

D

查看逐步解析与易错点

1. 前三个数分别为3、有理分数、$1/8$。若 $\sqrt{3}=p/q$ 为最简分数，由 $p^2=3q^2$ 可得p与q都能被3整除，矛盾。

   为什么这样做

   整数、有限小数和循环小数都是有理数；非完全平方正整数的平方根为无理数。

易错与反例

• 带根号的表达式不一定代表无理数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

求 $\sqrt{(-6{)}^2}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. $\sqrt{(-6{)}^2}=\sqrt{36}=6=|-6|$。

   为什么这样做

   算术平方根必须非负。

易错与反例

• 不能把平方与根号消去后直接得到−6。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

求 $\sqrt[3]{-27}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-3$

查看逐步解析与易错点

1. $(-3{)}^3=-27$，所以 $\sqrt[3]{-27}=-3$。

   为什么这样做

   实数的立方保留符号，立方根对每个实数都存在且唯一。

易错与反例

• 负数没有实数平方根，不代表它没有立方根。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

计算器显示某数为1.41421356，能据此确定它是无理数吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，仅有有限位显示不足以确定。

查看逐步解析与易错点

1. 有理数1.41421356和无理数 $\sqrt{2}$ 都可能被显示成同一有限位结果。若题目明确这个数恰等于有限小数1.41421356，它就是有理数。

   为什么这样做

   显示值可能经过舍入；数的完整定义与设备显示不是同一信息。

易错与反例

• 不能从“目前没有看到循环”推出无限不循环。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

求方程 $x^2=-4$ 在实数范围内的解集。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{\}$

查看逐步解析与易错点

1. 实数的平方总是非负，不能等于−4，因此实数解集为空。

   为什么这样做

   所讨论的数系必须先说明；本题限定实数。

易错与反例

• 不能把实数范围内的“无解”推广到所有数系。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

计算 $\sqrt{49}+\sqrt[3]{-8}$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5$

查看逐步解析与易错点

1. $7+(-2)=5$。

   为什么这样做

   分别按平方根和立方根的定义核对符号后相加。

易错与反例

• 根的次数不同，不能合并根号内的数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

“两个无理数的和一定是无理数”是否成立？给出反例。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不成立。

查看逐步解析与易错点

1. $\sqrt{2}$ 与 $-\sqrt{2}$ 都是无理数，但相加得0，是有理数。

   为什么这样做

   无理数的集合对加法不封闭；只需一个反例推翻“一定”。

易错与反例

• 不能以几个结果仍无理的例子证明“所有”。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：实数。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 二次根式

依据

课程依据：初中：数与式中的数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。