基本不等式

一句话

基本不等式先核对非负，再利用和或积的固定关系，最后确认取等是否真的落在题设范围内。

本页目标：从平方非负推出基本不等式，检查非负、定值和取等。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 二次根式

  需要会：使用非负平方根、绝对值与有理化，检查定义域

• 整式的乘法与乘法公式

  需要会：用分配律展开多项式，推导平方及立方公式

概念与推导

本页定位：课程基础。

对a、b≥0，两个数的算术平均不小于几何平均。因为 $(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2\ge 0$，展开就得到a+b≥2√(ab)。等号仅在a=b时成立，包括两者都为0。

应用时把“正的两个整体”明确写出来。例如x>0时，x与9/x的积固定为9，可以得到和的下界；和固定时，则可以得到积的上界。固定条件不是不等式成立的前提，而是将它变成有效最值结论的关键。

任何最值解答都要完成两件事：证明所有允许值不越过界；找出允许的变量使它取到。题设新增范围可能排除取等点，此时这个界仍可正确，却不再等于实际最小值或最大值，例3给出完整反例与新最值。

凑成适用形式往往需要换元、拆项或利用和积约束。若出现分母，另外核对非零与符号；多次使用不等式，还需各次取等条件能同时成立。可结合换元方法检查新变量的取值范围。

与此相关的a²+b²≥2ab直接来自(a−b)²≥0，对任意实数都成立。它与要求a、b分别非负的根号形式不应混淆。

公式与条件

原公式允许0；应用中的分母可另要求严格正。最值的界与可取到的等号必须分别证明。

$$\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}$$

成立条件

$a\ge 0,b\ge 0$

取等条件

$a=b$ 时取等

从哪里来

${\displaystyle \frac{a+b}{2}}-\sqrt{ab}={\displaystyle \frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b}{)}^2}{2}}\ge 0$

适用场景与常见误用

可以用在

• 和为定值时求积的最大值

• 积为定值时求和的最小值

• "1 的代换"型最值问题

要防止

• 没有核对给定约束与等号条件能否同时成立；公式允许非负数，不用口头口诀代替条件。

• 变量可能为负时直接套用

• 多次使用时各次取等条件不一致，导致最值取不到

知识讲解：基本不等式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

$$a^2+b^2\ge 2ab$$

成立条件

a、b可为任意实数，不要求分别为正。

取等条件

当且仅当a=b时取等。

从哪里来

将左边减右边得到(a−b)²，实数平方总非负，所以不等式成立。

适用场景与常见误用

可以用在

• 控制平方和与乘积

• 从已知平方和约束求和的范围

要防止

• 本式允许负数，但不能据此取消√(ab)≤(a+b)/2对a、b的非负要求。

知识讲解：基本不等式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（正项积固定求和下界）

x>0，求 $x+9/x$ 的最小值。

解与结论

$6$

1. 两个正数x与9/x的积为9，故 $x+9/x\ge 2\sqrt{9}=6$。当x=9/x，即x=3时取等，符合x>0。

   为什么这样做

   给出下界还要检查等号能实现，才可称最小值。

易错与反例

• 若只写≥6而未检验x=3是否允许，论证还未完成。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（周长固定求面积上界）

长方形周长为24，两边长为正，求面积最大值。

解与结论

$36$

1. 设边长a、b，则a+b=12。由ab≤((a+b)/2)²=36，且a=b=6时取等，所以最大面积36。

   为什么这样做

   周长固定使和固定，基本不等式把面积的积限制在一个可达到的上界。

易错与反例

• 不要把周长24直接当作a+b。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（取等点被限制排除）

限制 $0<x\le 2$ 时，$x+9/x$ 的最小值还是6吗？求实际最小值。

解与结论

$\frac{13}{2}$

1. 不是。取等x=3不在范围。对0<x≤2，$x+9/x-13/2=(x-2)(1-9/(2x))\ge 0$，因两因子都非正；x=2时取等，最小值13/2。

   为什么这样做

   一个通用下界未必是限制范围上的最小值，必须把取等与题设同时检查。

易错与反例

• 不能把取不到的6宣布为最小值。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• a、b都负而ab正时，不能用根号形式的基本不等式。
• 写出下界或上界不等于已经找到最值。
• 两次取等条件互不相容时，不能把两次等号同时当作可实现。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

x>0，求 $x+9/x$ 的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. 两个正数x与9/x的积为9，故 $x+9/x\ge 2\sqrt{9}=6$。当x=9/x，即x=3时取等，符合x>0。

   为什么这样做

   给出下界还要检查等号能实现，才可称最小值。

易错与反例

• 若只写≥6而未检验x=3是否允许，论证还未完成。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

长方形周长为24，两边长为正，求面积最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$36$

查看逐步解析与易错点

1. 设边长a、b，则a+b=12。由ab≤((a+b)/2)²=36，且a=b=6时取等，所以最大面积36。

   为什么这样做

   周长固定使和固定，基本不等式把面积的积限制在一个可达到的上界。

易错与反例

• 不要把周长24直接当作a+b。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

限制 $0<x\le 2$ 时，$x+9/x$ 的最小值还是6吗？求实际最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{13}{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 不是。取等x=3不在范围。对0<x≤2，$x+9/x-13/2=(x-2)(1-9/(2x))\ge 0$，因两因子都非正；x=2时取等，最小值13/2。

   为什么这样做

   一个通用下界未必是限制范围上的最小值，必须把取等与题设同时检查。

易错与反例

• 不能把取不到的6宣布为最小值。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

若直接对a、b使用√(ab)≤(a+b)/2，哪组值不满足适用条件？

• A.

  a=−1，b=−4

• B.

  a=0，b=4

• C.

  a=1，b=4

• D.

  a=0，b=0

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 公式要求a、b分别非负；A中虽然ab为正，但两者都负，右边−5/2反而小于左边2。

   为什么这样做

   积非负不足以替代两个变量分别非负。

易错与反例

• 把“ab≥0”误当作唯一条件会直接得到错误不等式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

a、b≥0且a²+b²=25，求a+b的最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 由2ab≤a²+b²=25，得 $(a+b{)}^2=25+2ab\le 50$。a+b非负，故a+b≤5√2；a=b=5/√2时取等。

   为什么这样做

   先控制平方，再按和的非负性开方，并验证相等两变量可满足平方和约束。

易错与反例

• 不能从a²+b²=25推出a+b=5。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

x>1，求 $(x+1{)}^2/(x-1)$ 的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$8$

查看逐步解析与易错点

1. 令t=x−1>0，原式为 $(t+2{)}^2/t=t+4+4/t\ge 4+4=8$。t=2即x=3时取等。

   为什么这样做

   换元先把分母表达成正变量，才能对t与4/t使用基本不等式。

易错与反例

• 不能忽略x>1就直接将可能为负的x−1放入均值不等式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

证明对任意实数a、b都有a²+b²≥2ab，并给等号条件。

我的思路（本页草稿）

查看答案

恒成立，当且仅当a=b时取等。

查看逐步解析与易错点

1. a²+b²−2ab=(a−b)²≥0；平方为0恰好是a−b=0。

   为什么这样做

   这个平方非负结论允许a、b为负；它与要求根号内两个输入分别非负的均值不等式要区分。

易错与反例

• 不要给这条结论额外加上并不需要的a>0、b>0条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 综合 · 独立练习

x、y>0且x+y=1，求1/x+1/y的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. 1/x+1/y=(x+y)/(xy)=1/(xy)。由xy≤1/4且xy>0，得1/(xy)≥4；x=y=1/2时取等。

   为什么这样做

   取倒数需要分母为正，不等号方向随正倒数关系翻转。

易错与反例

• 和固定后必须先判断怎样控制乘积，不能同时把x、y任意增大。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

x>0，求 $2x+8/x$ 的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$8$

查看逐步解析与易错点

1. 两项积为16，和至少2√16=8；2x=8/x给出x=2，允许取等。

   为什么这样做

   取等比较的是两个被应用的整体2x与8/x，而不是x与8/x。

易错与反例

• 不要把取等条件误写成x=8/x。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

基本不等式是否一定要求两个数严格正？分别检查a=0,b=4与a=b=0。

我的思路（本页草稿）

查看答案

允许非负；前者成立但不取等，后者取等。

查看逐步解析与易错点

1. 0和4时左边0、右边2，满足严格小于；都为0时两边相等。推导中的非负平方根在0处仍有定义。

   为什么这样做

   公式条件与具体应用的除法条件要分开：若某题出现1/a，才另外要求a≠0。

易错与反例

• 口头口诀不能替代公式允许0的准确条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。

依据

课程依据：高中：相等与不等关系。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。