二次函数

一句话

配方就是二次函数的一切。 $y=a{x}^2+bx+c$ 配成 $y=a(x-h{)}^2+k$ 之后，顶点、对称轴、最值、单调性、与 $x$ 轴的交点全部一眼可见。

不配方而去背顶点公式 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$，是把一个能推的东西换成了一个会忘的东西。

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前置知识

• 一元二次方程的解法

  需要会：用配方与求根公式求完整根集，先判断方程次数

• 一次函数

  需要会：解释一次函数斜率截距，求交点并建立线性情境模型

概念与推导

配方：把变量收进一个平方里

$$y=x^2-6x+5=(x^2-6x+9)-9+5=(x-3{)}^2-4$$

配方之后，$x$ 只出现在 $(x-3{)}^2$ 这一处。而平方项最小是零，所以：

• 当 $x=3$ 时 $(x-3{)}^2=0$，$y$ 取到最小值 $-4$
• 当 $x$ 离开 $3$（往哪边都一样），$(x-3{)}^2$ 变大，$y$ 变大

"顶点 $(3,-4)$、对称轴 $x=3$、最小值 $-4$、关于 $x=3$ 对称"这四句话是同一件事的四种说法，全部来自"平方项最小是零"。

一般地：

$$y=a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$

顶点公式就是这个恒等式的读法，不是一条独立结论。

开口方向由 $a$ 决定

$a>0$：平方项系数为正，$y$ 随平方项增大而增大 → 开口向上，顶点是最低点，有最小值无最大值。 $a<0$：反过来 → 开口向下，顶点是最高点，有最大值无最小值。

这就是为什么求最值前必须先看 $a$ 的符号。 含参时 $a$ 的符号未知，就必须分类讨论——见二次函数含参区间最值。

图象与 $x$ 轴的交点 = 方程的根

$y=0$ 就是 $a{x}^2+bx+c=0$。所以：

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$	方程	图象与 $x$ 轴
$\mathrm{\Delta }>0$	两个不等实根	两个交点
$\mathrm{\Delta }=0$	两个相等实根	一个交点（顶点在轴上）
$\mathrm{\Delta }<0$	无实根	没有交点

判别式的几何含义就在这张表里。 到一元二次不等式时，"解不等式"会变成"看图象在 $x$ 轴上方还是下方"——那一章的三步法完全建立在本节。

承接 一次函数 的线索： 方程是函数等于零，不等式是函数大于（小于）零。 一次是这样，二次也是这样。 这条对应关系一直用到高中的导数题：解 $f^{\prime }(x)>0$ 就是看导函数图象在 $x$ 轴上方的部分。

待定系数法：由已知点反求解析式

已知抛物线过某几点，设出含未知系数的解析式，代点得方程组，解出系数。

设哪种形式取决于题目给了什么：

已知条件	设法	理由
横坐标互异的三点	$y=a{x}^2+bx+c$	唯一确定次数不超过二次的多项式；还须验 $a\ne 0$
顶点 + 横坐标不同的另一点	$y=a(x-h{)}^2+k$	$h,k$ 直接读出，解出 $a$ 后须验 $a\ne 0$
与 $x$ 轴两个不同交点 + 不同横坐标的第三点	$y=a(x-x_1)(x-x_2)$	解出 $a$，须验非零与第三点条件

例如 $(0,0),(1,1),(2,2)$ 只能得到 $y=x$，并非二次函数；$(0,0),(0,1),(1,2)$ 不能同时在一个函数图像上。

第三种是因式分解与韦达定理在函数里的样子—— $a{x}^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)$ 这个恒等式，在方程那里读作"根与系数的关系"，在这里读作"交点式"。是同一条恒等式。

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公式与适用场景

二次函数的顶点式

$$a{x}^2+bx+c=a{(x+\frac{b}{2a})}^2+\frac{4ac-b^2}{4a}$$

成立条件

a≠0，x为实数；讨论受限区间时另检查顶点是否可取。

取等条件

全实域中，a>0时最小、a<0时最大，均在x＝−b/(2a)取得；受限域需重查。

从哪里来

提取a后配方，补上并减去一次项系数一半的平方，即得恒等式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求顶点、对称轴、单调性与最值。

要防止

• 把x＋3的轴读成3；不查开口方向；区间不含顶点却直接代顶点。

知识讲解：二次函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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二次方程判别式

$$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$$

成立条件

二次系数a≠0；若用于几何交点，还需等价消元及区分斜率不存在的情况。

从哪里来

配方后被开方部分的符号决定实根：Δ正有两个不同实根，零有重根，负无实根。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判断根的个数及相应抛物线与横轴的交点。

要防止

• a＝0仍按Δ判断；把形式上Δ>0当成任意消元后都有两交点。

知识讲解：一元二次方程的解法

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（配方）

求 $y=x^2-6x+5$ 的顶点坐标、对称轴与最小值。 按“顶点横坐标、顶点纵坐标、对称轴的横坐标、最小值”的顺序填写四个数。

解与结论

$(3,-4,3,-4)$

1. 配方：$y=x^2-6x+9-9+5=(x-3{)}^2-4$

   为什么这样做

   配方就是把「$x^2$ 和 $x$ 同时出现」化成一个整体的平方 —— 和解一元二次方程用的是同一个动作， 加的是一次项系数一半的平方。

2. 顶点式 $y=(x-3{)}^2-4$ 直接读出顶点 $(3,-4)$，对称轴 $x=3$

   为什么这样做

   $(x-3{)}^2\ge 0$ 恒成立，当 $x=3$ 时取到 $0$，此时 $y$ 最小。 顶点式的意义就是把最值位置写在脸上。

3. 开口向上（二次项系数 $1>0$），故 $-4$ 是最小值

   为什么这样做

   开口方向决定顶点是最高点还是最低点。

易错与反例

• 配方时忘记减回去：写成 $y=(x-3{)}^2+5$，凭空多了 $9$。 加了多少就要减多少，因为是恒等变形不是解方程。

• 顶点写成 $(-3,-4)$ —— $(x-3{)}^2$ 的顶点横坐标是 $3$ 不是 $-3$。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（判别式）

判断抛物线 $y=x^2-2x+3$ 与 $x$ 轴的交点个数。

解与结论

$\text{交点个数}=0$

1. 交点横坐标满足 $x^2-2x+3=0$

   为什么这样做

   与 $x$ 轴相交意味着 $y=0$。「图象与 $x$ 轴的交点」和「方程的实根」是同一件事， 只是一个说几何、一个说代数。

2. $\mathrm{\Delta }=(-2{)}^2-4\times 1\times 3=4-12=-8<0$

   为什么这样做

   判别式的符号决定实根个数，也就决定交点个数 —— 它是配方后被开方的那个量，负数在实数范围内开不了方。

3. 故无实根，抛物线与 $x$ 轴无交点

   为什么这样做

   再配方验证：$y=(x-1{)}^2+2\ge 2>0$，图象整个在 $x$ 轴上方，确实碰不到。

易错与反例

• 算出 $\mathrm{\Delta }<0$ 就答"无解"。问的是交点个数，要答几何结论。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（待定系数法）

抛物线经过 $(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$，求其解析式。

解与结论

$y=x^2-4x+3$

1. $(1,0)$ 与 $(3,0)$ 是与 $x$ 轴的交点，故可设两根式 $y=a(x-1)(x-3)$

   为什么这样做

   给了两个零点就用两根式，比设一般式 $y=a{x}^2+bx+c$ 少解两个未知数。 依据是因式定理：$x_1,x_2$ 是零点则 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$。

2. 代入 $(0,3)$：$3=a(0-1)(0-3)=3a\Rightarrow a=1$

   为什么这样做

   剩下的一个点用来定唯一的未知系数 $a$。三个点定三个自由度，这里已经用掉两个。

3. $y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$

   为什么这样做

   展开成一般式。可代第三点验算：$x=0$ 时 $y=3$ ✓。

易错与反例

• 设一般式并解系数也正确；本题给两个零点，使用两根式可减少未知系数。选定形式后仍要代回三个点核对。

• 忘记系数 $a$，直接写 $y=(x-1)(x-3)$ 而不验证。本题恰好 $a=1$， 但若第一个点是 $(0,6)$ 则 $a=2$，不验证就错了。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	根因	怎么改
配方时忘记提出 $a$	只在 $a=1$ 的题里练过	$y=2x^2+8x$ 要先写成 $2(x^2+4x)$
配方后忘记减掉多加的项	步骤不完整	加了 $9$ 就要减 $9$，等式才不变
$y=a(x+3{)}^2$ 顶点读成 $x=3$	顶点式的形状是 $(x-h)$	$x+3=x-(-3)$，故 $h=-3$
报最值不看开口方向	默认抛物线开口向上	$a$ 的符号决定是最大还是最小
含参时忘记 $a\ne 0$	把参数当成非零	$a=0$ 时它不是二次函数
求最值直接代顶点，不看定义域	以为顶点总能取到	限定区间时顶点可能在区间外，见下

最后一条是最要命的，因为它在初中几乎不会出错（题目通常不限定范围），到高中限定区间后立刻大面积失分。见二次函数含参区间最值。

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衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

求 $y=x^2-6x+5$ 的顶点坐标、对称轴与最小值。 按“顶点横坐标、顶点纵坐标、对称轴的横坐标、最小值”的顺序填写四个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3,-4,3,-4)$

查看逐步解析与易错点

1. 配方：$y=x^2-6x+9-9+5=(x-3{)}^2-4$

   为什么这样做

   配方就是把「$x^2$ 和 $x$ 同时出现」化成一个整体的平方 —— 和解一元二次方程用的是同一个动作， 加的是一次项系数一半的平方。

2. 顶点式 $y=(x-3{)}^2-4$ 直接读出顶点 $(3,-4)$，对称轴 $x=3$

   为什么这样做

   $(x-3{)}^2\ge 0$ 恒成立，当 $x=3$ 时取到 $0$，此时 $y$ 最小。 顶点式的意义就是把最值位置写在脸上。

3. 开口向上（二次项系数 $1>0$），故 $-4$ 是最小值

   为什么这样做

   开口方向决定顶点是最高点还是最低点。

易错与反例

• 配方时忘记减回去：写成 $y=(x-3{)}^2+5$，凭空多了 $9$。 加了多少就要减多少，因为是恒等变形不是解方程。

• 顶点写成 $(-3,-4)$ —— $(x-3{)}^2$ 的顶点横坐标是 $3$ 不是 $-3$。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：二次函数 · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

判断抛物线 $y=x^2-2x+3$ 与 $x$ 轴的交点个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\text{交点个数}=0$

查看逐步解析与易错点

1. 交点横坐标满足 $x^2-2x+3=0$

   为什么这样做

   与 $x$ 轴相交意味着 $y=0$。「图象与 $x$ 轴的交点」和「方程的实根」是同一件事， 只是一个说几何、一个说代数。

2. $\mathrm{\Delta }=(-2{)}^2-4\times 1\times 3=4-12=-8<0$

   为什么这样做

   判别式的符号决定实根个数，也就决定交点个数 —— 它是配方后被开方的那个量，负数在实数范围内开不了方。

3. 故无实根，抛物线与 $x$ 轴无交点

   为什么这样做

   再配方验证：$y=(x-1{)}^2+2\ge 2>0$，图象整个在 $x$ 轴上方，确实碰不到。

易错与反例

• 算出 $\mathrm{\Delta }<0$ 就答"无解"。问的是交点个数，要答几何结论。

$\mathrm{\Delta }<0$ 且开口向上 $\Rightarrow$ 函数值恒正 —— 这正是一元二次不等式中 「恒成立问题」的标准入口。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：二次函数 · 一元二次方程的解法 · 十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

抛物线经过 $(0,3)$、$(1,0)$、$(3,0)$，求其解析式。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$y=x^2-4x+3$

查看逐步解析与易错点

1. $(1,0)$ 与 $(3,0)$ 是与 $x$ 轴的交点，故可设两根式 $y=a(x-1)(x-3)$

   为什么这样做

   给了两个零点就用两根式，比设一般式 $y=a{x}^2+bx+c$ 少解两个未知数。 依据是因式定理：$x_1,x_2$ 是零点则 $y=a(x-x_1)(x-x_2)$。

2. 代入 $(0,3)$：$3=a(0-1)(0-3)=3a\Rightarrow a=1$

   为什么这样做

   剩下的一个点用来定唯一的未知系数 $a$。三个点定三个自由度，这里已经用掉两个。

3. $y=(x-1)(x-3)=x^2-4x+3$

   为什么这样做

   展开成一般式。可代第三点验算：$x=0$ 时 $y=3$ ✓。

易错与反例

• 设一般式并解系数也正确；本题给两个零点，使用两根式可减少未知系数。选定形式后仍要代回三个点核对。

• 忘记系数 $a$，直接写 $y=(x-1)(x-3)$ 而不验证。本题恰好 $a=1$， 但若第一个点是 $(0,6)$ 则 $a=2$，不验证就错了。

因式定理「$x_0$ 是零点 $⟺(x-x_0)$ 是因式」把 因式分解、解方程、 韦达定理串成同一件事。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数 · 二元一次方程组。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

求 $y=-2(x+1{)}^2+8$ 的顶点坐标与最大值，依次填顶点横坐标、纵坐标、最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-1,8,8)$

查看逐步解析与易错点

1. −2(x+1)²≤0，在x=−1时等于0；顶点为(−1,8)，最大值为8。

   为什么这样做

   负的二次项系数使开口向下，顶点给出最大值。

易错与反例

• (x+1)²在x=−1时为0，不是在x=1时。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

把抛物线y=x²向左平移2个单位，再向下平移3个单位，写出新函数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$y=(x+2{)}^2-3$。

查看逐步解析与易错点

1. 原点(0,0)的像是新顶点(−2,−3)，形状不变，所以新函数为(x+2)²−3。也可令原横坐标为新横坐标加2。

   为什么这样做

   水平移动改变函数的输入，竖直移动改变输出；用顶点可检查方向。

易错与反例

• 写成(x−2)²−3会向右移动。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数 · 轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

求 $f(x)=x^2-2x$ 在闭区间[−1,2]上的最小值与最大值，按此顺序作答。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-1,3)$

查看逐步解析与易错点

1. f(x)=(x−1)²−1，顶点x=1在区间内，最小值−1；两端f(−1)=3、f(2)=0，最大值3。

   为什么这样做

   开口向上，区间内顶点给最小值；最大值比较两个端点。

易错与反例

• 只看顶点不能同时确定最大值。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

是否存在二次函数 $y=a{x}^2+bx+c$（a≠0）经过(0,1)、(1,2)、(2,3)？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不存在满足a≠0的二次函数；这三点确定的是y=x+1。

查看逐步解析与易错点

1. 代入得c=1、a+b=1、4a+2b=2。后式减前式的2倍得2a=0，因此a=0，与二次函数条件矛盾。

   为什么这样做

   三个不同横坐标的点可确定次数不超过2的多项式，但二次项系数仍可能为0。

易错与反例

• 不能把“任意三点”直接当作一定能确定二次函数的保证。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数 · 二元一次方程组。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

用20米围栏借一面足够长的墙围长方形，靠墙一边不围。两条垂直墙的边等长为x米。最大面积是多少平方米？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$50$

查看逐步解析与易错点

1. 另一边为20−2x，要求0<x<10。面积S=x(20−2x)=−2(x−5)²+50，在x=5时取得50。

   为什么这样做

   三边总长给约束；顶点x=5在允许范围内，且开口向下。

易错与反例

• 不能把四边周长设为20，也不能忘记边长须为正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数 · 图形的认识与测量（周长、面积、体积）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

求函数 $y=(x-2{)}^2-9$ 的两个零点。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{-1,5\}$

查看逐步解析与易错点

1. 令y=0，得到(x−2)²=9，故x−2=±3，零点为−1与5。

   为什么这样做

   零点是使函数值为0的自变量，两个交点关于x=2对称。

易错与反例

• 零点是横坐标，不能答成顶点(2,−9)。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数 · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

抛物线顶点为(1,−2)，且过(3,6)。写成 $y=a{x}^2+bx+c$，依次求a、b、c。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,-4,0)$

查看逐步解析与易错点

1. 设y=a(x−1)²−2。代(3,6)得6=4a−2，a=2；展开为2x²−4x。

   为什么这样做

   顶点确定平移参数，再用一个其他点确定开口系数。

易错与反例

• 展开后的常数项是2−2=0，不是直接保留顶点纵坐标−2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：二次函数。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 二次函数含参区间最值
• 一元二次不等式

依据

课程依据：初中：函数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。