判别式判断的是一个真正二次方程的实根；用于交点前，先确认消元等价、次数和原范围。
本页目标：等价消元后先查二次系数，再用判别式确定交点条件。按已经学过的内容选择基础或提高题。
本页定位：课程基础。
对非竖直线y=kx+m，代入曲线方程后，若每个允许的x都唯一确定y，且变形没有扩展原范围，那么实根与交点一一对应。竖直线x=t直接代入，再解y。给定某一支、分母限制或经过平方时，须保留这些附加条件。
把消元结果写成Ax²+Bx+C=0。A≠0时，Δ>0、Δ=0、Δ<0分别给两个不同实根、一个不同实根、无实根。A=0且B≠0时是一次方程；A=B=0时直接看C是否为0。若得到恒等式，要复核原对象是否退化或某一步是否丢掉了条件，不能盲报普通圆锥曲线有无穷多个交点。
椭圆x²/a²+y²/b²=1代入y=kx+m，二次系数为1/a²+k²/b²>0，不会降次。双曲线x²/a²−y²/b²=1则得到1/a²−k²/b²，直线与渐近线平行时可能为0。抛物线也依朝向和所消变量而变，不能只凭原曲线名称判断。
对非退化标准圆锥曲线，等价代入后仍为二次且Δ=0时，对应相切。但降次得到一个交点时，不据此判断切线。例如x²/4−y²=1与y=x/2+1只交于(−2,0)，原因是二次项消失。左支在该点上方、下方的两段小弧分处这条直线两侧，并非沿切线接触。
这个反例可直接核对：左支写成x=−2√(1+y²)。代入直线左侧y−x/2−1，得到y+√(1+y²)−1；y>0时为正，y<0时由√(1+y²)<1−y知为负，所以曲线在交点处穿过这条线。无需把“只有一交点”当作切线定义。
先从A=0分出特殊参数，再在A≠0的分支解Δ的不等式，最后合并合法结果并回代。相等根只给一个几何点；若平方产生落在另一支的根，应舍去。后继弦长与中点需要两个不同交点，不能省略这里的条件检查。
共享的判别式、求根公式保留a≠0前提。几何题还需要有效直线、非退化曲线、等价消元和所有原定义域限制。
二次系数a≠0；若用于几何交点，还需等价消元及区分斜率不存在的情况。
配方后被开方部分的符号决定实根：Δ正有两个不同实根，零有重根，负无实根。
可以用在
判断根的个数及相应抛物线与横轴的交点。
要防止
a＝0仍按Δ判断；把形式上Δ>0当成任意消元后都有两交点。
知识讲解：一元二次方程的解法
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
a≠0，且在实数中求根时Δ＝b²−4ac≥0；重根只给一个不同实数值。
原式除以a后配方，得
可以用在
解数字系数及含参二次方程。
要防止
漏掉一个符号；不先检查a＝0或判别式；分母漏a。
知识讲解：一元二次方程的解法
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
直线y=x+m与椭圆x²/4+y²=1有两个不同交点，求m的范围。
解与结论
消元并乘4得5x²+8mx+4m²−4=0，二次系数5不为0。Δ=16(5−m²)>0，故−√5<m<√5。每个根唯一对应直线上的一个点。
只有等价消元、次数保持二次时，才用Δ>0判断两个不同交点。
端点对应重根相切，不能包括。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
双曲线x²/4−y²=1与y=x/2+1联立后，形式上的判别式为正。它们有两个交点吗？求实际交点。
解与结论
只有交点(−2,0)，不能用二次判别式判定。
代入后x²/4−(x/2+1)²=1，二次项消去，得到−x−2=0，故x=−2、y=0。此时A=0，已经是一次方程。
判别式的根数规则只适用于二次系数非零的方程。
一个交点也不能在降次情形下一律解释为相切。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
判断渐近线y=x/2与双曲线x²/4−y²=1有没有实交点。
解与结论
没有。
代入后左边恒为0，要求0=1，不成立。形式上A=B=0，不能把Δ=0当作有重根。
常数方程要直接判断真假，不能继续套二次公式。
渐近并不表示相交，或存在一个实际的无穷远交点。
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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
直线y=x+m与椭圆x²/4+y²=1有两个不同交点，求m的范围。
消元并乘4得5x²+8mx+4m²−4=0，二次系数5不为0。Δ=16(5−m²)>0，故−√5<m<√5。每个根唯一对应直线上的一个点。
只有等价消元、次数保持二次时，才用Δ>0判断两个不同交点。
易错与反例
端点对应重根相切，不能包括。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
双曲线x²/4−y²=1与y=x/2+1联立后，形式上的判别式为正。它们有两个交点吗？求实际交点。
只有交点(−2,0)，不能用二次判别式判定。
代入后x²/4−(x/2+1)²=1，二次项消去，得到−x−2=0，故x=−2、y=0。此时A=0，已经是一次方程。
判别式的根数规则只适用于二次系数非零的方程。
易错与反例
一个交点也不能在降次情形下一律解释为相切。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
判断渐近线y=x/2与双曲线x²/4−y²=1有没有实交点。
没有。
代入后左边恒为0，要求0=1，不成立。形式上A=B=0，不能把Δ=0当作有重根。
常数方程要直接判断真假，不能继续套二次公式。
易错与反例
渐近并不表示相交，或存在一个实际的无穷远交点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
讨论直线y=2x+m与抛物线y=x²的实交点个数。
m>−1时两个；m=−1时一个；m<−1时没有。
消元得x²−2x−m=0，Δ=4(1+m)。二次系数恒为1，所以按Δ正、零、负分类。m=−1时交点为(1,1)。
一个根对应直线上唯一一点，且这里没有额外定义域限制。
易错与反例
相切时虽然按重数有两个相等根，几何点只计一个。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
竖直线x=2与椭圆x²/9+y²/4=1有几个不同交点？
代入得y²=20/9>0，纵坐标有正负两个不同值，因此有两个交点。
竖直线改为解y，不需要斜率。
易错与反例
不能因为没有有限斜率就说不能联立。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
求双曲线x²−y²=1与直线y=x−2的交点坐标。
x²−(x−2)²=1化为4x−5=0，得x=5/4、y=−3/4；代回两式均满足。
消元后是一次方程，故只有一个候选并可直接回代。
易错与反例
不能为了使用韦达而把已经消失的二次项当成非零。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
只取抛物线的上半支y=√x（x≥0），它与直线y=−1有几个实交点？
上半支始终y≥0，与y=−1无交点。平方后会得到x=1，但(1,−1)不满足原根式方程，必须舍去。
消元必须保留原支的范围；平方可能扩大候选点集。
易错与反例
不能把平方后方程的一个实根直接当作原曲线交点。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系 · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。
直线y=kx与双曲线x²/4−y²=1有两个不同交点，求k的范围。
代入为(1/4−k²)x²=1。系数为正时有正负两根；系数为0时0=1，系数为负时左边不可能为正。故−1/2<k<1/2。
这里先按二次系数的符号判断，再检查退化端点。
易错与反例
k=±1/2是渐近线，无交点，不是相切。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
直线y=x+b与椭圆x²/9+y²=1有两个不同交点，求b的范围。
消元乘9得10x²+18bx+9b²−9=0，Δ=36(10−b²)>0，故−√10<b<√10。
二次系数10恒非零，判别式条件与两交点对应。
易错与反例
不要把相切参数±√10包含进来。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
求双曲线x²/9−y²/4=1与直线y=2x/3−1的交点坐标。
代入后化为x/3−5/4=0，得x=15/4、y=3/2，代回成立。
直线方向与渐近线平行，使二次项抵消，须按一次方程处理。
易错与反例
不能用消元前的曲线次数决定消元后一定还是二次。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线中的判别式与位置关系。一道题出错只提供候选线索。
课程依据：高中：圆锥曲线与方程。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。