函数的定义：定义域与对应关系

一句话

把“每个输入唯一确定一个输出”说清楚，还要说明哪些输入可以取。集合语言让定义域、对应法则和函数之间的运算更容易精确表达。

本页是高中课程基础，适合已接触一次、二次或反比例函数的学生。目标是检查定义域、辨认函数并理解换元。

前置知识

• 集合

  需要会：用列举和描述表示集合，求交并补并检查全集

• 函数的概念（变量说）

  需要会：区分输入、输出与对应规则，用表、式、图表示函数

概念与推导

从熟悉的关系到明确的对象

在每个允许的输入 $x$ 下，都有唯一的实数输出 $f(x)$，就得到一个实值函数。可写 $f:A\to B$：$A$ 是定义域，输出都在 $B$ 中；实际取到的输出组成值域 $f(A)$，它不一定等于 $B$。

例如 $f:[-1,2]\to \mathbb{R}$，$f(x)=x^2$。定义域是 $[-1,2]$，值域是 $[0,4]$。$f$ 表示整条规则，$f(2)=4$ 表示一个函数值。

初中“对每个 $x$ 有唯一的 $y$”的表述，并没有要求连续变化，也没有要求必须写成一个解析式。因此常函数、分段函数和数列都不是反驳该表述的例子。高中衔接的重点是把取值范围、对应及函数对象表达得更明确。课程要求的可核对出处见引用中心。

三种表示，核对同一件事

• 列表：输入为 $1,2,3$，输出为 $2,4,6$。定义域只有三个数。
• 解析式：$y=2x$，$x\in \mathbb{R}$。定义域为全体实数，与上面的有限表格不是同一函数。
• 图像：过每个定义域内的横坐标作竖直线，恰有一个交点。没有输出或有两个输出都不满足函数定义。

$x\mapsto x^2$ 可以让不同输入得到同一输出；“唯一”限制的是一个输入的输出个数，不要求不同输入有不同输出。

判定条件

按中学实值函数的常用约定，两个函数相同需要定义域相同，且在该定义域上对应法则相同。单看化简后的式子不够。

分母不能为零，偶次根号内不能为负；题设另给的范围也必须保留。求 $f(x+1)$ 时，自变量真正送进 $f$ 的是 $x+1$，应检查它是否在 $f$ 的定义域中。

典型例题

例 1（表达式相同，定义域不同）

按自然定义域，$f(x)=x$ 与 $g(x)=x^2/x$ 是否为同一函数？说明理由。

解与结论

不是。$f$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$g$ 的定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$。

1. 分式要求 $x\ne 0$，而 $f(0)$ 存在。

   为什么这样做

   同一函数的判定包括定义域。

2. 二者在公共定义域上都取值 $x$，但不能因此忽略0处的差异。

   为什么这样做

   函数不是只由化简后的式子决定。

易错与反例

• 只比较表达式而不比较定义域。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（换元时连同定义域一起换）

对所有x∈[0,2]，有f(x+1)=x²+2x。求题设已经确定部分的f(t)，写出t的范围。

解与结论

$f(t)=t^2-1$，t∈[1,3]；区间外未由题设确定。

1. 令t=x+1，则x=t−1，t∈[1,3]。代入得到(t−1)²+2(t−1)=t²−1。

   为什么这样做

   换元时把实际输入作为新自变量，也把它的可取范围同步变换。

易错与反例

• 不能只改表达式，就擅自把结论推广到全部实数。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（常函数与分段函数）

f(x)=3；g(x)在x≥0时为x、在x<0时为−x，二者均定义在实数集上。它们都是函数吗？关系y²=x（x≥0）本身能否唯一确定y为x的函数？

解与结论

前两个都是函数；y²=x本身不能唯一确定y。

1. 常函数每个输入都只输出3；分段函数两段不重叠且覆盖所有输入，也只有一个输出。关系y²=x在x=1时允许y=1或−1，必须再选定如y≥0这样的分支。

   为什么这样做

   唯一对应限制的是一个输入的输出个数，不要求输出一定变化，也不要求只用一段公式。

易错与反例

• 两个不同输入能有同一输出；反过来，一个输入有两个输出则不符合单值函数定义。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

把值域当成陪域，会把 $x^2$ 的值域错写成 $\mathbb{R}$。把“唯一”理解成不同输入必须有不同输出，会错误排除二次函数。把换元当成只换字母，会漏掉例 2 的范围。

衔接提示：显式定义域与函数对象

变量说并未规定连续变化或必须有解析式。衔接重点是定义域、对应与函数对象的显式表达。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：函数的概念（变量说） · 函数的概念（对应说） · 函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

按自然定义域，$f(x)=x$ 与 $g(x)=x^2/x$ 是否为同一函数？说明理由。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不是。$f$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，$g$ 的定义域为 $\mathbb{R}\setminus \{0\}$。

查看逐步解析与易错点

1. 分式要求 $x\ne 0$，而 $f(0)$ 存在。

   为什么这样做

   同一函数的判定包括定义域。

2. 二者在公共定义域上都取值 $x$，但不能因此忽略0处的差异。

   为什么这样做

   函数不是只由化简后的式子决定。

易错与反例

• 只比较表达式而不比较定义域。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 独立复测

$f(x)=(x^2-4)/(x-2)$ 按自然定义域定义，$g(x)=x+2$ 明确规定 $x\ne 2$。它们是否为同一函数？

我的思路（本页草稿）

查看答案

是。两者定义域均为 $\mathbb{R}\setminus \{2\}$，且在域内对应法则相同。

查看逐步解析与易错点

1. $f$ 排除 $x=2$，$g$ 也按题设排除2。

   为什么这样做

   显式给定的范围与自然定义域都必须读清。

2. 在 $x\ne 2$ 时，$f(x)=(x-2)(x+2)/(x-2)=x+2=g(x)$。

   为什么这样做

   定义域和对应同时一致即可判为同一函数。

易错与反例

• 一见分式约分就答不同；本题已给 $g$ 同样的限制。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

对所有x∈[0,2]，有f(x+1)=x²+2x。求题设已经确定部分的f(t)，写出t的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$f(t)=t^2-1$，t∈[1,3]；区间外未由题设确定。

查看逐步解析与易错点

1. 令t=x+1，则x=t−1，t∈[1,3]。代入得到(t−1)²+2(t−1)=t²−1。

   为什么这样做

   换元时把实际输入作为新自变量，也把它的可取范围同步变换。

易错与反例

• 不能只改表达式，就擅自把结论推广到全部实数。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

f(x)=3；g(x)在x≥0时为x、在x<0时为−x，二者均定义在实数集上。它们都是函数吗？关系y²=x（x≥0）本身能否唯一确定y为x的函数？

我的思路（本页草稿）

查看答案

前两个都是函数；y²=x本身不能唯一确定y。

查看逐步解析与易错点

1. 常函数每个输入都只输出3；分段函数两段不重叠且覆盖所有输入，也只有一个输出。关系y²=x在x=1时允许y=1或−1，必须再选定如y≥0这样的分支。

   为什么这样做

   唯一对应限制的是一个输入的输出个数，不要求输出一定变化，也不要求只用一段公式。

易错与反例

• 两个不同输入能有同一输出；反过来，一个输入有两个输出则不符合单值函数定义。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

求 $f(x)=\sqrt{2-x}/(x+1)$ 的实数定义域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (-1,2]$

查看逐步解析与易错点

1. 根号要求x≤2，分母要求x≠−1，因此解集为(−∞,−1)与(−1,2]。

   为什么这样做

   自然定义域使式子的所有运算同时有意义。

易错与反例

• 2可以取，−1不能取；不能只检查根号。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说） · 二次根式 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

f的定义域为[−2,4]。求表达式f(2x−1)有意义时x的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[-\frac{1}{2},\frac{5}{2}]$

查看逐步解析与易错点

1. 输入2x−1须满足−2≤2x−1≤4，解得−1/2≤x≤5/2。

   为什么这样做

   f接收的输入是整个2x−1，不是式子中单独的x。

易错与反例

• 不能原样抄[−2,4]作为新表达式的自变量范围。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说） · 一元一次不等式（组）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

函数f的定义域为{−2,0,3}，且f(x)=x²。求值域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{0,4,9\}$

查看逐步解析与易错点

1. 逐个输入得到4、0、9，值域为{0,4,9}。

   为什么这样做

   有限定义域只有列明的输入，不能按连续区间取所有中间值。

易错与反例

• 不能把值域写成[0,9]，例如1没有对应的允许输入。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说） · 集合。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

函数f:[−1,1]→实数集，f(x)=x²。下列哪项正确？

• A.

  陪域是[0,1]，值域是实数集

• B.

  陪域是实数集，值域是[0,1]

• C.

  值域是[−1,1]

• D.

  f不是函数，因为f(1)=f(−1)

我的思路（本页草稿）

查看答案

B

查看逐步解析与易错点

1. 符号→后的实数集是给定陪域；实际取到的平方从0到1，值域为[0,1]。

   为什么这样做

   值域是实际输出的集合，可以是陪域的真子集。

易错与反例

• 不同输入可以给出同一个输出，不破坏函数定义。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 提高 · 独立练习

f(x)=x²的定义域为[−1,1]，g(t)=t²的定义域也为[−1,1]。字母不同会使它们成为不同函数吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不会；按题设它们是同一函数。

查看逐步解析与易错点

1. 把同一个允许输入送入两者，都得到它的平方；定义域也一致。x和t只是表示输入的符号。

   为什么这样做

   判定同一函数看定义域与对应，不看自变量字母的名称。

易错与反例

• 改名与改变定义域是不同操作。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

已知f的定义域为[1,5]，并有f(2x+1)=4x²对0≤x≤2成立。写出f(t)与其定义域。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$f(t)=(t-1{)}^2$，t∈[1,5]。

查看逐步解析与易错点

1. 令t=2x+1，则x=(t−1)/2，t∈[1,5]；代入4[(t−1)/2]²=(t−1)²。

   为什么这样做

   输入范围与题给定义域相符，因此这次覆盖了全部已定义输入。

易错与反例

• 不能漏掉x=(t−1)/2中的分母2，也不能把f的定义域写成[0,2]。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：函数的概念（对应说）。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 函数的性质（单调性、奇偶性、最值）
• 任意角与单位圆定义
• 数列的概念（定义在正整数集上的函数）
• 随机变量及其分布

依据

课程依据：高中：函数概念与性质。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。

本页的同一函数判据、定义域检查和例题由定义直接推得。教学衔接建议不意味着原有函数表述在数学上被推翻。