平面向量

一句话

向量记录有方向的位移，几何图形与坐标计算可以描述同一对象。

本页目标：用有向线段与坐标表示向量，计算数量积、长度与夹角。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 平面直角坐标系

  需要会：用有序数对定位，解释象限、轴上点与坐标变化

• 任意角与单位圆定义

  需要会：用单位圆定义任意角正弦余弦，核对锐角相容性及正切定义域

• 轴对称、平移与旋转

  需要会：同时旋转保持长度和距离，证明坐标数量积与夹角关系相容

概念与推导

本页定位：课程基础。

对象、加法与数乘

有向线段只是向量的一个表示；平移后长度和方向相同，仍表示同一个自由向量。零向量模为0，方向不作确定。把位移首尾相接得到加法；同一起点画两向量时，平行四边形对角线给出和。正数倍保持方向，负数倍反向，0倍得到零向量。

同一坐标系中，AB的坐标是B减A。标准基底i=(1,0)、j=(0,1)使(x,y)=xi+yj。更一般地，两条不共线向量a、b可以作平面基底：用平行线分解任意位移得到λa+μb；若两种表示不同，相减得ca+db=0。当d≠0时会使b成为a的倍数，矛盾；d=0时又由a≠0得到c=0，因此表示唯一。

从坐标点积得到夹角关系

定义a·b=x₁x₂+y₁y₂，结果是数。由展开有 $2\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}{|}^2+|\overrightarrow{b}{|}^2-|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^2$。同时旋转保持三个长度，故点积不变。把非零a旋转到x轴正向，b的横分量为|b|cosθ，于是a·b=|a||b|cosθ。这一说明先用坐标与保距建立数量积关系，再在解三角形中推出余弦定理，不互相当作前提。

向量夹角统一取0到π，区别于可以多圈的有向角。点积为0且两向量非零时夹角为直角；点积为正说明夹角小于90°，其中还可能包含同向的0°；点积为负说明大于90°，可包含反向的180°。若要断言严格锐角，还要排除同向。

条件与运算律

坐标展开直接给出交换律与对加法的分配律。数量积得到一个数，不能像普通乘法一样任意交换括号，也不能从a·b=a·c就约去a。平行则检查一个向量是否是另一个的实数倍；用交叉乘积判定可避免对零分量作除法。

可选拓展：夹角余弦为何不超出范围

两模平方的乘积减去点积的平方，等于 $(x_1{y}_2-y_1{x}_2{)}^2\ge 0$。这给出二维Cauchy–Schwarz不等式，也保证非零向量的夹角余弦介于−1与1之间。等号对应线性相关，须包含零向量的单独情况；更多维度的展开见下方共享公式。

公式与条件

所有坐标运算先确认使用同一参考系。零向量可作加法、数乘和坐标点积，但夹角除式要求两个模都非零。

$$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=(x_1+x_2,y_1+y_2),\lambda \overrightarrow{a}=(\lambda x_1,\lambda y_1),|\overrightarrow{a}|=\sqrt{x_1^2+y_1^2}$$

成立条件

a=(x₁,y₁)、b=(x₂,y₂)在同一平面直角坐标系中，两轴单位长度一致；λ为实数，允许零向量。

从哪里来

位移的横、纵分量分别相加或按倍数缩放，得到加法与数乘。模是起点到终点的距离，由勾股定理为√(x₁²+y₁²)；因此|λa|=|λ||a|。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由起终点求位移与长度

• 用分量表示平行四边形加法

要防止

• 模长不是两个分量直接相加

• 负系数改变方向，模长仍非负

知识讲解：平面向量

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=x_1{x}_2+y_1{y}_2,\cos \theta =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$$

成立条件

坐标点积适用于零向量；夹角公式只在a、b均非零时使用，θ取[0,π]。坐标轴垂直且单位长度相同。

从哪里来

展开得2a·b=|a|²+|b|²−|a−b|²。同时旋转两向量保持这三个长度，故保持坐标点积。旋转到a沿x轴正向时，a=(|a|,0)，b的横分量为|b|cosθ，坐标点积便是|a||b|cosθ；再同除正的模长乘积。

适用场景与常见误用

可以用在

• 判断夹角或求角的余弦

• 通过模的平方联系边长和点积

要防止

• 零向量不能代入夹角除式

• a·b是数，不能随意把向量当普通非零数约去

知识讲解：平面向量

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$\overrightarrow{a}\parallel \overrightarrow{b}⟺x_1{y}_2-y_1{x}_2=0,\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{b}⟺x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$$

成立条件

这里a、b均为非零平面向量。零向量的坐标点积仍有定义，但不使用方向夹角来判断。

从哪里来

平行意味着a=λb，从而交叉乘积相等；反之，取b的一个非零分量作除数，交叉等式给出另一分量也有相同比例。垂直等价于夹角为π/2，利用非零模长与cosθ=0即可。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含参平行或垂直条件

• 处理某个分量为0的向量

要防止

• 不能无条件写两个分量的比，因为某个分母可能为0

• 平行用交叉差，垂直用点积，不要互换

知识讲解：平面向量

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$${(\sum a_i{b}_i)}^2\le (\sum a_i^2)(\sum b_i^2)$$

成立条件

同样正整数个数的两组实数；不要求各项为正。

取等条件

b组不全为0时须存在同一实数t使aᵢ＝tbᵢ；b组全为0时也取等。

从哪里来

右边减左边等于 $\sum _{i<j}(a_i{b}_j-a_j{b}_i{)}^2$，非负。展开证明及应用见常用结论。

适用场景与常见误用

可以用在

• 向量夹角的范围；约束下的平方和最值。

要防止

• 只写下界不检查取等；遗漏零向量情形；复数情形直接使用没有共轭的实数公式。

知识讲解：平面向量

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（从位移求和）

向量a=(3,1)，b=(−1,2)，求a+b的坐标。

解与结论

$(2,3)$

1. 分别相加横、纵位移，a+b=(3−1,1+2)=(2,3)。

   为什么这样做

   将第二次位移接在第一次之后，与平行四边形对角线表示相同的总位移。

易错与反例

• 向量相加不是把模长相加后当作新向量。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（点积与直角）

向量a=(1,2)，b=(2,−1)。依次求a·b和夹角的度数。

解与结论

$(0,90)$

1. 点积为1×2+2×(−1)=0；两向量模均为√5，均非零，所以cosθ=0，θ=90°。

   为什么这样做

   坐标点积与几何点积相容；夹角统一取0°到180°。

易错与反例

• 点积为0后仍需确认两向量非零，才可使用夹角公式。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（平行和垂直是不同条件）

a=(2,k)，b=(1,3)。依次求使它们平行、垂直时k的值。

解与结论

$(6,-\frac{2}{3})$

1. 平行要求2×3−k×1=0，k=6；垂直要求2×1+3k=0，k=−2/3。两向量始终非零。

   为什么这样做

   平行比较成比例的分量，垂直比较点积；两种判定不同。

易错与反例

• 不能把行列式为0当作点积为0。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 向量的起点可平移，坐标分量表示位移；点的坐标表示位置。
• a·b>0不排除0°；需要严格锐角时继续核对方向。
• 非零向量点积不能像非零实数乘法那样直接约消。

衔接提示

衔接提示：向量的几何与坐标表示

有向线段和坐标是同一对象的两种表示；数量积可联系长度、夹角和余弦定理。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：平面向量 · 空间向量与立体几何 · 解三角形（正弦定理、余弦定理）。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

向量a=(3,1)，b=(−1,2)，求a+b的坐标。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,3)$

查看逐步解析与易错点

1. 分别相加横、纵位移，a+b=(3−1,1+2)=(2,3)。

   为什么这样做

   将第二次位移接在第一次之后，与平行四边形对角线表示相同的总位移。

易错与反例

• 向量相加不是把模长相加后当作新向量。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

向量a=(1,2)，b=(2,−1)。依次求a·b和夹角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(0,90)$

查看逐步解析与易错点

1. 点积为1×2+2×(−1)=0；两向量模均为√5，均非零，所以cosθ=0，θ=90°。

   为什么这样做

   坐标点积与几何点积相容；夹角统一取0°到180°。

易错与反例

• 点积为0后仍需确认两向量非零，才可使用夹角公式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

a=(2,k)，b=(1,3)。依次求使它们平行、垂直时k的值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(6,-\frac{2}{3})$

查看逐步解析与易错点

1. 平行要求2×3−k×1=0，k=6；垂直要求2×1+3k=0，k=−2/3。两向量始终非零。

   为什么这样做

   平行比较成比例的分量，垂直比较点积；两种判定不同。

易错与反例

• 不能把行列式为0当作点积为0。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

点A(1,−2)、B(−3,4)，求向量AB的坐标。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-4,6)$

查看逐步解析与易错点

1. AB=B−A=(−3−1,4−(−2))=(−4,6)。

   为什么这样做

   坐标差表示从起点到终点的位移，方向决定相减顺序。

易错与反例

• 反过来相减得到的是BA，不是AB。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

向量a=(3,4)，求向量−2a的模。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10$

查看逐步解析与易错点

1. |a|=√(3²+4²)=5，|−2a|=|−2||a|=10。

   为什么这样做

   负数倍改变方向，模长乘系数的绝对值。

易错与反例

• 模不能为负，不能写成−10。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

非零向量a、b满足a·b=|a||b|。它们的方向关系是哪项？

• A.

  同向

• B.

  反向

• C.

  垂直

• D.

  任意方向均可

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 除以正的模长乘积得cosθ=1，夹角θ=0，故同向。

   为什么这样做

   这里点积没有取绝对值；等于正的模长乘积只对应同向。

易错与反例

• 若写|a·b|=|a||b|，反向也可能取等；不要混淆两个条件。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

a=(0,0)，b=(1,1)。a·b=0能推出夹角为90°吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，零向量没有确定方向，本页不定义它与其他向量的夹角。

查看逐步解析与易错点

1. 点积按坐标计算确为0，但夹角公式的分母|a||b|也为0，不能相除。

   为什么这样做

   坐标点积允许零向量，夹角计算只适用于两个非零向量。

易错与反例

• 不能把0/0当成0，再反推角为90°。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

a、b不共线，且(m+1)a+2b=3a+(n−1)b。依次求m、n。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,3)$

查看逐步解析与易错点

1. 不共线基底的系数唯一，故m+1=3、2=n−1，解得m=2、n=3。

   为什么这样做

   若两组系数不同，相减就会把一个基底表示成另一个的倍数，与不共线矛盾。

易错与反例

• 若去掉不共线条件，不能直接逐个比较系数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

a=(1,0)，b=(1,1)。依次求a·b和夹角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1,45)$

查看逐步解析与易错点

1. a·b=1，|a|=1、|b|=√2，cosθ=1/√2。因0°≤θ≤180°，得θ=45°。

   为什么这样做

   先求模和点积，再在向量夹角的约定范围内确定角。

易错与反例

• 不能把任意角的整圈差当作向量夹角的多种答案。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

a≠0且a·b=a·c，是否必有b=c？给出反例。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不一定。例如a=(1,0)，b=(0,1)，c=(0,2)。

查看逐步解析与易错点

1. 两个点积都为0，但b与c不同。点积只保留某一方向上的投影信息，一条数量等式不足以恢复整个向量。

   为什么这样做

   向量点积不能按普通数的非零乘法随意约掉a。

易错与反例

• a非零也不能保证从一个点积恢复b的两个分量。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 基础 · 独立练习

非零向量a=(1,1)、b=(1,−1)，依次求a·b和夹角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(0,90)$

查看逐步解析与易错点

1. a·b=1−1=0，两个向量都非零，夹角余弦为0，所以夹角90°。

   为什么这样做

   零数量积判垂直还须排除零向量；角度在0°到180°之间。

易错与反例

• 不能省略两个向量非零的检查。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：平面向量。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 解三角形（正弦定理、余弦定理）
• 空间向量与立体几何

依据

课程依据：高中：平面向量及其应用、复数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。