圆锥曲线的方程从距离定义推出；条件决定形状，平方后的式子还要反向检查。
本页目标：从距离定义推导椭圆、双曲线和抛物线方程并检验增解。按已经学过的内容选择基础或提高题。
可选补充： 反比例函数。这些建议不作为开始学习的硬性门槛。
本页定位：课程基础。
取两个不同焦点F₁(−c,0)、F₂(c,0)，要求距离和PF₁+PF₂=2a，且a>c>0。三角不等式说明距离和不能小于2c；等于2c时只有焦点间线段。设b²=a²−c²>0，才能得到非退化椭圆。
令两距离为d₁、d₂，平方差d₁²−d₂²=4cx。与距离和联立，得到d₁=a+cx/a、d₂=a−cx/a。把后一式平方后整理为x²/a²+y²/b²=1。反过来，标准式给|x|≤a，所以两个距离表达式都至少为a−c>0，开方不会选错符号，这就完成了等价性检查。
a、b是半轴长，长轴长2a、短轴长2b、焦距2c。椭圆按较大分母确定长轴；若长轴沿y轴，就交换x、y的位置。离心率e=c/a在0与1之间，焦点重合时得到圆的特例。
要求|PF₁−PF₂|=2a，且c>a>0，取b²=c²−a²。右支上距离差为2a，结合平方差得到距离和2cx/a，继而d₁=cx/a+a、d₂=cx/a−a；平方整理得x²/a²−y²/b²=1。标准式右支x≥a，保证cx/a−a≥c−a>0，可反向还原距离，左支对称。
双曲线的实轴由正的平方项决定，不能照搬椭圆的“较大分母”规则。c²=a²+b²，离心率大于1。渐近线为y=±(b/a)x；右上分支与直线的竖向差等于ab/(x+√(x²−a²))，随x增大趋于0。渐近线不是曲线的一条组成部分。
焦点F(p/2,0)、准线x=−p/2，p>0。写两个距离相等，平方并化简得到y²=2px。反向先由方程得到x≥0，再还原非负距离。p是焦点与准线的间距，不是顶点到焦点的距离。
向左、向上、向下的标准式可分别反射或交换坐标得到。若给的曲线只是某一支，例如y=√x，还需保留y≥0；把它平方成x=y²后不能自动加入另一支。
本页均讨论非退化实圆锥曲线。椭圆a>c>0，双曲线c>a>0，抛物线p>0；轴的方向、半长与全长、距离的非负条件都在定义中。
本式中心在原点，长轴沿x轴，a>b>0、c=√(a²−b²)>0。焦点(±c,0)，距离和为2a，焦距为2c；0<e<1。长轴沿y轴时交换坐标。焦点重合的圆另作特例。
设到两焦点距离为d₁、d₂。d₁+d₂=2a且d₁²−d₂²=4cx，得到d₁=a+cx/a、d₂=a−cx/a。平方并消去交叉项得到标准式。反向由标准式知|x|≤a，所以a±cx/a≥a−c>0，开方能恢复两距离及其和，未引入增点。
可以用在
由轴长与焦距建立方程
求焦点及离心率
要防止
a、b不是分母本身
距离和等于焦距会退化为线段
不能忽略平方后的反向范围检查
知识讲解：圆锥曲线的方程
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
a、b>0，焦点(±c,0)，到两焦点的距离差绝对值为2a，c>a，e>1。本式实轴沿x轴；最后两个直线式为渐近线。正项在y²时交换坐标。
右支上d₁−d₂=2a，平方差又为4cx，得d₁+d₂=2cx/a，因此d₁=cx/a+a、d₂=cx/a−a。平方后得标准式；反向右支x≥a保证两个距离表达式为正，左支由对称得到。渐近线可由y=(b/a)√(x²−a²)与(b/a)x之差ab/(x+√(x²−a²))趋于0说明，其他分支同理。
可以用在
确定实轴、焦点与渐近线
识别直线与渐近线平行导致的消元降次
要防止
不能用分母较大者确定实轴
渐近线一般不是曲线上的点集
c²是a²+b²，不是平方差
知识讲解：圆锥曲线的方程
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
p>0，顶点在原点，开口向右，焦点不在准线上。p为焦点到准线的距离。其他方向由坐标交换或反射得到。
等距条件为√((x−p/2)²+y²)=|x+p/2|，两边非负，平方化简为y²=2px。反向该式给x≥0，使右侧距离可正常还原，所以没有增点。p=0时焦点落在准线上，不是本式的非退化抛物线。
可以用在
由焦点、准线写方程
根据开口方向确定符号和参数
要防止
把2p当成顶点到焦点的距离
到准线的距离不是到准线某个固定点的距离
平方后仍须检查原距离条件
知识讲解：圆锥曲线的方程
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
求椭圆x²/25+y²/9=1的两焦点坐标和离心率。
解与结论
焦点为(−4,0)、(4,0)，离心率4/5。
长半轴a=5、短半轴b=3，c²=a²−b²=16，所以c=4；焦点在长轴即x轴上，e=c/a=4/5。
椭圆的两个半轴与半焦距满足平方差关系，分母给的是半轴平方。
不能把25当长半轴，也不能把c²写成25+9。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
求双曲线x²/9−y²/16=1的焦点和渐近线。
解与结论
焦点(−5,0)、(5,0)；渐近线y=±4x/3。
a=3、b=4，c²=a²+b²=25，故c=5。正的平方项是x²项，所以实轴、焦点在x轴；渐近线斜率为±b/a。
双曲线用平方和确定c，实轴由正项决定，不按两个分母的大小决定。
把较大的16当作实轴依据，会把焦点方向放错。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
点P到F(1,0)与直线x=−1的距离相等，求轨迹方程并检查平方是否增添点。
解与结论
轨迹为y²=4x。
距离等式为√((x−1)²+y²)=|x+1|，两边非负，平方得到y²=4x。反过来该式给x≥0，故x+1>0，开方可还原原距离等式，没有增添点。
把根式式子平方后还要核对原来的范围与符号，才能说方程等价。
到直线的距离是垂距|x+1|，不是到固定点(−1,0)的距离。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
求椭圆x²/25+y²/9=1的两焦点坐标和离心率。
焦点为(−4,0)、(4,0)，离心率4/5。
长半轴a=5、短半轴b=3，c²=a²−b²=16，所以c=4；焦点在长轴即x轴上，e=c/a=4/5。
椭圆的两个半轴与半焦距满足平方差关系，分母给的是半轴平方。
易错与反例
不能把25当长半轴，也不能把c²写成25+9。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求双曲线x²/9−y²/16=1的焦点和渐近线。
焦点(−5,0)、(5,0)；渐近线y=±4x/3。
a=3、b=4，c²=a²+b²=25，故c=5。正的平方项是x²项，所以实轴、焦点在x轴；渐近线斜率为±b/a。
双曲线用平方和确定c，实轴由正项决定，不按两个分母的大小决定。
易错与反例
把较大的16当作实轴依据，会把焦点方向放错。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
点P到F(1,0)与直线x=−1的距离相等，求轨迹方程并检查平方是否增添点。
轨迹为y²=4x。
距离等式为√((x−1)²+y²)=|x+1|，两边非负，平方得到y²=4x。反过来该式给x≥0，故x+1>0，开方可还原原距离等式，没有增添点。
把根式式子平方后还要核对原来的范围与符号，才能说方程等价。
易错与反例
到直线的距离是垂距|x+1|，不是到固定点(−1,0)的距离。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
椭圆y²/16+x²/7=1的焦点是哪一组？
(±3,0)
(0,±3)
(0,±√23)
(±√23,0)
B
长半轴平方16在y²项下，c²=16−7=9，所以焦点在y轴，为(0,±3)。
先确定长轴方向，再求半焦距。
易错与反例
式子书写先后不决定焦点方向。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
双曲线y²/4−x²/5=1的焦距是多少？
a²=4、b²=5，c²=9，c=3；两焦点间距离2c=6，焦点在y轴。
正的y²项决定实轴，焦距是半焦距的2倍。
易错与反例
不能把3当作焦距，也不能用5−4计算c²。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求抛物线x²=−8y的焦点与准线。
焦点(0,−2)，准线y=2。
写成x²=−2py，得到p=4，开口向下；焦点在负y轴，距顶点p/2=2，准线在另一侧。
交换横纵坐标并反向，可把向右标准式变成向下形式。
易错与反例
系数8不是焦点到顶点的距离，必须按2p与p/2两步区分。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
中心在原点、焦点在x轴的椭圆，长轴长10、焦距6，求标准方程。
x²/25+y²/16=1。
a=10/2=5，c=6/2=3，b²=a²−c²=16；焦点在x轴，所以a²置于x²项下。
给的是全轴长与全焦距，要先换成半轴、半焦距。
易错与反例
不能把10和6直接代作a、c。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
F₁(−2,0)、F₂(2,0)。到两焦点距离之和为3的点存在吗？若距离和改为4，轨迹又是什么？
距离和3时没有点；距离和4时是闭线段F₁F₂，不是非退化椭圆。
三角不等式给PF₁+PF₂≥F₁F₂=4；等号恰在P位于两焦点之间的线段上成立，包含端点。
椭圆要求距离和严格大于焦距，等号是退化边界。
易错与反例
不能把任何正的距离和都代入椭圆标准式，也不能遗漏线段端点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求椭圆x²/36+y²/20=1的焦点与离心率。
焦点(−4,0)、(4,0)，离心率2/3。
a=6，c²=36−20=16，c=4；e=4/6=2/3。
先检查两个分母均正，再按椭圆平方差和长轴方向计算。
易错与反例
离心率用c/a，而不是c/b。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
求抛物线y²=12x的焦点与准线。
焦点(3,0)，准线x=−3。
与y²=2px比较得p=6，因此焦点横坐标p/2=3，准线在顶点另一侧。
参数p是焦点到准线的距离，顶点到任一侧是p/2。
易错与反例
不要把12或6直接当作焦点横坐标。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：圆锥曲线的方程。一道题出错只提供候选线索。
课程依据：高中：圆锥曲线与方程。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。