解三角形（正弦定理、余弦定理）

一句话

把每条边配到它的对角，先检查图形存在，再根据已知条件选择正弦或余弦定理。

本页目标：在边角条件齐全时用正余弦定理，辨认SSA的两解情形。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 平面向量

  需要会：用有向线段与坐标表示向量，计算数量积、长度与夹角

• 相似三角形

  需要会：用比例与对应角证明相似，处理长度比、面积比和相似应用

• 圆

  需要会：正弦定理的2R形式利用圆周角与直径所对的直角

可选补充： 三角恒等变换。这些建议不作为开始学习的硬性门槛。

概念与推导

本页定位：课程基础。

本页统一记a=BC、b=CA、c=AB，分别对应角A、B、C。非退化三角形各边为正、角和为π，任意两边之和严格大于第三边。用三边反求角之前，先核对这些数据是否能形成三角形。

从向量推出余弦定理

AB与AC的模为c、b，夹角为A；BC=AC−AB。展开模的平方得 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$。当A=90°时余弦为0，式子成为勾股关系；锐角与钝角分别使第三项减少或增加平方和。这里先在向量页证明点积与夹角的关系，避免循环借用余弦定理。

正弦定理与面积

从一个顶点向对边所在直线作高，利用锐角或补角的正弦表示同一条高，可以得到两组边与对角正弦的比相等。借外接圆直径和圆周角，可进一步说明这个共同比值为2R，证明与直径退化情况见公式卡。面积S=bc sinA/2由底乘对应高得到，钝角时高落在边的延长线上仍成立。

两边和非夹角要筛选候选

如果给A及其对边a、另一边b，先算r=b sinA/a。r>1时无解；r=1时B只能为90°，仍要检查A+B<180°。0<r<1时，B可有一个锐角候选B₀和它的补角180°−B₀，只保留与A之和小于180°的候选。剩余角与边再由角和、正弦定理求出。

图中与例3使用同一组数据：已知30°角的对边为3、另一已知边为5，高为2.5，圆与射线相交两次。不是所有SSA数据都有两解；高于可达正弦范围或角和不满足时，应舍去候选。

选方法与核对情境

两边及夹角优先直接用余弦定理；两角及一边可用正弦定理；三边先验三角形条件再求角。测量问题还要说明点位在同一平面、距离单位与哪一个角是夹角。不同有效方法可以互相验算，不把解法较长当作错误。

公式与条件

三个公式都用于非退化三角形，边角一一对应。正弦反求角不是单值步骤，需结合角和与几何位置筛选；面积中的角必须是两条所乘边的夹角。

$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$

成立条件

非退化三角形，a、b、c分别是A、B、C的对边，a、b、c>0，角A在(0,π)。已知b、c时A是它们的夹角。

从哪里来

取向量AB与AC，模分别为c、b，夹角为A。BC=AC−AB，坐标展开得到|BC|²=|AC|²+|AB|²−2AB·AC，再用已建立的数量积夹角关系得到公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 两边及夹角求第三边

• 三边反求角并检查几何可行性

要防止

• 非夹角不能直接放在两个已知边的乘积旁

• 三条任意正数未必构成三角形

知识讲解：解三角形（正弦定理、余弦定理）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$

成立条件

非退化三角形，三边与各自对角对应；内角在(0,π)，正弦均为正。R为外接圆半径。

从哪里来

对边a=BC，取外接圆直径BD。若BC不是直径，直角三角形BCD给a=2Rsin∠BDC；圆周角性质使∠BDC与A相等或互补，正弦均相同。若BC是直径，则A=90°且a=2R，仍成立。对另两条边同理。

适用场景与常见误用

可以用在

• 两角和一边求其他边

• 判断SSA是否有解及是否有两解

要防止

• 不能错配边与对角

• 由正弦值反求角要保留互补候选，再检查三角形角和

知识讲解：解三角形（正弦定理、余弦定理）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}ca\sin B=\frac{1}{2}ab\sin C$$

成立条件

非退化三角形，使用两边及它们的夹角，边长为正。S表示普通非负面积。

从哪里来

以AB=c为底，C到直线AB的距离为b sinA。A为钝角时，垂足落在延长线上，但sin(π−A)=sinA，距离公式仍成立；直角情形也直接成立。因此S=ch/2=bc sinA/2，轮换顶点得到其余形式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由两边及夹角求面积

• 与正弦定理连接面积和外接圆

要防止

• 不能用一条斜边代替对应高

• 角不是所乘两边的夹角时不能直接代入

知识讲解：解三角形（正弦定理、余弦定理）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（两边及夹角）

三角形ABC中，b=5、c=7、A=60°，其中a、b、c分别为A、B、C的对边。求a。

解与结论

$\sqrt{39}$

1. a²=b²+c²−2bc cosA=25+49−70×1/2=39，所以a=√39。

   为什么这样做

   已知角A是边b、c的夹角，余弦定理直接求它的对边；边长取正平方根。

易错与反例

• 不能把非夹角条件当成两边及夹角，也不能漏掉2bc。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（两角与边角配对）

三角形ABC中，A=30°、B=45°、a=4，求b。

解与结论

$4\sqrt{2}$

1. 第三角C=105°，构成非退化三角形。由b/sin45°=4/sin30°，得b=4√2。

   为什么这样做

   正弦定理必须把每条边配到自己的对角。

易错与反例

• 不能把a配给B，再把b配给A。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（SSA的两个候选）

三角形ABC中，AB=5、AC=3、∠B=30°。求BC的全部可能长度。

解与结论

$\{2.5\sqrt{3}-0.5\sqrt{11},2.5\sqrt{3}+0.5\sqrt{11}\}$

1. 令BC=x，用∠B的余弦定理得9=25+x²−5√3x，即x²−5√3x+16=0。两根为(5√3−√11)/2与(5√3+√11)/2，均在2与8之间，所以都满足三角形不等式并给定30°角。

   为什么这样做

   两边和一个非夹角可能形成两个三角形，不能只保留二次方程的一个根。

易错与反例

• 得到两个代数根后仍要检查正长度、三角形条件与给定角。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 平方根取正的边长，且代数根还须满足三角形条件。
• 已知一个正弦值，不能一律只取锐角。
• 角和等于180°时第三角为0，不是合法的非退化三角形。

衔接提示

衔接提示：向量的几何与坐标表示

有向线段和坐标是同一对象的两种表示；数量积可联系长度、夹角和余弦定理。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：平面向量 · 空间向量与立体几何 · 解三角形（正弦定理、余弦定理）。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

三角形ABC中，b=5、c=7、A=60°，其中a、b、c分别为A、B、C的对边。求a。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sqrt{39}$

查看逐步解析与易错点

1. a²=b²+c²−2bc cosA=25+49−70×1/2=39，所以a=√39。

   为什么这样做

   已知角A是边b、c的夹角，余弦定理直接求它的对边；边长取正平方根。

易错与反例

• 不能把非夹角条件当成两边及夹角，也不能漏掉2bc。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

三角形ABC中，A=30°、B=45°、a=4，求b。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 第三角C=105°，构成非退化三角形。由b/sin45°=4/sin30°，得b=4√2。

   为什么这样做

   正弦定理必须把每条边配到自己的对角。

易错与反例

• 不能把a配给B，再把b配给A。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

三角形ABC中，AB=5、AC=3、∠B=30°。求BC的全部可能长度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{2.5\sqrt{3}-0.5\sqrt{11},2.5\sqrt{3}+0.5\sqrt{11}\}$

查看逐步解析与易错点

1. 令BC=x，用∠B的余弦定理得9=25+x²−5√3x，即x²−5√3x+16=0。两根为(5√3−√11)/2与(5√3+√11)/2，均在2与8之间，所以都满足三角形不等式并给定30°角。

   为什么这样做

   两边和一个非夹角可能形成两个三角形，不能只保留二次方程的一个根。

易错与反例

• 得到两个代数根后仍要检查正长度、三角形条件与给定角。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理） · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

一个三角形的三边长为5、12、13，求最大角的度数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$90$

查看逐步解析与易错点

1. 最大角对最长边13。cosC=(5²+12²−13²)/(2×5×12)=0，所以C=90°。

   为什么这样做

   边角大小对应，且三角形内角在0°到180°之间。

易错与反例

• 先确定所求角的对边，不要把13放错到夹角两边的位置。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

边长为2、3、6的三个数能用于解一个非退化三角形吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，它们不能组成三角形。

查看逐步解析与易错点

1. 2+3<6，违反三角形不等式；若强算最长边对角的余弦，会得到(4+9−36)/(2×2×3)=−23/12，超出余弦范围。

   为什么这样做

   先检查给定数据是否形成三角形，公式不会替无效的几何条件创造图形。

易错与反例

• 不能对小于−1的数继续求实数角作为答案。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

三角形两边长6、8，它们的夹角为30°，求面积。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$12$

查看逐步解析与易错点

1. 面积S=1/2×6×8×sin30°=12。

   为什么这样做

   以一边作底，另一边乘夹角正弦给对应的高。

易错与反例

• 这里必须是这两条边之间的夹角，不能任取一个角代入。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

平面三角测量中，观测点A、B相距20米，目标C使∠CAB=∠CBA=45°。求AC（米）。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. ∠C=90°，由正弦定理AC/sin45°=20/sin90°，得到AC=10√2米。

   为什么这样做

   基线AB对应角C；求AC时对应角B，先确认边角配对。

易错与反例

• 20米是斜边基线，不是与AC等长的另一条直角边。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

三角形外接圆半径为10，角A=30°，求A的对边a。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10$

查看逐步解析与易错点

1. 由a=2RsinA，得到a=20×1/2=10。

   为什么这样做

   扩展正弦定理中的R是外接圆半径，2R是直径。

易错与反例

• 不能把半径10直接当作公式中的2R。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理） · 圆。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

三角形中两边长4、6，夹角60°，求第三边长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2\sqrt{7}$

查看逐步解析与易错点

1. 第三边平方为4²+6²−2×4×6×cos60°=28，边长为2√7。

   为什么这样做

   夹角条件给出唯一的非退化三角形，用余弦定理后取正长度。

易错与反例

• 不能误用勾股定理把夹角当作90°。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

三角形中已知A=30°、A的对边a=2、另一边b=5，这样的三角形存在吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不存在。

查看逐步解析与易错点

1. 正弦定理要求sinB=b sinA/a=5×(1/2)/2=5/4>1，不可能。

   为什么这样做

   SSA条件可能无解、唯一解或两解，须先检查正弦范围及角和。

易错与反例

• 不能一看到“两边和非夹角”就固定答两个三角形。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：解三角形（正弦定理、余弦定理）。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。

依据

课程依据：高中：平面向量及其应用、复数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。