锐角三角函数

一句话

锐角三角函数用直角三角形中的边比描述角；先认目标角，再认对边、邻边和斜边。

本页目标：借相似说明锐角边比不变，解直角三角形并检查边的对应。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 相似三角形

  需要会：用比例与对应角证明相似，处理长度比、面积比和相似应用

• 二次根式

  需要会：使用非负平方根、绝对值与有理化，检查定义域

• 勾股定理与逆定理

  需要会：由两边求第三边并推导锐角正弦余弦的平方关系。

概念与推导

本页定位：课程基础。

在非退化直角三角形中，先选一个锐角A。A对面的直角边叫对边，挨着A的直角边叫邻边，直角对面的最长边叫斜边。正弦是对边/斜边，余弦是邻边/斜边，正切是对边/邻边。

为什么这些比只由角决定？任取另一个具有相同锐角的直角三角形，它也有一个直角，所以AA相似，全部对应边同倍缩放，比值不变。这是把边比定义成角的函数的依据。

将勾股关系除以斜边平方，得到正弦平方加余弦平方为1。因为当前角是锐角，正弦、余弦都正，反求时选正平方根。另一个锐角是90°−A，交换角的角色使对边、邻边互换。

30°、45°、60°值可以从等边三角形作高和等腰直角三角形得到，不必把表当作无来由的数字。用特殊角值还可检验诸如sin(2A)=2sinA这样的错误等式。

解实际问题先说明垂直和平行条件，把已知长度与边对应。仰角是视线与眼睛处水平线的夹角，高度差最后还要加观察点离地高度。坡比一般用竖直高度比水平长度，对应正切。

本页只讨论0°<A<90°。高中用任意角与单位圆定义将正弦余弦扩展到任意角，并保持与本页锐角边比相容；不能据本页范围断言一般三角形没有直角或钝角。

公式与条件

角的单位、目标角、边的位置和分母非零都应先确定。

$$\sin A=\frac{a}{c},\cos A=\frac{b}{c},\tan A=\frac{a}{b}$$

成立条件

非退化直角三角形中，0°<A<90°；a为A的对边，b为A的邻边，c为斜边，三边均正。

从哪里来

具有同一锐角的直角三角形由AA相似，三组对应边同步缩放，因此上述边比仅由角A决定，可以作为角的函数定义。

适用场景与常见误用

可以用在

• 解直角三角形

• 高度、坡度、仰角与俯角模型

要防止

• 对边与邻边取决于所选锐角；斜边由直角决定。

• 锐角定义不直接覆盖0°、90°与钝角。

知识讲解：锐角三角函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

$${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1,\tan A=\frac{\sin A}{\cos A},\sin ({90}^{\circ }-A)=\cos A$$

成立条件

本页0°<A<90°，正弦、余弦为正；正切的分母不能为0。

从哪里来

将勾股定理a²+b²=c²除以c²得到平方关系；边比相除得到正切。两个锐角互余，交换目标角时对边邻边互换，从而得到余角关系。

适用场景与常见误用

可以用在

• 由一个三角函数值求其他值

• 核对边比与角的对应

要防止

• 从平方关系开方时要按角的范围选符号。

• sin(2A)一般不等于2sinA。

知识讲解：锐角三角函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

$$\begin{array}{cccc}A& {30}^{\circ }& {45}^{\circ }& {60}^{\circ }\\ \sin A& \frac{1}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{\sqrt{3}}{2}\\ \cos A& \frac{\sqrt{3}}{2}& \frac{\sqrt{2}}{2}& \frac{1}{2}\\ \tan A& \frac{\sqrt{3}}{3}& 1& \sqrt{3}\end{array}$$

成立条件

角度采用度数制；这里只列30°、45°、60°三个锐角。

从哪里来

等腰直角三角形取直角边1、1，斜边为 $\sqrt{2}$，得到45°各值。边长2的等边三角形作高，分出斜边2、短直角边1、长直角边 $\sqrt{3}$ 的直角三角形，得到30°和60°各值。

适用场景与常见误用

可以用在

• 特殊角的精确计算

• 由标准三角形理解三角函数的取值

要防止

• 注意30°与60°的正弦、余弦互换。

• 不能用角度数字本身代替函数值。

知识讲解：锐角三角函数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（固定角以后认边）

Rt△ABC中∠C=90°，AB=13、AC=12、BC=5。依次求sinA、cosA、tanA。

解与结论

$(\frac{5}{13},\frac{12}{13},\frac{5}{12})$

1. 以A为目标角，BC是对边5、AC是邻边12、AB是斜边13，因此依次为5/13、12/13、5/12。

   为什么这样做

   先固定目标角；换到另一个锐角时，对边与邻边会互换。

易错与反例

• 斜边由直角确定，不随所选锐角改变。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（梯子高度）

长10米的梯子与水平地面成30°角，梯顶靠在竖直墙上。求梯顶离地高度。

解与结论

$5$

1. 高度是30°的对边，梯长为斜边，所以h=10sin30°=5米。

   为什么这样做

   墙与地面垂直，模型满足直角三角形；要根据给定角选择边比。

易错与反例

• 不要误把高度当作30°的邻边。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（函数值不是角的线性倍数）

有人说“sin(2A)=2sinA”。只用30°、60°的锐角值反驳。

解与结论

这不是恒等式。

1. 取A=30°，左边为 $\sin {60}^{\circ }=\sqrt{3}/2$，右边为 $2\sin {30}^{\circ }=1$，二者不同。

   为什么这样做

   三角函数不是角度的线性倍数关系；同一反例的A和2A都仍在锐角范围内。

易错与反例

• 不能将函数记号误当作与角度相乘。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 斜边不随目标锐角改变，对边与邻边会互换。
• sin²A表示(sinA)²，不是sin(A²)。
• 本页锐角正弦余弦都在0与1之间；tanA可以大于1，但90°处不能除以0。

衔接提示

衔接提示：从锐角边比到任意角

单位圆定义扩展正弦余弦的自变量范围，在锐角范围内与边比一致；正切仍有除零限制。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：锐角三角函数 · 任意角与单位圆定义。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

Rt△ABC中∠C=90°，AB=13、AC=12、BC=5。依次求sinA、cosA、tanA。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(\frac{5}{13},\frac{12}{13},\frac{5}{12})$

查看逐步解析与易错点

1. 以A为目标角，BC是对边5、AC是邻边12、AB是斜边13，因此依次为5/13、12/13、5/12。

   为什么这样做

   先固定目标角；换到另一个锐角时，对边与邻边会互换。

易错与反例

• 斜边由直角确定，不随所选锐角改变。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

长10米的梯子与水平地面成30°角，梯顶靠在竖直墙上。求梯顶离地高度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5$

查看逐步解析与易错点

1. 高度是30°的对边，梯长为斜边，所以h=10sin30°=5米。

   为什么这样做

   墙与地面垂直，模型满足直角三角形；要根据给定角选择边比。

易错与反例

• 不要误把高度当作30°的邻边。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

有人说“sin(2A)=2sinA”。只用30°、60°的锐角值反驳。

我的思路（本页草稿）

查看答案

这不是恒等式。

查看逐步解析与易错点

1. 取A=30°，左边为 $\sin {60}^{\circ }=\sqrt{3}/2$，右边为 $2\sin {30}^{\circ }=1$，二者不同。

   为什么这样做

   三角函数不是角度的线性倍数关系；同一反例的A和2A都仍在锐角范围内。

易错与反例

• 不能将函数记号误当作与角度相乘。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

求tan45°。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$1$

查看逐步解析与易错点

1. 等腰直角三角形两条直角边相等，所以对边/邻边=1。

   为什么这样做

   特殊角值可由具体三角形推出，不必只背表格。

易错与反例

• tan45°不是角度45本身。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

一个直角三角形的斜边长10，锐角A的正弦为3/5。依次求A的对边与邻边长度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(6,8)$

查看逐步解析与易错点

1. 对边=10×3/5=6；邻边平方=10²−6²=64，边长为8。

   为什么这样做

   正弦先确定对边，勾股定理再确定另一条直角边；长度取正。

易错与反例

• 不能把邻边也乘以3/5，两个边比含义不同。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

为什么具有相同锐角A的两个直角三角形，其sinA值相同，即使大小不同？

我的思路（本页草稿）

查看答案

两三角形相似，对边与斜边按相同比例缩放，所以比值不变。

查看逐步解析与易错点

1. 两三角形共有一个直角，另有锐角A相等，由AA相似。对应边比相同，交叉相乘可得各自对边/斜边相等。

   为什么这样做

   三角函数值由角决定而不由三角形尺度决定，依据是相似。

易错与反例

• 不能只比较一组边，须保证角对应后再比较边比。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

用锐角三角函数的直角三角形定义，能否直接令A=90°并写tan90°=1/0=∞？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能。90°不在锐角定义范围内，除以0也没有定义。

查看逐步解析与易错点

1. 锐角要求0°<A<90°，其邻边为正；取到90°时已经离开这个定义。以后单位圆扩展正切仍要求余弦非零，所以tan90°仍不定义。

   为什么这样做

   定义域条件必须在代入之前检查；∞不是此处一个实数商。

易错与反例

• 一般三角形可以有直角或钝角，本题限制的是被用于锐角边比定义的那个角。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 综合 · 独立练习

观察者眼睛离水平地面1.5米，与竖直楼底相距30米，望向楼顶的仰角为30°。求楼高。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$1.5+10\sqrt{3}$

查看逐步解析与易错点

1. 楼顶高于眼睛的部分为 $30\tan {30}^{\circ }=10\sqrt{3}$ 米；楼高为 $1.5+10\sqrt{3}$ 米。

   为什么这样做

   正切使用竖直高度差与水平距离之比，最后还要加眼睛本身的高度。

易错与反例

• 仰角由眼睛处水平线量起，不能把高度差直接当整楼高度。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

直角三角形中，锐角B的邻边为6、斜边为10。求cosB。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{3}{5}$

查看逐步解析与易错点

1. cosB=邻边/斜边=6/10=3/5。

   为什么这样做

   题目已经明确边相对于B的角色，应直接按定义。

易错与反例

• 不要把邻边除以对边，那不是余弦。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

坡比1:2表示“竖直升高:水平前进”。坡角A为锐角，应写tanA=1/2还是sinA=1/2？

我的思路（本页草稿）

查看答案

应写tanA=1/2。

查看逐步解析与易错点

1. 坡比是对边/邻边。斜边若按同一尺度为 $\sqrt{5}$，则 $\sin A=1/\sqrt{5}$，不是1/2。

   为什么这样做

   正弦分母为斜边，正切分母为邻边；实际量的方向决定使用哪个函数。

易错与反例

• 坡比不是角度本身，也不是竖直高度与坡面长度的比。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：锐角三角函数。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 任意角与单位圆定义
• 立体几何初步

依据

课程依据：初中：图形变化、相似、投影与坐标。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。