函数性质是对整个指定范围的判断：单调比较任意两点，奇偶先查对称域，最值还必须取到。
本页目标：用量词陈述单调、奇偶与最值，核对定义域条件。按已经学过的内容选择基础或提高题。
需要会：显式给出定义域与对应关系，辨认同一函数并进行换元
需要会：分清充分必要条件，正确读写量词及其否定
本页定位：课程基础。
严格递增是：区间内任意x₁<x₂，总有f(x₁)<f(x₂)；严格递减将输出顺序反过来。证明时先任取符合顺序的两点，再分析差值或其他等价关系。图像与数表可以提示猜想或反例，但有限样本不是全区间证明。
奇偶性先看定义域。若x允许，−x也必须允许，再比较f(−x)和f(x)。偶函数关于y轴对称，奇函数关于原点中心对称；这些都是关于图像上所有点的条件。定义域可以分成多个对称区间，零函数也可以同时奇、偶。
最大值要求有一个输入x₀，使所有函数值都不超过f(x₀)；最小值同理。只知道一个上界或下界，还要问能否取到。闭区间上的连续函数会取得最值，但一般定义域或不连续函数不能不加条件沿用这个结论。
分段与跨区间问题必须检查分界点和两侧的比较。奇函数在正半轴递增可以推出负半轴同样递增，却未必控制跨越0的顺序，练习给出具体反例。这个区别与反比例两支分别单调的问题相通。
常用工具是定义、数轴上的距离、对称关系与端点比较。后续导数的应用（单调性、极值、最值）会提供导数符号工具，但函数值的范围、边界与取到条件仍不能省略。
定义域与所谈区间是性质的一部分；严格单调、非严格单调不要混说。
比较对区间I内任意x₁、x₂成立，I包含于定义域；本页“递增、递减”采用严格意义。递减将输出不等号改为>。
输入顺序始终保持时称严格递增，始终反向时称严格递减。证明可看f(x₂)−f(x₁)的符号，但必须覆盖任意两点及所有条件。
可以用在
按定义证明单调
利用区间上的输入顺序比较函数值
要防止
几个点的数值变化不能证明整个区间单调。
各自区间上单调不自动推出合并范围单调。
知识讲解：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
定义域D须关于原点对称；相应等式对每个x∈D成立，不要求D包含0或是连续区间。
偶性把图像点(x,f(x))对应到(−x,f(x))，即关于y轴对称；奇性对应到(−x,−f(x))，即关于原点中心对称。代入证明前须保证两个输入都合法。
可以用在
减少对称范围内的计算
检查函数图像与零点的对称关系
要防止
表达式对称而定义域不对称时不能判奇偶。
零函数可同时奇、偶；含0的奇函数才必有f(0)=0。
知识讲解：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
x₀、x₁必须属于定义域D；不能只给一个所有值都低于或高于的界。
最大值需在x₀实际取到M，最小值需在x₁实际取到m；可有多个取等输入。
最值的定义同时包含全称限制和存在性：全部函数值不超过M，且有一个允许输入达到M；最小值同理。开放端点可能使界无法取得。
可以用在
检查区间最值是否存在
区分一个上界/下界与实际最大/最小值
要防止
端点被排除时不能仍取端点值作最值。
找到一个临界点不等于它控制整个定义域。
知识讲解：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
用定义证明f(x)=x²在[0,+∞)上严格递增。
解与结论
f在[0,+∞)上严格递增。
任取0≤x₁<x₂，f(x₂)−f(x₁)=(x₂−x₁)(x₂+x₁)>0：第一因子正，且x₂>0使第二因子也正。故f(x₁)<f(x₂)。
单调性要比较任意两个按顺序取的输入，不能只检验几个样本。
x₁、x₂不能同时为0，因为已经规定x₁<x₂。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
函数f(x)=(x−1)²的定义域为(−1,2]。求最小值，并判断是否有最大值。
解与结论
最小值0在x=1取得；没有最大值。
平方非负且1属于定义域，所以最小0。在(−1,1]上，越向左离1越远，值越大，却没有最左端点；任一点都能再向左取一个更大的值。[1,2]上的值不超过1，又小于f(−1/2)=9/4。因此整个定义域没有最大值，值可以接近4但取不到4。
最大值既要控制所有输入，也必须由某个允许输入取到；一个未取到的上界不能直接叫最大值。
不能因表达式在−1处可算就把被排除的−1带回定义域。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
f(x)=x²的定义域改为[−1,2]后，它还是偶函数吗？
解与结论
不是偶函数，也不是奇函数。
2在定义域内，−2却不在，定义域不关于原点对称，已经不满足奇偶性的前提。
先检查定义域，再比较f(−x)与f(x)；表达式有对称形式仍可能因范围而失去奇偶性。
不能把“平方式”直接等同于偶函数。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
用定义证明f(x)=x²在[0,+∞)上严格递增。
f在[0,+∞)上严格递增。
任取0≤x₁<x₂，f(x₂)−f(x₁)=(x₂−x₁)(x₂+x₁)>0：第一因子正，且x₂>0使第二因子也正。故f(x₁)<f(x₂)。
单调性要比较任意两个按顺序取的输入，不能只检验几个样本。
易错与反例
x₁、x₂不能同时为0，因为已经规定x₁<x₂。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
函数f(x)=(x−1)²的定义域为(−1,2]。求最小值，并判断是否有最大值。
最小值0在x=1取得；没有最大值。
平方非负且1属于定义域，所以最小0。在(−1,1]上，越向左离1越远，值越大，却没有最左端点；任一点都能再向左取一个更大的值。[1,2]上的值不超过1，又小于f(−1/2)=9/4。因此整个定义域没有最大值，值可以接近4但取不到4。
最大值既要控制所有输入，也必须由某个允许输入取到；一个未取到的上界不能直接叫最大值。
易错与反例
不能因表达式在−1处可算就把被排除的−1带回定义域。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
f(x)=x²的定义域改为[−1,2]后，它还是偶函数吗？
不是偶函数，也不是奇函数。
2在定义域内，−2却不在，定义域不关于原点对称，已经不满足奇偶性的前提。
先检查定义域，再比较f(−x)与f(x)；表达式有对称形式仍可能因范围而失去奇偶性。
易错与反例
不能把“平方式”直接等同于偶函数。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
以下函数均取自然定义域，哪个是奇函数？
y=x²
y=x³
y=x²+1
y=|x|
B
x³的定义域为全体实数，且(−x)³=−x³；其他三个都是偶函数且不恒为0。
奇函数需要对称定义域与f(−x)=−f(x)同时成立。
易错与反例
图像经过原点是常见结果，不是充分判定。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
在全体实数上，f(x)=0能否同时是奇函数和偶函数？
能，同时是奇函数与偶函数。
定义域关于原点对称，而且f(−x)=0=f(x)=−f(x)。
两种定义可以同时满足；若一个函数既奇又偶，其每个函数值也必须等于自己的相反数，即恒为0。
易错与反例
不能把奇函数、偶函数当作必定互斥的两类。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
一个定义在全体实数上的奇函数，在(0,+∞)严格递增，能否保证它在全体实数上严格递增？
不能。
反例：
正半轴的性质没有自动控制跨越0的函数值顺序；还需额外条件。
易错与反例
不能将两个区间上的单调结论不加检查合并。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
若奇函数f的定义域包含0，证明f(0)=0。若定义域不含0，能否仍写这个结论？
含0时f(0)=0；不含0时f(0)未定义，不能这样写。
由奇性f(−0)=−f(0)，而−0=0，所以2f(0)=0。论证开始就要求f(0)存在。
定义条件决定允许代入哪些数，不能把代数记号当作总有定义。
易错与反例
例如1/x是奇函数，却没有f(0)。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
某连续生产量模型的成本C(x)=(x−2)²+5（万元），x以吨计，允许0≤x≤5。依次求该模型的最小与最大成本。
距2最近的允许值为2，成本5；最远为5，成本14。另一端点0的成本为9，因此最小5、最大14万元。
平方随非负距离增大而增大；比较允许范围内到2的最近与最远距离即可。
易错与反例
只找到顶点的最小值后，还须比较端点才能求最大值。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
用定义证明f(x)=3x−2在全体实数上严格递增。
严格递增。
任取x₁<x₂，f(x₂)−f(x₁)=3(x₂−x₁)>0，所以f(x₁)<f(x₂)。
正系数保留输入差的正号，比较对任意两点都成立。
易错与反例
只写“图像向上”未完成题目要求的定义证明。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
函数
偶而非奇
奇而非偶
既奇又偶
非奇非偶
A
定义域排除±1，仍关于原点对称；g(−x)=g(x)。又g(0)=−1≠0，所以不能是奇函数。
对称的定义域可以有缺口，不要求一定是一个连续区间。
易错与反例
不能因定义域排除了点就一概否定偶性。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：函数的性质（单调性、奇偶性、最值）。一道题出错只提供候选线索。
课程依据：高中：函数概念与性质。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。