把单位圆的坐标随角度变化画成曲线，就能从图像读出周期、单调区间与取值范围。
本页目标：从周期、振幅和相位画三角函数图像并读性质。按已经学过的内容选择基础或提高题。
需要会：用单位圆定义任意角正弦余弦，核对锐角相容性及正切定义域
需要会：用区间单调、奇偶与最值的定义解释三角函数图像
本页定位：课程基础。
本页角度默认用弧度；出现度数时明确写°。先在单位圆上取0、π/2、π、3π/2、2π，记录纵坐标0、1、0、−1、0，得到正弦一周期的五个关键点。余弦取横坐标1、0、−1、0、1。曲线来自所有中间角的坐标，五点只是定位辅助。
| 函数 | 定义域与值域 | 最小正周期 | 奇偶性 |
|---|---|---|---|
| sinx | 实数集；[−1,1] | 2π | 奇函数 |
| cosx | 实数集；[−1,1] | 2π | 偶函数 |
| tanx | 排除π/2+kπ；实数集 | π | 奇函数 |
表中k为整数。坐标轴或原点对称给出奇偶关系；旋转整圈或半圈给出周期关系。正切在排除点附近无界，不能把这些位置补成图像上的点。
正弦在[−π/2+2kπ,π/2+2kπ]递增，在[π/2+2kπ,3π/2+2kπ]递减。余弦在[2kπ,(2k+1)π]递减，在[(2k−1)π,2kπ]递增。正切在每个(−π/2+kπ,π/2+kπ)内递增：在右半平面旋转时，终边与直线x=1的交点高度tanx持续升高；半圈周期给出其他分支。跨分支不能据此判定全域单调。
对于
读题给的区间时，要将全周期性质限制到该区间。闭端点是否包括、顶点是否落入、区间是否跨越正切的未定义点，都会改变答案。周期模型用于情境时，还需确认时间起点、单位和这个周期假设在所研究范围内成立。
基本函数的全域性质与限制区间后的性质分开。变换公式排除A=0、ω=0；图像的虚线边界不属于正切定义域。
x以弧度计。正弦、余弦定义域为实数集，正切排除x=π/2+kπ（k为整数）。基本正弦、余弦的最小正周期为2π，基本正切为π。
整圈旋转恢复两个坐标；半圈使两个坐标同时反号，因此比值恢复。若T是正弦的周期，取x=0得sinT=0，再取x=π/2得cosT=1，故T为2π的整数倍。余弦取x=0同样要求cosT=1。正切取x=0要求tanT=0，因此T为π的整数倍。
可以用在
判断一整周期的位置
区分正切分支与正弦余弦图像
要防止
不能把正弦的π相移当成完整周期
正切的未定义点不能用连线补齐
知识讲解：三角函数的图象与性质
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
A≠0、ω≠0，x和相位以弧度计。振幅为|A|，值域为[D−|A|,D+|A|]。相对A sin(ωx)+D平移h：h>0向右，h<0向左。
提出ω得到ω(x−h)。x增加2π/|ω|时角增加或减少2π，恢复函数值；任何更小正周期会与基本正弦的最小正周期矛盾。sin值从−1到1，乘A并加D给出完整值域，A<0时只是上下翻转。
可以用在
根据周期反求频率系数
确定相位平移与振幅
要防止
A=0或ω=0时是常函数，不能照用最小正周期公式
相位φ通常不是水平平移量，必须除以ω
知识讲解：三角函数的图象与性质
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。
求函数
解与结论
振幅2，最小正周期π；横坐标先缩为原来的一半，再向右平移π/4，纵坐标变为原来的2倍。
2x−π/2=2(x−π/4)。把y=sinx上点(t,sin t)变为(t/2+π/4,2sin t)，得到所求图像；当x增加π时角增加2π。
横向移动由括号内的实际输入决定，需先提出x的系数。
不能把相位−π/2直接读成向右平移π/2。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
写出tanx的定义域和最小正周期。它在整个定义域上单调递增吗？
解与结论
定义域排除π/2+kπ（k为整数），最小正周期π；它在每个连续分支上递增，但不在整个定义域上递增。
cosx不能为0。转半圈时正弦余弦都变号，比值不变。在基本分支(−π/2,π/2)内，终边与直线x=1的交点高度随角增大；其他分支由周期平移得到。反例π/4<3π/4，但对应正切为1与−1。
单调性须对选定集合内任意有序两点检查，跨过未定义点后不能沿用单个分支的结论。
最小正周期是π，而正弦、余弦为2π；分支之间不能连成一条跨越渐近线的曲线。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
求y=sinx在闭区间[−π/6,π/2]上的值域。
解与结论
该区间在[−π/2,π/2]内，正弦随角严格增加；端点值为−1/2与1，所以值域为[−1/2,1]。
单位圆对应点从右下方移到正y轴，纵坐标连续增加，并取遍两端之间的值。
不能漏掉已包含的两个端点。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
求函数
振幅2，最小正周期π；横坐标先缩为原来的一半，再向右平移π/4，纵坐标变为原来的2倍。
2x−π/2=2(x−π/4)。把y=sinx上点(t,sin t)变为(t/2+π/4,2sin t)，得到所求图像；当x增加π时角增加2π。
横向移动由括号内的实际输入决定，需先提出x的系数。
易错与反例
不能把相位−π/2直接读成向右平移π/2。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
写出tanx的定义域和最小正周期。它在整个定义域上单调递增吗？
定义域排除π/2+kπ（k为整数），最小正周期π；它在每个连续分支上递增，但不在整个定义域上递增。
cosx不能为0。转半圈时正弦余弦都变号，比值不变。在基本分支(−π/2,π/2)内，终边与直线x=1的交点高度随角增大；其他分支由周期平移得到。反例π/4<3π/4，但对应正切为1与−1。
单调性须对选定集合内任意有序两点检查，跨过未定义点后不能沿用单个分支的结论。
易错与反例
最小正周期是π，而正弦、余弦为2π；分支之间不能连成一条跨越渐近线的曲线。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
求y=sinx在闭区间[−π/6,π/2]上的值域。
该区间在[−π/2,π/2]内，正弦随角严格增加；端点值为−1/2与1，所以值域为[−1/2,1]。
单位圆对应点从右下方移到正y轴，纵坐标连续增加，并取遍两端之间的值。
易错与反例
不能漏掉已包含的两个端点。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
函数y=sin(3x+π/5)的最小正周期是哪一个？
2π
2π/3
π/3
3π
B
自变量增加T时，相位增加3T。最小正的完整重复要求3T=2π，故T=2π/3。
相位常数改变位置，x的系数决定横向周期缩放。
易错与反例
T=π/3只让相位增加π，通常会使函数值变成相反数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
求y=−3cosx（x为任意实数）的值域。
−1≤cosx≤1，乘−3后仍得到−3≤y≤3；x=0取−3，x=π取3。
负系数翻转上下位置，振幅取系数的绝对值。
易错与反例
负系数不使振幅变成负数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
常函数f(x)=4（x为实数）有最小正周期吗？
没有最小正周期；每个正数T都满足周期关系。
对每个T>0，f(x+T)=4=f(x)。如果选了一个正周期T，T/2仍是更小的正周期，因此没有最小的一个。
“存在正周期”与“存在最小正周期”不同；通用正弦周期公式要排除常函数情形。
易错与反例
0不是正数，不能把0叫作最小正周期。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
教学振动模型y=5sin(πt)，t≥0且以秒计，y以厘米计。从t=0开始，第一次到达最高位置的时刻是多少秒？
最高位置为5厘米，要求sin(πt)=1；最早非负相位是π/2，因此t=1/2秒。
正弦达到1的相位为π/2加整圈；按时间范围选最早一次。
易错与反例
不能把周期2秒当作第一次到达最高点的时间。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
求tanx在(0,π)内有意义且小于0的x的范围。
解集为(π/2,π)。
(0,π)内正弦为正，余弦在(0,π/2)为正、在(π/2,π)为负；π/2处无定义，因此取(π/2,π)。
正切是正弦与余弦的比，符号与定义域要同时检查。
易错与反例
不能把π/2当作可以取到的区间端点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
求
振幅3，最小正周期π/2，向左平移π/4。
4x+π=4(x+π/4)，因此横坐标向左移π/4；4T=2π得T=π/2。
平移量由提出系数后的括号判断，振幅与横向周期分别处理。
易错与反例
不能把+π理解成向左移动π，也不能把振幅与周期混为一谈。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
在正切基本分支(−π/2,π/2)内解tanx≥1。
解集为[π/4,π/2)。
tan(π/4)=1，基本分支严格递增，所以从π/4向右取到分支边界之前；π/4包括，π/2无定义。
单调关系可以比较同一个分支内的函数值，端点是否存在另按定义域处理。
易错与反例
不能把分支上端点π/2包含，也不能把其他周期的解混入题给范围。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。
课程依据：高中：三角函数与恒等变换。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。