第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
半径5的圆中，一条弦到圆心的垂直距离为3，求弦长。
查看答案
查看逐步解析与易错点
圆心到弦的垂线平分弦，半弦长为√(5²−3²)=4，所以整弦长8。
为什么这样做半径、半弦与垂距构成直角三角形，求出半弦后还要乘2。
易错与反例
不要将半弦长4直接作为弦长。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
圆
一句话
圆把等距离、角度和垂直关系联系起来；用定理前先确认点在圆上、弧的选择和切点位置。
本页目标：用半径、弦和圆周角性质推理，区分切线条件与圆幂拓展。按已经学过的内容选择基础或提高题。
前置知识
- 全等三角形与几何证明
需要会：核对边角对应与判定条件，给出完整全等证明和SSA反例
- 勾股定理与逆定理
需要会：由半径、半弦和圆心到弦的垂距组成的直角三角形计算长度。
概念与推导
本页定位：课程基础。
圆由到定点O距离为r的点组成，r>0。半径相等可以建立等腰或全等三角形，是许多圆性质的起点。弦连接两个不同圆上点；经过圆心的弦是直径。
圆心到非直径弦的垂线与两条半径形成全等直角三角形，所以平分弦。直径情形另由圆心是中点直接判断。半径、半弦、垂距的直角关系给出弦长公式。
圆周角的顶点在圆上，两边经过两个不同的其他圆上点。所对弧应选不含顶点的那一段。连接圆心后，利用等腰三角形的底角关系，在圆心位于角内、角外或角边上时分别作加法、减法或补角，得到圆周角是同弧圆心角的一半；完整分支在公式卡片中列出。半圆所对角因此为90°。
切线在圆上只有一个交点。经过圆上点P且垂直OP的直线是切线，因为该直线上任何其他点到O的距离都大于r。若只给垂直方向、没有经过P，可能是割线或不相交直线。外点的两条切线段也相等：连接外点与圆心，以共同斜边和两条半径用HL全等即可证明。
可选拓展：圆幂关系可由弦距与平方差推出。外点用近交点距离乘到远交点的整段，得到OP²−r²；内点的正线段积则是r²−OP²。这一符号区别来自位置，不能省略。
公式与条件
圆周角须有三个互异圆上点；弦长须有两交点；切线判定须同时有经过点与垂直关系。
r>0，d是圆心到弦所在直线的垂距，0≤d<r；d=r仅有一个切点，不是两端不同的弦。
从哪里来
d>0时用两个直角三角形的HL全等证明垂线平分弦，勾股定理得到半弦平方r²−d²。d=0时弦是直径，公式给2r，与定义相符。
适用场景与常见误用
可以用在
由弦距求弦长
比较同圆中弦长与离圆心距离
要防止
d是垂距，不是到任意弦端点的距离。
开方后得到半弦，须乘2。
知识讲解：圆
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
A、B、P为圆上三个互异点，θ是沿不含P的弧AB所取的圆心角度数，可为优角；不能总取两半径间较小角。
从哪里来
连接OP、OA、OB，利用半径相等的等腰三角形。O在∠APB内部时，设两部分为α、β，θ=360°−(180°−2α)−(180°−2β)=2(α+β)。O在角外时用两等腰三角形对应角之差，得θ=2|α−β|；一边经过O时，用180°减去另一个中心角，同样得二倍关系。
适用场景与常见误用
可以用在
同弧角度换算
证明直径所对圆周角为直角
要防止
必须说明哪一段弧不含P。
P与弧端点重合时圆周角不定义。
知识讲解：圆
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
P已知在以O为圆心、r>0的圆上。
从哪里来
经过P并垂直OP时，对l上其他点Q，OQ²=r²+PQ²>r²，所以只交于P。反之若切线不垂直OP，圆心到l的垂距就小于r，按弦距关系应有两个交点，与相切矛盾。
适用场景与常见误用
可以用在
判断或证明切线
由切线形成直角三角形
要防止
经过圆上指定点与垂直条件必须同时存在。
从图上看着相切不是证明。
知识讲解：圆
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
P、A、B共线，A、B是不同交点；取正线段长。外点时P、A、B按近远排列；内点时P在AB内部。圆心O、半径r。
从哪里来
作圆心到割线的垂线OH，令PH=u、HA=HB=s、OH=h，则s²=r²−h²且OP²=u²+h²。外点时u>s，乘积(u−s)(u+s)=OP²−r²；内点时s>u，乘积(s−u)(s+u)=r²−OP²。任意割线均给同一值；外点切线段PT还满足PT²=OP²−r²。
适用场景与常见误用
可以用在
外点两割线与切线段
圆内相交弦计算
要防止
内外点的正长度积公式符号不同，不能混用。
外点用近段乘从P到远点的整段，不是近段乘圆内弦段。
知识讲解：圆
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
典型例题
例 1（由垂距求弦长）
半径5的圆中，一条弦到圆心的垂直距离为3，求弦长。
解与结论
圆心到弦的垂线平分弦，半弦长为√(5²−3²)=4，所以整弦长8。
为什么这样做半径、半弦与垂距构成直角三角形，求出半弦后还要乘2。
易错与反例
不要将半弦长4直接作为弦长。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
例 2（明确同一段弧）
圆上A、B、P互不相同。不含P的弧AB所对圆心角为140°，求圆周角∠APB（单位：度）。
解与结论
圆周角等于同弧所对圆心角的一半，因此∠APB=70°。
为什么这样做必须取不含P的那段弧，不能随便使用两半径之间较小的角。
易错与反例
P移到另一段弧上时，所对弧随之改变，不能仍沿用70°。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
例 3（直径圆周角及端点排除）
AB是圆的直径，P在圆上且不同于A、B。证明∠APB=90°；为什么排除P=A或B？
解与结论
∠APB=90°；P等于端点时不能形成所说的三角形与圆周角。
不含P的半圆弧AB对应180°，圆周角为其一半90°。若P与端点重合，其中一条角边不能由两个不同点确定，三角形退化。
为什么这样做圆周角定理需要三个圆上点互异，直径给出的弧度数则固定为180°。
易错与反例
“P在圆上”还要加端点排除条件。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
易错与反例
- “半径垂直一条线”缺少垂足位于圆上的条件，不能判相切。
- 圆心角可能取优弧方向；换了圆周角顶点所在弧，不能仍照抄旧度数。
- 可选的割线积、相交弦积均要说明P在圆内还是圆外。
衔接提示
练习
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）
圆上A、B、P互不相同。不含P的弧AB所对圆心角为140°，求圆周角∠APB（单位：度）。
查看答案
查看逐步解析与易错点
圆周角等于同弧所对圆心角的一半，因此∠APB=70°。
为什么这样做必须取不含P的那段弧，不能随便使用两半径之间较小的角。
易错与反例
P移到另一段弧上时，所对弧随之改变，不能仍沿用70°。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）
AB是圆的直径，P在圆上且不同于A、B。证明∠APB=90°；为什么排除P=A或B？
查看答案
∠APB=90°；P等于端点时不能形成所说的三角形与圆周角。
查看逐步解析与易错点
不含P的半圆弧AB对应180°，圆周角为其一半90°。若P与端点重合，其中一条角边不能由两个不同点确定，三角形退化。
为什么这样做圆周角定理需要三个圆上点互异，直径给出的弧度数则固定为180°。
易错与反例
“P在圆上”还要加端点排除条件。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 4 题 基础 · 独立练习
同一圆中，圆周角∠APB为35°。求它所对弧AB的圆心角度数。
查看答案
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对应同一段弧，圆心角为2×35°=70°。
为什么这样做从圆周角反求圆心角时乘2，仍需保持同弧对应。
易错与反例
圆心角不一定指另一个方向的优弧角。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 5 题 提高 · 独立练习
圆心O到非直径弦AB作垂线OM，M在线段AB上。证明AM=BM。
查看答案
AM=BM。
查看逐步解析与易错点
直角三角形OMA、OMB有OA=OB（半径）、OM公共，由HL全等；对应直角边AM=BM。
为什么这样做“圆心”给出半径相等，“垂直”给出直角，二者不可缺。
易错与反例
任意一点向弦作垂线不一定平分弦；若弦为直径，O本身是中点，应单独直接说明。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 6 题 提高 · 独立练习
P在半径r的圆上，直线l经过P且OP⊥l。证明l与圆相切。
查看答案
l只与圆交于P，因此相切。
查看逐步解析与易错点
任取l上Q≠P，直角三角形OPQ满足OQ²=OP²+PQ²>r²，所以Q在圆外。P本身在圆上，故l恰有一个圆上点。
为什么这样做切线要求唯一交点，证明应排除直线上的其他点，而不只是看图接触。
易错与反例
必须说明l经过圆上点P，仅有与OP所在直线垂直不够。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 7 题 综合 · 独立练习
可选拓展：P在圆外，两割线依次经过P、A、B和P、C、D。PA=3、PB=12、PC=4，PT为切线段。依次求PD、PT。
查看答案
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外点割线积为PA×PB=36=PC×PD，所以PD=9；PT²=36，切线段长为6。
为什么这样做PB、PD指从外点到远交点的整段，不能用圆内弦长代替；切线段取正。
易错与反例
PA×AB不是割线积，整段与内部段要区分。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 8 题 提高 · 独立练习
可选拓展：圆内两弦AB、CD相交于P，PA=2、PB=6、PC=3。求PD。
查看答案
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内点相交弦有PA×PB=PC×PD，故2×6=3×PD，PD=4。
为什么这样做P在两条弦内部，各段是从P到交点的正长度，乘积为r²−OP²。
易错与反例
不要把内点的正长度积写成OP²−r²。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 9 题 基础 · 独立复测
圆半径13，一条弦距圆心5，求弦长。
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半弦平方为13²−5²=144，所以半弦12，整弦24。
为什么这样做垂径关系先得到半弦，再由勾股定理求长。
易错与反例
垂距5小于半径13，弦确实存在。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
第 10 题 提高 · 独立复测
“直线l垂直于半径OP所在直线，所以l是圆的切线。”这句话缺什么条件？给一个反例。
查看答案
还须l经过圆上点P；只垂直不够。
查看逐步解析与易错点
例如半径5、圆心O，取一条到O距离3、垂直于OP所在直线的直线。它到圆心的距离小于半径，与圆交于两点，不是切线。
为什么这样做切点处的半径垂直切线，涉及垂足位置；改变直线的位置会改变交点数。
易错与反例
不能从方向条件自动补出经过指定点的位置条件。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：圆。一道题出错只提供候选线索。
后继知识
依据
课程依据：初中：图形变化、相似、投影与坐标。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。