勾股定理与逆定理

一句话

勾股定理把直角条件转为边长平方关系，逆定理又允许由三边判断直角。

本页目标：用面积证明勾股定理，区分正逆命题并计算距离。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 相交线、平行线与三角形初步

  需要会：用角、平行线性质与三角形内角和组织有依据的推理

• 整式的乘法与乘法公式

  需要会：用分配律展开多项式，推导平方及立方公式

• 二次根式

  需要会：使用非负平方根、绝对值与有理化，检查定义域

• 全等三角形与几何证明

  需要会：通过SSS比较给定三边与构造的直角三角形，证明勾股逆定理。

概念与推导

本页定位：课程基础。

在直角三角形中，两条直角边长为a、b，斜边长为c，有 $a^2+b^2=c^2$。斜边在直角对面且最长。若反求一条直角边，应用 $a^2=c^2-b^2$，并取正的平方根。

面积证明先确认中央四边形的边都是c、角都是90°，然后比较大正方形与四个三角形的面积。由 $(a+b{)}^2=4(ab/2)+c^2$ 推出定理；这解释了为何出现平方，而不是a+b=c。

逆定理也需要证明。若一个三角形的三边满足平方关系，另构造直角边a、b的直角三角形，其斜边按勾股定理为c。SSS使两个三角形全等，原三角形才得到直角。不能在逆定理证明里先假设原图已经直角。

应用先辨认垂直方向：墙与地面、矩形邻边、坐标系横纵方向。图中的斜线未必就是斜边，必须看它是否对着直角。

可选拓展：学过相似后，作斜边上的高，得到两个小三角形与原三角形相似。按对应边写比例可推出下方射影关系；这部分先回看相似三角形，不作为首次学习勾股定理的先决要求。

公式与条件

正向有直角才能求边；逆向在已能组成三角形的三条正边长上检验平方关系。

$$a^2+b^2=c^2⟺C={90}^{\circ }$$

成立条件

a、b、c为同一非退化平面三角形的边长，C是c的对角。

从哪里来

正向：四个直角三角形拼成边长a+b的正方形，中央为边长c的正方形，$(a+b{)}^2=2ab+c^2$。逆向：构造直角边a、b的直角三角形，其斜边由正向结论等于c；由SSS与原三角形全等，原角C为90°。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求直角三角形边长

• 判断给定三边是否对应直角三角形

• 计算矩形对角线和坐标距离

要防止

• 必须标清斜边，不是任意一边的平方等于另两边平方和。

• 长度取正；边长不构成三角形时不能讨论其内角。

知识讲解：勾股定理与逆定理

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

$$C{H}^2=AH\cdot HB,A{C}^2=AB\cdot AH,B{C}^2=AB\cdot HB$$

成立条件

三角形ABC在C处直角，CH垂直斜边AB，H在AB内部，边长均为正。本条作为相似应用的可选拓展。

从哪里来

三角形ACH、CBH、ABC两两具有一个相等锐角及一个直角，故由AA相似。按对应边比例交叉相乘，分别得到三式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 用斜边上的两段求高

• 把面积、边长与相似联系起来

要防止

• 任意三角形的高不满足这组三式。

• 写比例前先核对对应顶点，不能随意交叉相乘。

知识讲解：勾股定理与逆定理

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（求斜边并保留长度正性）

直角三角形两直角边长分别为3、4，求斜边长。

解与结论

$5$

1. 斜边平方为3²+4²=25；长度为正，所以斜边为5。

   为什么这样做

   勾股定理只连接同一非退化直角三角形的两条直角边与斜边。

易错与反例

• 最长的斜边要单独放在平方和等式的一侧。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（梯子模型）

一架13米长的梯子靠在竖直墙上，梯脚距墙5米。地面水平且与墙垂直，求梯顶离地高度。

解与结论

$12$

1. 梯子是斜边，高度h满足h²+5²=13²，所以h²=144，h=12米。

   为什么这样做

   墙、地面与梯子形成直角三角形，先将实物量与三条边对应。

易错与反例

• 13米是梯长，不是高度；不可用13−5求高。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（构造与全等证明逆定理）

三角形三边为6、8、10。证明它是直角三角形，并说明直角所对的边。

解与结论

它是直角三角形，直角对着长为10的边。

1. 6²+8²=100=10²。构造直角边为6和8的直角三角形，其斜边按勾股定理为10。两三角形三边分别相等，由SSS全等，原三角形对应角也为直角。

   为什么这样做

   这里使用的是逆定理，不能把需要证明的直角先当作已知。

易错与反例

• 仅说“满足公式所以直角”未解释逆定理的依据，本题要补构造与全等。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 非直角三角形不能直接套勾股；例如三边6、8、9时平方关系失败。
• 一条线段平方的单位是面积单位；最终长度要开方。
• 射影关系是直角与相似共同产生的结论，不能只看图有一条高就使用。

衔接提示

衔接提示：几何工具的证明与使用条件

圆幂、射影和角平分线比例可作为拓展；是否属于某课标或教材要求必须查原条目，不能从摘录缺席推断全文缺席。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：圆 · 相似三角形 · 勾股定理与逆定理。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

直角三角形两直角边长分别为3、4，求斜边长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5$

查看逐步解析与易错点

1. 斜边平方为3²+4²=25；长度为正，所以斜边为5。

   为什么这样做

   勾股定理只连接同一非退化直角三角形的两条直角边与斜边。

易错与反例

• 最长的斜边要单独放在平方和等式的一侧。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

一架13米长的梯子靠在竖直墙上，梯脚距墙5米。地面水平且与墙垂直，求梯顶离地高度。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$12$

查看逐步解析与易错点

1. 梯子是斜边，高度h满足h²+5²=13²，所以h²=144，h=12米。

   为什么这样做

   墙、地面与梯子形成直角三角形，先将实物量与三条边对应。

易错与反例

• 13米是梯长，不是高度；不可用13−5求高。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

三角形三边为6、8、10。证明它是直角三角形，并说明直角所对的边。

我的思路（本页草稿）

查看答案

它是直角三角形，直角对着长为10的边。

查看逐步解析与易错点

1. 6²+8²=100=10²。构造直角边为6和8的直角三角形，其斜边按勾股定理为10。两三角形三边分别相等，由SSS全等，原三角形对应角也为直角。

   为什么这样做

   这里使用的是逆定理，不能把需要证明的直角先当作已知。

易错与反例

• 仅说“满足公式所以直角”未解释逆定理的依据，本题要补构造与全等。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

正方形边长为2，求对角线长。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 对角线分出两直角边均为2的直角三角形，$d^2=2^2+2^2=8$，所以 $d=2\sqrt{2}$。

   为什么这样做

   正方形相邻边垂直，允许使用勾股定理。

易错与反例

• 对角线不能按两条边长直接相加。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

坐标平面中A(−1,2)、B(2,6)，求AB。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5$

查看逐步解析与易错点

1. 横向距离3、竖向距离4，作水平与竖直辅助线得到直角三角形，AB²=3²+4²=25，AB=5。

   为什么这样做

   坐标差给出两个垂直方向的位移，直线距离由勾股关系求得。

易错与反例

• |Δx|+|Δy|是折线路径长度，一般不是直线距离。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理 · 平面直角坐标系。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

以下哪组三边能组成直角三角形？

• A.

  5、12、13

• B.

  2、3、4

• C.

  1、1、1

• D.

  2、2、3

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 5²+12²=13²；其余三组较短两边平方和均不等于最长边平方。

   为什么这样做

   先确认最长边，再检验逆定理的平方等式。

易错与反例

• 不能把任意两边作平方和，不管第三边是不是最长。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 综合 · 独立练习

用边长a+b的大正方形，拼入4个直角边为a、b的全等直角三角形，证明勾股定理。

我的思路（本页草稿）

查看答案

斜边长c满足a²+b²=c²。

查看逐步解析与易错点

1. 四个三角形的斜边围成边长c的小四边形。直角三角形的两锐角互余，故小四边形各角为90°，它是正方形。面积相减得 $(a+b{)}^2=4\cdot ab/2+c^2$；展开消去2ab，得 $a^2+b^2=c^2$。

   为什么这样做

   要先证明中央形状是正方形，才能把它的面积写为c²；不能仅凭图样猜测。

易错与反例

• 拼图证明中的各块必须不重不漏，并具有同样的a、b、c。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理 · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 综合 · 独立练习

可选拓展：直角三角形ABC的直角在C，从C向斜边AB作高CH，H在线段AB内部，AH=4、HB=9。求CH。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. 由两小直角三角形相似，CH²=AH×HB=36；长度正，所以CH=6。

   为什么这样做

   ∠ACH=∠CBH，且两小三角形都在H处直角，由AA相似得AH/CH=CH/HB。

易错与反例

• 射影关系要求原三角形在C处为直角，不能用于任意三角形的高。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理 · 相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

直角三角形斜边17，一条直角边8，求另一条直角边。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$15$

查看逐步解析与易错点

1. 另一边平方为17²−8²=225，边长为15。

   为什么这样做

   反求直角边时用斜边平方减去另一条直角边平方。

易错与反例

• 不能把17²与8²相加，那会得到比斜边更长的直角边。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

求一条非退化线段长度x时得到x²=9，小明写“x可能为3或−3，所以有两种长度”。哪里错了？

我的思路（本页草稿）

查看答案

长度只能是3。

查看逐步解析与易错点

1. 方程在实数内的两个根为±3，但本题的x表示长度，必须x>0，因此只取3。

   为什么这样做

   代数求解得到候选后，还要与原几何量的定义域相交。

易错与反例

• “方程有两个根”不等于实际模型有两个可行解。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：勾股定理与逆定理。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 锐角三角函数
• 圆
• 四边形的性质与判定
• 直线与圆

依据

课程依据：初中：三角形与全等。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。