整式的乘法与乘法公式

一句话

乘法公式不是三条要背的结论，是分配律用了两次之后的结果。

$(a + b) (c + d)$ 展开成四项，这件事只用到分配律。所谓"公式"，不过是把 $c, d$ 换成特定形式后值得记住的几个特例。

前置知识

代数式与整式的加减
需要会：按分配律去括号、合并同类项和整体代入

概念与推导

多项式乘法只有一条规则

(a + b) (c + d) = a (c + d) + b (c + d) = a c + a d + b c + b d

第一个等号：把 $(c + d)$ 当整体，对 $(a + b)$ 用分配律。第二个等号：再对每一项用一次分配律。

就这一条。 所有多项式乘法都是它的重复应用，"前项乘后项、不重不漏"是它的操作版描述。

课标对这里有明确限定：「多项式乘法仅限于一次式之间和一次式与二次式的乘法」（课标原文）。也就是说 $(x + 1) (x^{2} + x + 1)$ 在要求内，而两个二次式相乘不在。

三条公式都是它的特例

平方差：令 $c = a$ 、 $d = - b$

(a + b) (a - b) = a^{2} - a b + a b - b^{2} = a^{2} - b^{2}

中间两项抵消，这是它值得单独记的全部理由。

完全平方：令 $c = a$ 、 $d = b$

(a + b)^{2} = a^{2} + a b + a b + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

中间两项相同故合并成 $2 a b$ 。丢掉 $2 a b$ 是初中最高频的错误之一，根因是把 $(a + b)^{2}$ 当成"每项各自平方"——而平方不是这样分配的。

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

把 $b$ 换成 $- b$ 即可，不必单记。

记住推导比记住结论有用

三条公式忘了都能在十秒内重推。而只背结论的人，遇到变形就废：

(a + b + c)^{2} = ?

这条没有现成公式。但把 $(a + b)$ 当整体，令 $m = a + b$ ：

(m + c)^{2} = m^{2} + 2 m c + c^{2} = (a + b)^{2} + 2 (a + b) c + c^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a b + 2 a c + 2 b c

整体思想 + 一条公式，解决了一条没学过的公式。 这个动作在后面的换元法里会被正式命名。

这一章真正的用途在下一章

乘法公式本身很少直接考。它存在的理由是：因式分解要把这三条反过来用。

a^{2} - b^{2} ⟶ (a + b) (a - b)

从左往右是本页（机械的），从右往左是下一页（需要看出结构）。熟悉左边是认出右边的前提——看不出 $x^{4} - 1$ 里藏着平方差，是因为 $a^{2} - b^{2}$ 的形状还不够熟。

公式与适用场景

平方差公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

成立条件

a、b取任意实数；代入的表达式应在所讨论定义域内有意义。

从哪里来

展开右侧得到a²−ab＋ab−b²，中间项抵消。

适用场景与常见误用

可以用在

平方差分解；乘法简算；分母有理化。

要防止

平方和不能直接套平方差，但不能说所有平方和都不可分解。例如 $x^{4} + 4 = (x^{2} - 2 x + 2) (x^{2} + 2 x + 2)$ 。

知识讲解：因式分解（提公因式法、公式法）

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

完全平方公式

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 a b + b^{2}

成立条件

a、b为任意实数。

从哪里来

把两个相同括号相乘，中项由两次ab相加得到。识别时选代数项A、B，再检查中项是否为±2AB；不要把 $\sqrt{A^{2}}$ 擅自写成A。

适用场景与常见误用

可以用在

展开、配方、识别完全平方。

要防止

遗漏中项或系数2；把首尾的算术平方根当成可带符号的代数项。

知识讲解：整式的乘法与乘法公式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

立方展开

(a \pm b)^{3} = a^{3} \pm 3 a^{2} b + 3 a b^{2} \pm b^{3}

成立条件

a、b为任意实数；两处±同时取相同符号。

从哪里来

先用完全平方展开(a±b)²，再乘(a±b)并合并同类项，即得到1、3、3、1的系数。

适用场景与常见误用

可以用在

衔接多项式展开；对称立方和改写。

要防止

误写成a³±b³；减号情形误把3ab²也变负。

知识讲解：整式的乘法与乘法公式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

对称式常用改写

\begin{aligned} a^{2} + b^{2} & = (a + b)^{2} - 2 a b \\ (a - b)^{2} & = (a + b)^{2} - 4 a b \\ a^{3} + b^{3} & = (a + b)^{3} - 3 a b (a + b) \\ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} & = \frac{a + b}{a b} \end{aligned}

成立条件

第四式需 $a b \neq 0$ ；其余对任意实数成立

从哪里来

前三式分别由平方、立方展开整理得到；第四式在ab≠0时通分得到。一般的对称多项式可用a+b、ab表示，但这一概括只谈多项式，不能直接扩大为所有对称表达式。

适用场景与常见误用

可以用在

韦达定理的配套使用 —— 这是"不必解出根"的技术保障
解析几何弦长公式（用到 $(x_{1} - x_{2})^{2}$ 的改写）
已知 $x + \frac{1}{x}$ 求 $x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ 一类问题

要防止

遇到非对称式（如 $x_{1}^{2} + x_{2}$ ）也硬套 —— 此时必须解出根或另想办法

补充说明与可选推广

互换检验帮助识别对称结构。分式还需分母非零，根式需定义域与符号；非对称目标也可能经变形后使用和积。

知识讲解：对称多项式的表达

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

典型例题

例 1（基础）

计算： $(2 x - 3) (x + 4)$ 。

解与结论

$2 x^{2} + 5 x - 12$

分配： $2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4$

为什么这样做
多项式乘法就是分配律用两次：先把 $(2 x - 3)$ 中每一项分配给整个 $(x + 4)$ ，再各自展开。没有额外的规则，所谓"first-outer-inner-last"只是分配顺序的助记。
$= 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12 = 2 x^{2} + 5 x - 12$

为什么这样做
合并同类项。中项 $5 x$ 来自两个交叉乘积之和 —— 记住这一点，十字相乘分解时就知道中项从哪来。

易错与反例

漏掉交叉项，写成 $2 x^{2} - 12$ 。
符号错： $- 3 \cdot 4$ 写成 $+ 12$ 。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（用公式）

用乘法公式计算：（1） $(3 x + 2) (3 x - 2)$ ；（2） $(2 a - b)^{2}$ 。

解与结论

（1） $9 x^{2} - 4$ ；（2） $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

（1）符合平方差 $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ ，取 $A = 3 x, B = 2$ ： $9 x^{2} - 4$

为什么这样做
识别信号是「两个括号只差一个符号」。公式里的 $A, B$ 可以是任何式子，不限于单个字母 —— 这是「用字母表示数」在此处的直接应用。
（2）完全平方 $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ ，取 $A = 2 a, B = b$ ： $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

为什么这样做
中项是 $- 2 \cdot 2 a \cdot b = - 4 a b$ ，系数 $2$ 来自公式本身，不能漏。

易错与反例

把完全平方当平方差会丢掉中项。例如a＝b＝1，原式 $(2 a - b)^{2} = 1$ ，错式 $4 a^{2} - b^{2} = 3$ 。
中项漏掉系数 $2$ ，写成 $4 a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（整体思想）

已知 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 与 $(a - b)^{2}$ 。

解与结论

$(a^{2} + b^{2}, (a - b)^{2}) = (13, 1)$

由 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 得 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$

为什么这样做
题目给的是 $a + b$ 和 $a b$ ，而完全平方公式恰好把这三个量连在一起。 看到已知量正好是某条公式里的两个位置，就去用那条公式。
$a^{2} + b^{2} = 25 - 12 = 13$

为什么这样做
直接代入，不必解出 $a$ 和 $b$ 。
$(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 a b = 25 - 24 = 1$

为什么这样做
展开验证： $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - 4 a b$ 。这条改写在求「两根之差」时会反复使用。

易错与反例

先求出a、b再计算也正确；本题直接改写目标组合更短。含参时也能求根，但未必需要。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	根因	怎么改
$(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$	以为平方能逐项分配	展开一次看清楚中间项从哪来
$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b - b^{2}$	只记"有负号"没记位置	由 $b \to - b$ 代入推，不硬记
$(a + b) (b - a) = a^{2} - b^{2}$	没核对哪个是"和"哪个是"差"	先整理成 $(b + a) (b - a)$ 再套
展开后忘记合并同类项	步骤没走完	结果里不应再有同类项
只会正向展开，看不出逆向结构	公式只从左往右练过	每做一题顺手问"右边能收回去吗"

练习

难度用途

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

计算： $(2 x - 3) (x + 4)$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2 x^{2} + 5 x - 12$

查看逐步解析与易错点

分配： $2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4$

为什么这样做
多项式乘法就是分配律用两次：先把 $(2 x - 3)$ 中每一项分配给整个 $(x + 4)$ ，再各自展开。没有额外的规则，所谓"first-outer-inner-last"只是分配顺序的助记。
$= 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12 = 2 x^{2} + 5 x - 12$

为什么这样做
合并同类项。中项 $5 x$ 来自两个交叉乘积之和 —— 记住这一点，十字相乘分解时就知道中项从哪来。

易错与反例

漏掉交叉项，写成 $2 x^{2} - 12$ 。
符号错： $- 3 \cdot 4$ 写成 $+ 12$ 。

把展开倒过来，就是后续因式分解要处理的问题：比较系数、识别共同因子和公式，寻找可行的乘积形式。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式 · 代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

用乘法公式计算：（1） $(3 x + 2) (3 x - 2)$ ；（2） $(2 a - b)^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

（1） $9 x^{2} - 4$ ；（2） $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

查看逐步解析与易错点

（1）符合平方差 $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ ，取 $A = 3 x, B = 2$ ： $9 x^{2} - 4$

为什么这样做
识别信号是「两个括号只差一个符号」。公式里的 $A, B$ 可以是任何式子，不限于单个字母 —— 这是「用字母表示数」在此处的直接应用。
（2）完全平方 $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ ，取 $A = 2 a, B = b$ ： $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

为什么这样做
中项是 $- 2 \cdot 2 a \cdot b = - 4 a b$ ，系数 $2$ 来自公式本身，不能漏。

易错与反例

把完全平方当平方差会丢掉中项。例如a＝b＝1，原式 $(2 a - b)^{2} = 1$ ，错式 $4 a^{2} - b^{2} = 3$ 。
中项漏掉系数 $2$ ，写成 $4 a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

已知 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 与 $(a - b)^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(a^{2} + b^{2}, (a - b)^{2}) = (13, 1)$

查看逐步解析与易错点

由 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 得 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$

为什么这样做
题目给的是 $a + b$ 和 $a b$ ，而完全平方公式恰好把这三个量连在一起。 看到已知量正好是某条公式里的两个位置，就去用那条公式。
$a^{2} + b^{2} = 25 - 12 = 13$

为什么这样做
直接代入，不必解出 $a$ 和 $b$ 。
$(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 a b = 25 - 24 = 1$

为什么这样做
展开验证： $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - 4 a b$ 。这条改写在求「两根之差」时会反复使用。

易错与反例

先求出a、b再计算也正确；本题直接改写目标组合更短。含参时也能求根，但未必需要。

$a, b$ 恰好是 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两根 —— 本题就是韦达定理与对称多项式的原型，只是那里的 $a + b, a b$ 直接由方程系数读出，不必题目给。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题基础 · 独立练习

展开 $(x - 2)^{3}$ ，依次写出三次项、二次项、一次项和常数项的系数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1, - 6, 12, - 8)$

查看逐步解析与易错点

先平方得x²−4x+4，再乘x−2，合并后为x³−6x²+12x−8。

为什么这样做
立方是三个相同因子相乘；每次用分配律即可得到各项。

易错与反例

不能只保留x³−8，中间两项一般不为0。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题提高 · 独立练习

用分配律展开 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ ，说明中间项怎样消去。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x^{3} - 8$ 。

查看逐步解析与易错点

展开得x³+2x²+4x−2x²−4x−8，二次项和一次项分别相消，留下x³−8。

为什么这样做
每个因子中的项都要与另一个因子的每项相乘；消去来自相反的系数。

易错与反例

不能在展开前随意把某两项直接约掉；这里是加法合并，不是分式约分。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题基础 · 独立练习

对任意实数a、b， $(a + b)^{3}$ 等于哪一项？

A.
$a^{3} + b^{3}$
B.
$a^{3} + 2 a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$
C.
$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
D.
$a^{3} + 3 a b + b^{3}$

我的思路（本页草稿）

查看答案

查看逐步解析与易错点

将(a+b)²=a²+2ab+b²再乘(a+b)，a²b项与ab²项的系数各合并为3。

为什么这样做
立方展开由三次分配得到，系数和次数均须核对。

易错与反例

代a=b=1可发现第一、第二、第四项都不是8，但恒等证明仍由展开给出。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题基础 · 独立练习

用平方差公式计算101×99。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$9999$

查看逐步解析与易错点

101×99=(100+1)(100−1)=10000−1=9999。

为什么这样做
两个因子关于100对称，可用(A+B)(A−B)=A²−B²。

易错与反例

平方差的第二项是1²，不是2×100。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题提高 · 独立练习

对于实数a、b，等式 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在什么条件下成立？

我的思路（本页草稿）

查看答案

当且仅当ab=0，即a、b至少一个为0。

查看逐步解析与易错点

展开左边，多出2ab。等式等价于2ab=0，也等价于ab=0。反过来代入ab=0确实成立。

为什么这样做
必要性和充分性都来自同一个等价变形；不能只检验某一个例子。

易错与反例

a=b=1时左边4、右边2，说明它不是恒等式。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题基础 · 独立复测

展开 $(2 x + 1)^{3}$ ，依次给出三次项、二次项、一次项和常数项的系数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(8, 12, 6, 1)$

查看逐步解析与易错点

取A=2x、B=1，得8x³+12x²+6x+1。

为什么这样做
立方公式中A²B与AB²的系数都为3，还要把2x整体乘方。

易错与反例

(2x)³=8x³，不能只写2x³。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题提高 · 独立复测

展开 $(- a + b)^{2}$ ，并说明它是否等于 $(a - b)^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，等于 $(a - b)^{2}$ 。

查看逐步解析与易错点

由完全平方得(−a)²+2(−a)b+b²=a²−2ab+b²；另有−a+b=−(a−b)，整体相反数的平方相等。

为什么这样做
平方作用于整个底数；交叉项的符号取决于两项乘积。

易错与反例

不能把负的a平方以后，又把交叉项误写为+2ab。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题提高 · 独立复测

展开(a−2b)²，并判断它在什么条件下等于a²+4b²（a、b为实数）。

我的思路（本页草稿）

查看答案

展开为a²−4ab+4b²；等于a²+4b²当且仅当ab=0。

查看逐步解析与易错点

分配律展开两因子后，两个交叉项均为−2ab，合成−4ab。要与无交叉项的式子相等，须−4ab=0。

为什么这样做
判断恒等与条件相等时，可以比较两边之差，不能随意漏项。

易错与反例

对所有a、b的展开式，与只在ab=0成立的简式不同。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

依据

课程依据：初中：代数式与因式分解。指定条目已对照原页图像，核验范围与日期见引用中心。

整式的乘法与乘法公式 ​

一句话 ​

前置知识 ​

概念与推导 ​

多项式乘法只有一条规则 ​

三条公式都是它的特例 ​

记住推导比记住结论有用 ​

这一章真正的用途在下一章 ​

公式与适用场景 ​

平方差公式 ​

完全平方公式 ​

立方展开 ​

对称式常用改写 ​

典型例题 ​

例 1（基础） ​

例 2（用公式） ​

例 3（整体思想） ​

易错点 ​

练习 ​

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题 基础 · 独立练习

第 5 题 提高 · 独立练习

第 6 题 基础 · 独立练习

第 7 题 基础 · 独立练习

第 8 题 提高 · 独立练习

第 9 题 基础 · 独立复测

第 10 题 提高 · 独立复测

第 11 题 提高 · 独立复测

后继知识 ​

依据 ​

整式的乘法与乘法公式

一句话

前置知识

概念与推导

多项式乘法只有一条规则

三条公式都是它的特例

记住推导比记住结论有用

这一章真正的用途在下一章

公式与适用场景

平方差公式

完全平方公式

立方展开

对称式常用改写

典型例题

例 1（基础）

例 2（用公式）

例 3（整体思想）

易错点

练习

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

第 4 题基础 · 独立练习

第 5 题提高 · 独立练习

第 6 题基础 · 独立练习

第 7 题基础 · 独立练习

第 8 题提高 · 独立练习

第 9 题基础 · 独立复测

第 10 题提高 · 独立复测

第 11 题提高 · 独立复测

后继知识

依据