因数与倍数、质数与合数

一句话

因数帮助把数量分组，倍数帮助找到共同的计数单位。

本页目标：分解质因数，求公因数与公倍数，解释整除。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 整数四则运算与运算顺序

  需要会：按运算顺序计算并用估算、逆运算检验；区分时间、长度等单位

概念与推导

研究范围与成对列举

本页在正整数范围讨论因数与倍数。若 $a=b\times c$，b与c是a的因数，a是b与c的倍数。例如24可以写成1×24、2×12、3×8、4×6，因此列因数时应成对找。

质数大于1，恰有1和自身两个正因数；合数大于1，还有其他正因数。1既不是质数也不是合数；2是质数，且是唯一的偶质数。

共有与最合适的共有

最大公因数是能同时整除两数的最大正整数，适合处理尽可能多的相同分组。最小公倍数是两数共同正倍数中最小者，适合周期重合与后续通分。

分解质因数后，最大公因数取共有质因子的较小次数；最小公倍数取出现过的质因子的较大次数。

公式与条件

“最大”“最小”不能漏。公因数、公倍数可能有很多个，但最大公因数与最小公倍数各只有一个。这里排除了0；涉及0时应另说明约定。

$$gcd(a,b)\mathrm{lcm}(a,b)=ab$$

成立条件

a、b为正整数；这里讨论两个数，不直接照搬到三个数。

从哪里来

把两数分解为质因数。每个质因子在最大公因数中取较小的次数，在最小公倍数中取较大的次数；较小次数加较大次数等于原来两次数之和，因此相乘后与ab有相同的质因数分解。

适用场景与常见误用

可以用在

• 检查两个正整数的公因数、公倍数计算结果。

要防止

• 未经调整就套用于三个数。

• 把公因数或公倍数当成最大、最小者。

知识讲解：因数与倍数、质数与合数

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（列因数）

24的因数按1×24、2×12、3×8、4×6配对列出：1、2、3、4、6、8、12、24。因为5×5大于24，一对因数中至少一个小于5；前面已经检查了所有可能的较小因数，不会漏掉新的一对。

例 2（公因数与公倍数）

$18=2\times 3^2$，$24=2^3\times 3$。最大公因数为 $2\times 3=6$；最小公倍数为 $2^3\times 3^2=72$。6能整除两数，72能被两数整除。

例 3（分类边界）

1属于哪一类？

• A.

  质数

• B.

  合数

• C.

  既不是质数也不是合数

解与结论

C

1. 1只有一个正因数，即1本身。

   为什么这样做

   质数和合数都在大于1的正整数中分类。

易错与反例

• 不能把“不是质数”一律等同于“是合数”。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

2只有1和2两个正因数，所以是质数。大于2的偶数都还有因数2，因而是合数。

易错与反例

“奇数一定是质数”不对，9＝3×3就是反例。“两个数的积一定是最小公倍数”也不对，4与6的积是24，最小公倍数却是12。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 独立练习

下面哪个数是质数？

• A.

  11

• B.

  21

• C.

  27

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 11只有1和11两个正因数；21＝3×7，27＝3×9。

   为什么这样做

   质数须大于1且恰有两个正因数。

易错与反例

• 奇数不一定是质数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 独立练习

写出18的所有正因数，用逗号分隔。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{1,2,3,6,9,18\}$

查看逐步解析与易错点

1. $18=1\times 18=2\times 9=3\times 6$，因数为1、2、3、6、9、18。

   为什么这样做

   成对列出可以减少遗漏；相同因数只写一次。

易错与反例

• 别漏掉1与18。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 基础 · 独立练习

求12与18的最大公因数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. 12的正因数为1、2、3、4、6、12；与18共有1、2、3、6，最大为6。

   为什么这样做

   先找同时整除两数的数，再选最大的。

易错与反例

• 公因数3不是最大的。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

求8与12的最小公倍数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$24$

查看逐步解析与易错点

1. 8的倍数8、16、24；12的倍数12、24，最早相遇于24。

   为什么这样做

   找的是能被两数同时整除的最小正整数。

易错与反例

• 最大公因数和最小公倍数方向相反。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

把60分解成质因数的乘积。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$60=2^2\times 3\times 5$。

查看逐步解析与易错点

1. $60=2\times 30=2\times 2\times 15=2\times 2\times 3\times 5$。

   为什么这样做

   继续拆到每个因数都是质数，不能把合数留作终点。

易错与反例

• 写成6×10尚未完成质因数分解。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

1属于哪一类？

• A.

  质数

• B.

  合数

• C.

  既不是质数也不是合数

我的思路（本页草稿）

查看答案

C

查看逐步解析与易错点

1. 1只有一个正因数，即1本身。

   为什么这样做

   质数和合数都在大于1的正整数中分类。

易错与反例

• 不能把“不是质数”一律等同于“是合数”。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

两个不同的质数一定只有公因数1吗？说明理由。

我的思路（本页草稿）

查看答案

是。

查看逐步解析与易错点

1. 一个质数的正因数只有1和它本身。若两个不同质数还有大于1的公因数，这个因数就必须同时等于两质数，造成矛盾。

   为什么这样做

   用质数的定义排除大于1的共同因数，不能只举一对数就证明全部情形。

易错与反例

• 相同质数不满足“两个不同”的条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

18个红球和24个蓝球，分成尽可能多组；每组红球数相同、蓝球数也相同，全部分完。依次填组数、每组红球数、每组蓝球数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(6,3,4)$

查看逐步解析与易错点

1. 组数须同时整除18和24，最多6组；每组3红、4蓝。

   为什么这样做

   最多组数是最大公因数，不是两球数之和的因数随意取一个。

易错与反例

• 必须两种颜色各自均分。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

求20与30的最大公因数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10$

查看逐步解析与易错点

1. 20＝2²×5，30＝2×3×5，共有的质因数部分为2×5＝10。

   为什么这样做

   共有部分取两者都具备的次数。

易错与反例

• 不能把30独有的3也乘进去。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

甲铃每6分钟响一次，乙铃每8分钟响一次，同时响后至少过几分钟又同时响？

我的思路（本页草稿）

查看答案

$24$

查看逐步解析与易错点

1. 6与8的最小公倍数为24，所以再过24分钟同时响。

   为什么这样做

   所求时间必须是两个周期的正倍数，且要取最小值。

易错与反例

• 不能用最大公因数2分钟作为答案。

本机记录

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回补：因数与倍数、质数与合数。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 分数四则运算

依据

课程依据：小学：数的认识。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。