数列把第几个对应到这一项是多少。序号是自变量，项是函数值；求最值时序号只能取允许的整数。
本页是高中课程基础。学后应能区分有限与无限数列，解释通项和递推，并在整数范围内比较候选最值。
需要会：显式给出定义域与对应关系，辨认同一函数并进行换元
通常从
函数不要求自变量连续变化。把数列看成函数，与初中的唯一对应观点相容；高中课标还明确强调数列与函数的联系，见引用中心。
等差数列
等比数列通常约定首项与公比均非零。
对数列本身不能直接求导。若另构造一个在实区间上可导、且在整数处与数列相同的函数，可以用其性质帮助研究数列；这需要说明延拓及适用范围。
从1开始编号；若为有限数列，还需n不超过项数。
这是恒等关系；n＝1需按首项处理，不涉及最值取等。
写出
可以用在
由前n项和求通项，检查首项。
要防止
把只对正整数给出的Sn公式代入0；遗漏n＝1。
知识讲解：数列的概念（定义在正整数集上的函数）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
递推为aₙ₊₁＝paₙ＋q，n为正整数；所列式取p不等于0或1。p＝1、p＝0见推导中的单独分支。
p不等于0、1时，选c＝pc＋q，得到aₙ₊₁−c＝p(aₙ−c)，逐次展开。p＝1时为等差列a₁＋(n−1)q；p＝0时从第二项起恒为q。若a₁＝c，保留常数解。
可以用在
一次线性递推、构造乘法递推。
要防止
p＝1仍除以1−p；p＝0时不检查首项；平移后全零仍强称等比数列。
知识讲解：数列的概念（定义在正整数集上的函数）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
无限等差数列首项20、公差−3，求前n项和的最大值（n为正整数）。
解与结论
aₙ=23−3n，Sₙ=−3n²/2+43n/2。相应实变量二次式的轴为43/6，最接近的正整数是7与8；S₇=77、S₈=76，最大值为77。也可看前7项正、从第8项开始均负，部分和先增后减。
序号只能取正整数；二次式帮助定位，但最终要比较合法整数候选。
不能把n=43/6当作数列的某个序号。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
判断
解与结论
严格递增。
aₙ₊₁−aₙ=(n+1)/(n+2)−n/(n+1)=1/[(n+1)(n+2)]>0；分母正是因为n≥1。
每一对相邻项都递增，连续比较即可推出任意后项大于前项。
不能只列前几项就把观察当成对所有项的证明。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
已知a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3（n为正整数），求通项并检验。
解与结论
寻找c=2c+3得到c=−3，因此aₙ₊₁+3=2(aₙ+3)。首项平移后为4，每次乘2，得aₙ+3=4·2ⁿ⁻¹，所以aₙ=2ⁿ⁺¹−3。n=1给1；代入右侧2aₙ+3得到2ⁿ⁺²−3，等于下一项。
平移消去常数项后，再从首项逐次相乘；首项和递推都须满足。
只找到一个常数解c=−3，不代表题给首项为1的数列就是该常数列。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
边界要分开：一般
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
无限等差数列首项20、公差−3，求前n项和的最大值（n为正整数）。
aₙ=23−3n，Sₙ=−3n²/2+43n/2。相应实变量二次式的轴为43/6，最接近的正整数是7与8；S₇=77、S₈=76，最大值为77。也可看前7项正、从第8项开始均负，部分和先增后减。
序号只能取正整数；二次式帮助定位，但最终要比较合法整数候选。
易错与反例
不能把n=43/6当作数列的某个序号。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数） · 二次函数。一道题出错只提供候选线索。
判断
严格递增。
aₙ₊₁−aₙ=(n+1)/(n+2)−n/(n+1)=1/[(n+1)(n+2)]>0；分母正是因为n≥1。
每一对相邻项都递增，连续比较即可推出任意后项大于前项。
易错与反例
不能只列前几项就把观察当成对所有项的证明。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数） · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。
已知a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+3（n为正整数），求通项并检验。
寻找c=2c+3得到c=−3，因此aₙ₊₁+3=2(aₙ+3)。首项平移后为4，每次乘2，得aₙ+3=4·2ⁿ⁻¹，所以aₙ=2ⁿ⁺¹−3。n=1给1；代入右侧2aₙ+3得到2ⁿ⁺²−3，等于下一项。
平移消去常数项后，再从首项逐次相乘；首项和递推都须满足。
易错与反例
只找到一个常数解c=−3，不代表题给首项为1的数列就是该常数列。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数） · 一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。
数列aₙ=2n+1的序号规定为n∈{1,2,3,4,5}。依次给出项数与第五项。
定义域有5个序号，所以共5项；a₅=2×5+1=11。
项数由允许的序号范围决定，不能只看通项式。
易错与反例
公式能算a₆，不表示题设已把第6项纳入这个有限数列。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数）。一道题出错只提供候选线索。
数列aₙ=(−1)ⁿ，n为正整数。下列判断正确的是哪项？
它不是函数，因为函数值反复出现
它是函数，每个正整数序号有唯一的一项
它必须严格单调
它的定义域是全部实数
B
每个合法序号都唯一得到1或−1，所以是函数；反复取同一值不破坏唯一对应。
函数限制一个输入的输出个数，不要求不同输入有不同输出。
易错与反例
数列的序号不是任意实数，也不能直接对该数列求实变量导数。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数）。一道题出错只提供候选线索。
只知道数列前三项为1、4、9，能否唯一确定第四项为16？给出一个不同的规则反驳。
不能；例如aₙ=n²+(n−1)(n−2)(n−3)的前三项相同，第四项为22。
当n=1、2、3时附加乘积为0；当n=4时附加乘积为6，得到16+6=22。规则n²则给16。
有限个已知项通常不能唯一确定整个无限数列，需要额外的规律或递推条件。
易错与反例
找到一种看起来简单的规律，不等于证明它是唯一规律。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数）。一道题出错只提供候选线索。
已知数列的前n项和Sₙ=n²+n（n为正整数），求通项。
n=1时a₁=S₁=2；n≥2时aₙ=Sₙ−Sₙ₋₁=n²+n−[(n−1)²+(n−1)]=2n。两部分一致，合并为aₙ=2n。
相邻部分和相减消去前n−1项；题设未给S₀时，首项单独确认。
易错与反例
未经说明不能把n=0代入只对正整数给出的公式。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数）。一道题出错只提供候选线索。
数列aₙ=(n−2.5)²，n为正整数。依次给出最小值，以及从小到大列出取得它的全部序号。
整数2、3离2.5最近，距离均为0.5，所以最小值0.25，在n=2和3都取到。其他正整数距离更大。
离散最值可能有两个同样近的整数候选，应逐一保留。
易错与反例
不能只按四舍五入选一个序号，也不能取非法序号2.5。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数）。一道题出错只提供候选线索。
数列a₁=2，aₙ₊₁=aₙ+3（n为正整数），求a₄。
从首项开始得到a₂=5、a₃=8、a₄=11。
从第1项走到第4项只有3次递推，而不是4次。
易错与反例
不能用2+4×3作答。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数）。一道题出错只提供候选线索。
已知Sₙ=3n−1（n为正整数），有人据Sₙ−Sₙ₋₁=3说所有aₙ都为3。请写出正确通项。
a₁=2；n≥2时aₙ=3。
首项a₁=S₁=2。对n≥2，相邻部分和相减得3；两段不同，须分段写。检查2+3(n−1)=3n−1，与给定部分和相符。
S₀作为空和应为0，不能用只适用于n≥1的表达式把它算成−1。
易错与反例
统一写aₙ=3会让第一项和S₁不符。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数列的概念（定义在正整数集上的函数）。一道题出错只提供候选线索。
递推移项、相邻差和整数最值的证明均在本页给出；等差等比求和的系统训练见后继知识。