随机变量及其分布

一句话

随机变量给每个试验结果一个数；先建立合法分布，再谈平均、波动及所用模型。

本页目标：建立离散分布列，计算期望方差，检查独立二项模型的条件。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 古典概型与概率的基本性质

  需要会：在有限等可能模型下计算概率，使用互斥、对立和独立关系

• 计数原理、排列与组合

  需要会：区分分类相加与分步相乘，判断排列组合是否有序并用二项式定理

• 函数的概念（对应说）

  需要会：显式给出定义域与对应关系，辨认同一函数并进行换元

概念与推导

本页定位：课程基础。

从事件到随机变量

随机变量是把基本结果映射成实数的函数。例如两次掷币的正面个数：四个有序结果映射为0、1、1、2。分布列把相同值对应的概率合并，故三个值未必等可能。每个概率非负，所有可能值的概率和为1；先检查这一点，再作计算。

期望是按概率加权的平均，表示模型的平均水平，不保证下一次出现该值。只取0和2且各半时，期望1根本不是可能结果。方差对离均差平方加权；它的单位是原量单位的平方，标准差开方后恢复原单位。

二项模型：三个条件一起满足

固定n次、各次相互独立、每次成功概率同为p，成功次数才服从二项分布B(n,p)。固定成功位置用概率相乘，不同位置用组合数计数；展开总概率和正好得到[p+(1−p)]ⁿ=1。每次同概率而互相依赖时，不能套用二项式。

不放回时换模型

从N个对象中等概率选n个不同对象，其中M个属于某类，抽中的该类个数服从超几何模型。分母计全部n元样本，分子分别选成功与失败。k不能超过现有成功数，也不能要求超过失败库存；这些范围比公式名字更重要。

正态模型：用区间面积解释概率

正态分布N(μ,σ²)是一种连续模型，中心μ决定位置，标准差σ>0决定宽窄。概率看曲线下某区间的面积，单点概率为0；曲线高度不是点概率。对称性使μ左右相等区间概率相同。把X标准化为Z=(X−μ)/σ后，可以使用标准正态表。

常用模型性质：中心一个、两个、三个标准差内的概率分别约为0.6827、0.9545、0.9973。这里使用给定表值，不要求用积分推导。是否适合正态模型要由数据和背景检查；看起来像钟形不能单独证明，平均值也不能代表每个人。

线性变换与多变量

Y=aX+b的期望为aE(X)+b，方差为a²D(X)。对多个变量，期望的可加性不需要独立；方差相加则需要交叉项为0，独立是一个充分条件。二项方差推导正是使用独立指示变量，不应遗漏该条件。

公式与条件

分布概率非负且总和1；二项模型要求独立同概率；超几何样本不放回并等概率；正态σ>0且参数记号为方差σ²。

$$E(X)=\sum _i{x}_i{p}_i,D(X)=\sum _i(x_i-E(X){)}^2{p}_i=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

成立条件

这里X只有有限个可能值xᵢ，pᵢ非负且总和为1。期望是概率加权的平均，未必是X可能取到的值；方差非负。

取等条件

方差为0当且仅当X以概率1等于同一个常数；零概率列出的值不影响结论。

从哪里来

期望把每个可能值按概率加权。方差对离均差平方加权，避免正负抵消。展开(xᵢ−E)²并使用Σpᵢ=1、Σxᵢpᵢ=E，即得E(X²)−E²。

适用场景与常见误用

可以用在

• 比较随机方案的平均收益与波动

• 检查分布列后计算数字特征

要防止

• 分布列概率不合法时不能照算

• E(X²)不等于[E(X)]²

• 期望不是对下一次结果的保证

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$$E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a^{2}D(X)$$

成立条件

a、b为实常数，所需期望方差存在。本页先用有限离散模型推导。

从哪里来

期望展开Σ(axᵢ+b)pᵢ=aΣxᵢpᵢ+bΣpᵢ。对方差，变换后离均差为a(xᵢ−E(X))，平方产生a²，常数平移b消失。

适用场景与常见误用

可以用在

• 换单位或调整收益

• 区分位置改变与离散程度改变

要防止

• 方差乘a²而不是a

• 整体加常数不改变方差

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k},E(X)=np,D(X)=np(1-p)$$

成立条件

n为正整数，进行n次相互独立、每次成功概率相同的试验，X为成功次数，k=0,…,n。0<p<1时直接用概率式；p=0或1时分布分别全部集中于0或n，避免把0⁰当普通幂计算。

从哪里来

固定k次成功的位置，独立性给路径概率pᵏ(1−p)ⁿ⁻ᵏ；可选成功位置有Cₙᵏ种。写X=I₁+⋯+Iₙ，每个成功指示量期望p、方差p(1−p)，期望相加得np，独立使不同指示量的离均差乘积期望为0，故方差相加。

适用场景与常见误用

可以用在

• 固定次数的独立重复试验

• 成功次数的分布与风险比较

要防止

• 不放回抽样通常不是二项分布

• 仅每次边际成功概率相同不足以保证独立

知识讲解：随机变量及其分布

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$$P(X=k)=\frac{C_M^k{C}_{N-M}^{n-k}}{C_N^n}$$

成立条件

总体N个不同对象，其中M个标为成功，0≤M≤N；从全部n元子集等概率抽取，0≤n≤N。整数k满足max(0,n−(N−M))≤k≤min(n,M)，范围外概率为0。

从哪里来

全部等可能n元样本有C_Nⁿ个。恰有k个成功，需要从M个成功中选k个、从N−M个失败中选n−k个，相互配对得到分子。抽取无放回，因此不能把每次成功概率保持为常数后连乘。

适用场景与常见误用

可以用在

• 不放回样本中的分类数量

• 核对抽样可取范围

要防止

• 不能使用超过总体库存的k

• 此模型要求各个无序样本等概率，而不只是含糊地称随机

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2),\sigma >0\Rightarrow Z=\frac{X-\mu }{\sigma }\sim N(0,1)$$

成立条件

正态模型是连续分布，概率用区间面积表示，单个点的概率为0。μ是均值，σ是标准差，第二个分布参数σ²是方差。数据是否适合正态模型要另检验。

从哪里来

先平移μ把中心移到0，再除以正标准差σ把尺度变为1。正态分布族在这一变换下形状一致，因此可统一用标准正态表计算区间概率；其密度归一和矩性质属于进一步的积分结论，此处作为模型性质使用。

适用场景与常见误用

可以用在

• 使用给定正态概率表

• 比较不同均值和尺度的区间

要防止

• 钟形外观不足以证明正态

• 不能把标准差与方差互换

• 曲线的高度不是某一点的概率

知识讲解：随机变量及其分布

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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典型例题

例 1（从掷币到分布列）

独立掷两枚均匀硬币，以X表示正面个数。写分布列并求期望、方差。

解与结论

P(X=0)=1/4，P(X=1)=1/2，P(X=2)=1/4；E(X)=1，D(X)=1/2。

1. 四个等可能有序结果给0、1、1、2个正面。E=0/4+1/2+2/4=1；E(X²)=0+1/2+4/4=3/2，减去1²得1/2。

   为什么这样做

   X把基本结果映射为数量；同一个值可以合并多个基本结果，其概率要相加。

易错与反例

• 不能把X的三个值视为三个等可能结果。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（二项概率的成功位置）

4次相互独立试验，每次成功概率1/4，求恰好成功2次的概率。

解与结论

$\frac{27}{128}$

1. 成功位置有C₄²=6种，每条路径概率(1/4)²(3/4)²，乘得54/256=27/128。

   为什么这样做

   相同次数的不同成功位置是互斥的，且因独立同概率而可合并。

易错与反例

• 只算一条成功路径会漏掉其他位置。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（相同边际概率仍可能依赖）

只掷一次均匀硬币，再把同一结果复制成两个记录。每个记录为正面的概率都是1/2。正面记录数X服从B(2,1/2)吗？

解与结论

不服从。X只取0、2，各概率1/2；E(X)=1但X不可能取1。

1. 两个记录总相同，不独立；二项模型本会给P(X=1)=1/2，与实际0矛盾。

   为什么这样做

   相同边际概率不能代替共同独立；期望也不必是可能结果。

易错与反例

• 不能把记录次数当作独立试验次数。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 期望未必可取，不是下一次结果预测。
• 方差、标准差、均值单位不同；平移不改变方差。
• 不放回或试验互相影响时，不直接套二项模型。
• 连续密度的高度不是概率，给定近似表值的计算仍是近似。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

独立掷两枚均匀硬币，以X表示正面个数。写分布列并求期望、方差。

我的思路（本页草稿）

查看答案

P(X=0)=1/4，P(X=1)=1/2，P(X=2)=1/4；E(X)=1，D(X)=1/2。

查看逐步解析与易错点

1. 四个等可能有序结果给0、1、1、2个正面。E=0/4+1/2+2/4=1；E(X²)=0+1/2+4/4=3/2，减去1²得1/2。

   为什么这样做

   X把基本结果映射为数量；同一个值可以合并多个基本结果，其概率要相加。

易错与反例

• 不能把X的三个值视为三个等可能结果。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

4次相互独立试验，每次成功概率1/4，求恰好成功2次的概率。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{27}{128}$

查看逐步解析与易错点

1. 成功位置有C₄²=6种，每条路径概率(1/4)²(3/4)²，乘得54/256=27/128。

   为什么这样做

   相同次数的不同成功位置是互斥的，且因独立同概率而可合并。

易错与反例

• 只算一条成功路径会漏掉其他位置。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

只掷一次均匀硬币，再把同一结果复制成两个记录。每个记录为正面的概率都是1/2。正面记录数X服从B(2,1/2)吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不服从。X只取0、2，各概率1/2；E(X)=1但X不可能取1。

查看逐步解析与易错点

1. 两个记录总相同，不独立；二项模型本会给P(X=1)=1/2，与实际0矛盾。

   为什么这样做

   相同边际概率不能代替共同独立；期望也不必是可能结果。

易错与反例

• 不能把记录次数当作独立试验次数。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

X取1、2、4的概率依次为1/2、1/4、1/4。依次求E(X)、D(X)。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,\frac{3}{2})$

查看逐步解析与易错点

1. 概率和为1。E=1/2+2/4+4/4=2；E(X²)=1/2+4/4+16/4=11/2，故D=11/2−4=3/2。

   为什么这样做

   先检验分布，再分别计算一阶与二阶加权和。

易错与反例

• E(X²)不能直接写成E(X)²。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

已知E(X)=2、D(X)=4，令Y=3X−2。依次求E(Y)、D(Y)。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(4,36)$

查看逐步解析与易错点

1. E(Y)=3×2−2=4；D(Y)=3²×4=36。

   为什么这样做

   平移改变均值但不改变离均差，尺度乘3使平方离差乘9。

易错与反例

• 方差不是3×4−2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

5个球中2红3白，等概率选取2个不同球组成的样本。求恰有1红球的概率。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{3}{5}$

查看逐步解析与易错点

1. 全部样本C₅²=10；1红1白有C₂¹C₃¹=6，概率6/10=3/5。

   为什么这样做

   无序样本均匀且不放回，可按组合数计算；可取红球数为0、1、2。

易错与反例

• 若把两次抽取当成功概率始终2/5的独立试验，会用错模型。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

假设X服从N(100,15²)，已知P(85≤X≤115)约为0.68。求P(100<X≤115)的近似值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$0.34$

查看逐步解析与易错点

1. 正态分布关于100对称，中心左右区间面积相等，所求约为0.68/2=0.34。

   为什么这样做

   连续分布单点概率0，不影响是否包含端点100；15是标准差。

易错与反例

• 不能把高度或区间宽度直接当概率。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

有人给出分布列：X取0、1、2的概率分别为0.2、0.5、0.4。能否据此作为有效分布计算期望？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，概率和为1.1，分布列不合法。

查看逐步解析与易错点

1. 三种值已声称涵盖X全部取值，但概率总和0.2+0.5+0.4=1.1，违反总概率为1。应先核对数据或是否重复分类。

   为什么这样做

   概率必须非负且互斥完整取值的概率和为1，不能只看每项都在0到1之间。

易错与反例

• 直接归一会创建另一个模型，不能擅自当成原题给定的分布。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

3次相互独立试验，每次成功概率2/5，求恰成功2次的概率。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{36}{125}$

查看逐步解析与易错点

1. 成功位置C₃²=3种，概率3(2/5)²(3/5)=36/125。

   为什么这样做

   恰2次要同时指定另1次失败；位置不同的事件互斥相加。

易错与反例

• 不能把至少2次也一并纳入。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

X取0、2、4的概率依次为1/4、1/2、1/4。依次求期望与方差。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2,2)$

查看逐步解析与易错点

1. E=0+1+1=2；D=[(0−2)²+(4−2)²]/4=2，中间值的离均差为0。

   为什么这样做

   方差按各值离均差的平方与概率加权，不能只对取值做普通平均。

易错与反例

• 分布对称可帮助求均值，但方差仍要计算。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：随机变量及其分布。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 统计推断（成对数据分析、回归与独立性检验）

依据

课程依据：高中：概率、计数与随机变量。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。