建模把现实问题写成可检查的数学关系，再把答案放回现实检验和修正。
本页目标：提出假设、选择模型、计算解释并用数据或反例检验模型。按已经学过的内容选择基础或提高题。
本页定位：课程基础。
先说明要回答什么：比较费用、估计高度还是预测数量。定义变量、单位、时间范围与合法取值，再写出假设。例如按页收费的页数是非负整数，水量计算需要统一秒与分钟，测影需要同一时刻、平地和竖直对象。
假设不是偷偷省略的信息。把哪些变化暂时忽略写出来，才能知道模型何时需要改。固定费加按量费产生一次关系，不同收费区间产生分段关系；几何比例需要证明对应三角形相似，不能只因图看起来相近就套比值。
费用相等点只是分界，还需比较两侧并检查实际数量。连续函数顶点若在小数位置，不一定是整数决策可选项；要比较相邻合法整数。面积、体积随长度缩放分别按平方、立方变化，最后还要正确换单位。
本页三个例题分别展示费用比较、相似测量及预测失配，练习再处理流量单位、分段计价、面积缩放和离散优化。每道情境题的数据和规则均为自编假设，不冒充真实收费或实测研究。
代回方程能检查数学运算；与新的现实观察比较能检查模型假设，两种检查不同。仅凭两个时点翻倍，不能证明未来持续指数增长。观测28而预测40时，应检查记录误差、环境变化和固定倍数假设，而不是把观测改成预测。
拟合后检查残差的方向与结构，必要时保留一部分数据作独立验证。样本选择偏差、测量误差和超出已观察范围都可能影响解释。模型应报告适用范围及误差，不能仅以图像贴合或一次命中宣称普遍规律。
发现失配后，优先确定哪条假设不再成立，再选择是否增加变量、改变关系或缩小适用区间。新模型也要接受新数据检验；不是越复杂就越好。
一份完整建模说明应能回答：问题是什么，数据从何而来，用了哪些假设，变量和关系是什么，怎样计算，答案意味着什么，哪些观察支持或反驳模型。可以先做一个可检查的小模型，再逐步改进。
没有一条万能建模公式。可行域、单位、假设、数据获取与回代检验共同构成判定条件；实际问题改变时重新检查它们。
自编打印收费模型：甲方案固定费30元，另每页0.1元；乙无固定费，每页0.4元。设页数n为非负整数，求费用相等的页数，并比较打印150页的选择。
解与结论
100页费用相等，均40元；150页甲45元、乙60元，甲便宜15元。
建立C甲=30+0.1n、C乙=0.4n。相等时0.3n=30，n=100为合法整数。再代150比较，不因交点已经求出就省略具体费用。
变量、单位、可行域与收费假设共同决定模型；交点只给分界。
不能把固定费当每页费，也不能允许半页打印后不作解释。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
同一时刻平地上，竖直标杆高1.6米、影长2.4米；竖直树的影长9米。假设太阳光平行，求树高（米）。
解与结论
两个直角三角形有相同太阳光夹角，故相似；树高/9=1.6/2.4，得6米。
同一时刻、平地、竖直与平行光保证对应角条件，才能比较相应边比。
不同时间测影或坡面上直接套比例可能不符合模型。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
自编观测：t=0、1时数量分别10、20。提出N(t)=10×2ᵗ，预测t=2为40，实际观测28。应该怎样检查模型？
解与结论
先检查记录与单位，再检验“每单位时间翻倍”假设；差值28−40=−12说明该次预测偏高，不能仅改答案成28继续宣称原模型有效。
两个点能与多个模型一致，不能证明指数增长会持续。应补充更多时点、检查环境和容量变化，再比较修改后的模型能否解释新数据。
建模包含与未参与拟合的数据对照；计算正确不保证假设适合现实。
不能用前两个点的拟合当作所有未来时刻的证明。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
自编打印收费模型：甲方案固定费30元，另每页0.1元；乙无固定费，每页0.4元。设页数n为非负整数，求费用相等的页数，并比较打印150页的选择。
100页费用相等，均40元；150页甲45元、乙60元，甲便宜15元。
建立C甲=30+0.1n、C乙=0.4n。相等时0.3n=30，n=100为合法整数。再代150比较，不因交点已经求出就省略具体费用。
变量、单位、可行域与收费假设共同决定模型；交点只给分界。
易错与反例
不能把固定费当每页费，也不能允许半页打印后不作解释。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数学建模与探究。一道题出错只提供候选线索。
同一时刻平地上，竖直标杆高1.6米、影长2.4米；竖直树的影长9米。假设太阳光平行，求树高（米）。
两个直角三角形有相同太阳光夹角，故相似；树高/9=1.6/2.4，得6米。
同一时刻、平地、竖直与平行光保证对应角条件，才能比较相应边比。
易错与反例
不同时间测影或坡面上直接套比例可能不符合模型。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
自编观测：t=0、1时数量分别10、20。提出N(t)=10×2ᵗ，预测t=2为40，实际观测28。应该怎样检查模型？
先检查记录与单位，再检验“每单位时间翻倍”假设；差值28−40=−12说明该次预测偏高，不能仅改答案成28继续宣称原模型有效。
两个点能与多个模型一致，不能证明指数增长会持续。应补充更多时点、检查环境和容量变化，再比较修改后的模型能否解释新数据。
建模包含与未参与拟合的数据对照；计算正确不保证假设适合现实。
易错与反例
不能用前两个点的拟合当作所有未来时刻的证明。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
水流恒为5升/分钟，持续120秒；忽略启动与流量变化。求流出水量（升）。
120秒=2分钟，体积5×2=10升；也可V=5t/60，t以秒计。
相乘前把时间单位与流量分母统一，公式才有体积单位。
易错与反例
直接5×120得到的数值没有正确消去分钟与秒的差别。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数学建模与探究。一道题出错只提供候选线索。
自编计价规则：起步3千米以内10元，超过部分每千米2元，按实际距离连续计价且无其他费用。4.5千米收费多少元？
超出4.5−3=1.5千米，费用10+2×1.5=13元。
只对超出起步范围的距离另收费，模型是分段规则。
易错与反例
不能对全部4.5千米重复收每千米费用，也不擅自引入取整收费。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数学建模与探究。一道题出错只提供候选线索。
几何模型与实物相似，长度比例模型:实物=1:50。模型某块面积12平方厘米，对应实物面积多少平方米？
面积比为1:2500，实物面积12×2500=30000平方厘米=3平方米。
相似形面积按长度比例的平方变化，再按1平方米=10000平方厘米换单位。
易错与反例
面积不能只乘50，也不能把平方厘米按100直接换成平方米。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
自编收益模型R(n)=10−(n−2.4)²，数量n只能取0到5的整数。依次求最优n和最大模型收益。
离2.4最近的合法整数为2（距离0.4），相邻3距离0.6，更远整数距离更大；R(2)=10−0.16=9.84。
模型最大化等价于最小化平方距离，但可行域是整数，不能直接取实数顶点。
易错与反例
n=2.4不是合法数量，不能报收益10为可取得最大值。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数学建模与探究。一道题出错只提供候选线索。
模型ŷ=10+2x用于数据(1,13)、(2,16)、(3,19)。三个残差逐渐增大，应检查什么？
残差为1、2、3，提示模型可能低估随x增长的趋势；需检查斜率、变量遗漏或模型形式，并用更多独立数据验证。
实际值减拟合值分别为13−12、16−14、19−16。残差有方向性变化，不能只报告一个总误差而忽略结构。
残差提供修正假设的线索，单组样本不能保证某一替代模型永远正确。
易错与反例
把斜率调到恰好拟合已有点，不代表未来预测一定可靠。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数学建模与探究 · 统计推断（成对数据分析、回归与独立性检验）。一道题出错只提供候选线索。
水流恒为3升/分钟，持续150秒，忽略启动过程。求水量（升）。
150秒=2.5分钟，水量3×2.5=7.5升。
所用时间单位必须与流量单位匹配，结果仍依赖流量恒定假设。
易错与反例
把150直接当分钟会放大60倍。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数学建模与探究。一道题出错只提供候选线索。
同一时刻平地上竖直标杆高1.5米、影长2米，竖直树影长10米。平行光条件下求树高（米）。
相似给树高/10=1.5/2，故树高7.5米。
对应的高与影长取同一种顺序，平行光和直角条件支持相似。
易错与反例
不能倒用一组比而保持另一组不变。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
自编收益模型R(n)=12−(n−3.6)²，n只能取0到6的整数。依次求最优n与最大模型收益。
比较离3.6最近的整数3、4，距离分别0.6、0.4；更远的整数收益更小。所以n=4，R=12−0.16=11.84。
在整数可行域内最小化平方距离，不能直接取实数顶点。
易错与反例
3.6虽是连续模型顶点，却不是合法数量。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。
回补：数学建模与探究。一道题出错只提供候选线索。
本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。
课程依据：高中：数学建模与探究。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。