三角函数与单位圆

本页把锐角范围的边比扩展为任意角的单位圆坐标，同时说明两种表示在锐角范围内相容。它不依赖“初中函数定义错误”的说法。

一句话

用单位圆交点的坐标定义任意角的正弦、余弦，用坐标之比定义有意义的正切。

符号、诱导关系、周期性和同角平方关系都可以由坐标及圆的对称性推导、核对。

---

前置知识

• 函数的概念（对应说）

  需要会：显式给出定义域与对应关系，辨认同一函数并进行换元

• 锐角三角函数

  需要会：借相似说明锐角边比不变，解直角三角形并检查边的对应

概念与推导

从锐角边比扩展到任意角

初中：在直角三角形中，$\sin A={\displaystyle \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}}$。

这里的 $A$ 特指直角三角形中选取的锐角，所以范围是 $0°<A<90°$。一般三角形当然可以有直角或钝角；受限制的是这套锐角边比定义，不是所有三角形的内角。

对于 $\sin 120°$、$\cos (-30°)$、$\tan {\displaystyle \frac{5\pi }{3}}$，角度超出了锐角边比的适用范围，需要扩展定义。

旋转方向与弧度

把始边放在x轴正半轴，逆时针旋转记正，顺时针记负；允许超过一整圈。两个角相差整数圈时终边相同，但记录的有向旋转量可以不同。

弧度把转角与圆弧长度联系起来：半径为r时，一段长度r的弧所对的圆心角大小是1弧度。一整圈是 $2\pi$ 弧度，也就是360°，所以180°对应 $\pi$ 弧度。例如90°为 $\pi /2$，顺时针转90°可记为 $-\pi /2$。涉及多圈或负角时，弧长按方向累计，而非只量最后终边与始边之间的短弧。

新定义

在平面直角坐标系中作单位圆（圆心在原点、半径为 $1$）。角 $\alpha$ 的终边与单位圆交于点 $P(x,y)$，规定：

$$\cos \alpha =x,\sin \alpha =y,\tan \alpha =\frac{y}{x}(x\ne 0)$$

正弦、余弦直接读取坐标；正切的比值还要检查分母是否为0。

从坐标读出性质

问题	单位圆下的答案
任意角有没有定义	正弦、余弦有；正切还需终边不在 $y$ 轴上
符号怎么记	看点在第几象限，坐标符号即函数符号
${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ 为什么	$x^2+y^2=1$，就是单位圆方程
周期性从哪来	终边转一圈回到原处，坐标不变
诱导公式为什么成立	终边关于坐标轴或原点对称，坐标相应变号
图象怎么来	点绕圆运动，纵坐标随角度的变化

诱导公式可以结合坐标轴、原点对称来核对；涉及 $\pi /2$ 的平移时还要注意横纵坐标的交换。使用口诀时，仍应检查角的单位、象限以及函数是否有定义。

与初中定义相容

锐角时，终边与单位圆的交点 $P(x,y)$ 向 $x$ 轴作垂线，得到一个斜边为 $1$ 的直角三角形。此时

$$\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{y}{1}=y=\sin \alpha$$

两种定义在锐角范围内得到相同的值；单位圆定义把这个范围继续扩展。

---

公式与适用场景

弧度与角度

$$\theta =\frac{s}{r},{180}^{\circ }=\pi \mathrm{rad}$$

成立条件

半径r>0；s为按逆时针正方向累计的有向弧长，可含整圈；θ为弧度数。普通弧长非负时对应角的大小。

从哪里来

一整圈弧长为2πr，所以整圈的弧度数为2πr/r=2π；同一整圈为360°，故180°对应π弧度。

适用场景与常见误用

可以用在

• 把度数乘π/180转为弧度

• 用累计转角表达同终边角和三角函数周期

要防止

• 不能把180°直接当作180弧度

• 只给几何短弧时，不能忽略旋转方向与已绕过的整圈

知识讲解：任意角与单位圆定义

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

单位圆定义

$$\cos \alpha =x,\sin \alpha =y,\tan \alpha =y/x$$

成立条件

P(x,y)为角α终边与单位圆交点。正弦余弦允许任意实角；正切还需x≠0。

从哪里来

锐角时单位圆半径1是直角三角形的斜边，坐标比值与原锐角边比相同；用终边坐标便可扩展到任意角。

适用场景与常见误用

可以用在

• 任意角三角函数值、符号、对称与周期。

要防止

• 把一般三角形内角误限为锐角；认为正切也对所有角有定义。

知识讲解：任意角与单位圆定义

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

同角三角函数平方关系

$${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$$

成立条件

任意实角α；两项必须是同一个角。

从哪里来

单位圆点坐标为(cosα,sinα)，代入x²＋y²＝1即得。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求另一三角函数值、恒等变形。

要防止

• 开平方时忘记象限决定符号；不同角直接相加用该式。

知识讲解：任意角与单位圆定义

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（任意角）

用单位圆求sin150°、cos150°，按此顺序作答。

解与结论

$(\frac{1}{2},-0.5\sqrt{3})$

1. 150°与30°的单位圆点关于y轴对称，纵坐标相同、横坐标相反，故sin150°=1/2，cos150°=−√3/2。

   为什么这样做

   正弦读纵坐标、余弦读横坐标；第二象限横负纵正。

易错与反例

• 不能把两个坐标都取正；150°不是直角三角形中的锐角。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（已知一个求另一个）

α是第二象限角，sinα=3/5，求cosα。

解与结论

$-\frac{4}{5}$

1. 由平方关系得cos²α=1−9/25=16/25；第二象限横坐标为负，所以cosα=−4/5。

   为什么这样做

   单位圆方程给出大小，象限给出符号，两者都需要。

易错与反例

• 不能开方后只保留正号。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（终边在坐标轴上）

求sin450°、cos450°、tan450°，并用单位圆说明。

解与结论

sin450°=1，cos450°=0，tan450°无定义。

1. 450°与90°同终边，单位圆交点为(0,1)。正弦与余弦分别读1和0；正切要作1/0，故无定义。

   为什么这样做

   正弦、余弦对任意角有意义，正切还要求横坐标非零。

易错与反例

• 不能把正切无定义写成0，也不能说三个函数都无定义。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	根因	怎么改
钝角仍套直角三角形	停留在旧定义	画单位圆
开方不判符号	忽略象限条件	象限决定坐标符号
死背诱导公式且记混	没用对称理解	画图对称一次即可重推
$\tan$ 忘记 $x\ne 0$	只记比值形式	终边落在 $y$ 轴上时无定义

---

衔接提示

衔接提示：从锐角边比到任意角

单位圆定义扩展正弦余弦的自变量范围，在锐角范围内与边比一致；正切仍有除零限制。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：锐角三角函数 · 任意角与单位圆定义。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 提高 · 独立练习

求 $\sin {120}^{\circ }$，并说明采用的定义。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\sin {120}^{\circ }=\sqrt{3}/2$。用单位圆交点的纵坐标定义，120°与60°终边关于纵轴对称。

查看逐步解析与易错点

1. 120°终边在第二象限，单位圆点的纵坐标为正。

   为什么这样做

   钝角不能直接当成直角三角形中的锐角处理。

2. 与60°关于纵轴对称，纵坐标不变，故正弦为 $\sqrt{3}/2$。

   为什么这样做

   单位圆对称给出诱导关系，而非只凭口诀。

易错与反例

• 写出数值但把120°当成直角三角形内的锐角。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 提高 · 独立复测

求 $\sin {210}^{\circ }$，用单位圆解释正负号。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-1/2$。210°终边在第三象限，单位圆纵坐标为负；与30°相差180°，坐标取相反数。

查看逐步解析与易错点

1. 210°=180°+30°，对应点与30°单位圆点关于原点对称。

   为什么这样做

   先定位象限和几何对称，避免只猜符号。

2. 纵坐标为 $-\sin {30}^{\circ }=-1/2$。

   为什么这样做

   正弦由纵坐标定义，第三象限纵坐标为负。

易错与反例

• 把第三象限的正切为正混成正弦为正。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

用单位圆求sin150°、cos150°，按此顺序作答。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(\frac{1}{2},-0.5\sqrt{3})$

查看逐步解析与易错点

1. 150°与30°的单位圆点关于y轴对称，纵坐标相同、横坐标相反，故sin150°=1/2，cos150°=−√3/2。

   为什么这样做

   正弦读纵坐标、余弦读横坐标；第二象限横负纵正。

易错与反例

• 不能把两个坐标都取正；150°不是直角三角形中的锐角。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

α是第二象限角，sinα=3/5，求cosα。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-\frac{4}{5}$

查看逐步解析与易错点

1. 由平方关系得cos²α=1−9/25=16/25；第二象限横坐标为负，所以cosα=−4/5。

   为什么这样做

   单位圆方程给出大小，象限给出符号，两者都需要。

易错与反例

• 不能开方后只保留正号。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

求sin450°、cos450°、tan450°，并用单位圆说明。

我的思路（本页草稿）

查看答案

sin450°=1，cos450°=0，tan450°无定义。

查看逐步解析与易错点

1. 450°与90°同终边，单位圆交点为(0,1)。正弦与余弦分别读1和0；正切要作1/0，故无定义。

   为什么这样做

   正弦、余弦对任意角有意义，正切还要求横坐标非零。

易错与反例

• 不能把正切无定义写成0，也不能说三个函数都无定义。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

角α的终边与单位圆交于P(−3/5,−4/5)，依次求sinα、cosα、tanα。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\frac{4}{5},-\frac{3}{5},\frac{4}{3})$

查看逐步解析与易错点

1. 正弦取纵坐标−4/5，余弦取横坐标−3/5，正切为(−4/5)/(−3/5)=4/3。

   为什么这样做

   两个坐标平方和为1，点在第三象限；正切同号相除为正。

易错与反例

• 正切为正不说明正弦、余弦也为正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

将300°写成kπ弧度，求系数k。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{5}{3}$

查看逐步解析与易错点

1. 300°×π/180°=5π/3，所以k=5/3。

   为什么这样做

   180°对应π弧度，用相同角度单位之间的比例换算。

易错与反例

• 300°不等于300弧度。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

在[0,2π)内，与−π/4同终边的角写成kπ，求k。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{7}{4}$

查看逐步解析与易错点

1. −π/4+2π=7π/4，处于[0,2π)，所以k=7/4。

   为什么这样做

   同终边角相差整圈2π，负角表示顺时针旋转。

易错与反例

• 同终边不等于两个角的有向旋转量相同。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 提高 · 独立练习

只知道sinα=1/2，能唯一确定α=30°吗？给出另一个不同角说明。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；例如α=150°也满足，此外还可加整圈。

查看逐步解析与易错点

1. 30°与150°的单位圆点有相同纵坐标，因此正弦相同；相差360°的同终边角也给相同坐标。

   为什么这样做

   输出相同不保证输入唯一，需要给角度范围及其他条件才能进一步确定。

易错与反例

• 不能只根据特殊角表中的一个值就宣布解唯一。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

α为第四象限角，cosα=5/13，求sinα。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-\frac{12}{13}$

查看逐步解析与易错点

1. sin²α=1−25/169=144/169；第四象限纵坐标为负，因此sinα=−12/13。

   为什么这样做

   平方关系确定绝对值，象限确定正负号。

易错与反例

• 不能沿用cosα为正就把sinα也取正。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：任意角与单位圆定义。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 三角函数的图象与性质
• 三角恒等变换
• 平面向量

依据

课程依据：高中：三角函数与恒等变换。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。