复数

一句话

复数用两个实坐标扩充数的表示，使i²=−1成立；运算相容，大小顺序与根式条件须重新检查。

本页目标：用有序实数对定义复数，计算四则、共轭与模，理解数系扩张。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 二次根式

  需要会：使用非负平方根、绝对值与有理化，检查定义域

• 整式的乘法与乘法公式

  需要会：用分配律展开多项式，推导平方及立方公式

• 平面直角坐标系

  需要会：用有序数对定位，解释象限、轴上点与坐标变化

概念与推导

本页定位：课程基础。

从方程动机到有序数对

在实数中x²+1=0无解，因为实数平方非负。为扩充解方程的范围，可将有序实数对(a,b)作为新对象，定义加法为(a+c,b+d)，乘法为(ac−bd,ad+bc)。把(a,0)认作实数a、(0,1)记为i，就有i²=−1，每一对可写成a+bi。

这种定义与原实数运算相容；交换、结合、分配律可逐坐标展开核对。a、b都必须是实数，称a为实部、b为虚部。b=0时是实数；a=0且b≠0时是纯虚数。复数相等要求实部、虚部分别相等。

复平面的几何表示

横轴放实部、纵轴放虚部，z=a+bi对应点(a,b)。模|z|是这个点到原点的距离；共轭把虚部变号，是关于实轴的反射。乘i把(a,b)变成(−b,a)，即绕原点逆时针转90°，保持距离。

除法与非零条件

非零复数c+di的共轭是c−di，两者积为c²+d²>0，因此能构造倒数。商的分子分母同时乘共轭，再分别合并实部与虚部。原分母为0时没有倒数，不能依靠形式上的共轭相乘掩盖这一点。

哪些规则不能直接搬过来

复数没有与实数大小顺序同时兼容加法、乘法的全序：若仍要求所有平方非负，就会与i²=−1冲突。可以比较模的大小，但那是比较两个非负实数，不能代替复数本身的大小。

实数根式乘法的非负条件也不能无条件扩展。约定√(−1)=i后，√(−1)√(−1)=−1，而√1=1。方程z²=−1的两个解是±i；一个主值记号与方程全部解不是同一件事。

数系扩张由解决某些问题的需要推动，但不是“旧数系错误”。实数仍是复数中的一部分，原实数定义域中的结论保留其原条件。

公式与条件

标准形式的两个系数为实数；纯虚数要求虚部非零；除法的复分母非零；模是非负实数，不给复数引入通常大小序。

$$(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$$

成立条件

a、b、c、d为实数，i²=−1。减法按实部、虚部分别相减；复数相等当且仅当两部分分别相等。

从哪里来

把a+bi视为有序实数对(a,b)。加法按坐标相加，乘法定义为(ac−bd,ad+bc)，与实数运算相容并给i²=−1。按分配律展开写法后，将i²替换为−1即得乘积公式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 复数代数式的化简

• 把乘i解释为坐标(a,b)变成(−b,a)

要防止

• i²不能当作1

• 虚部是实数b，不是bi

知识讲解：复数的表示与运算

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i$$

成立条件

a、b、c、d为实数，分母c+di≠0，即c、d不同时为0。

从哪里来

分子分母同时乘共轭c−di，分母变为c²+d²>0，分子展开得到(ac+bd)+(bc−ad)i。所乘共轭非零，因此是合法等价变形。

适用场景与常见误用

可以用在

• 把商整理成实部与虚部

• 核对分母为零的参数

要防止

• 不能只给分母乘共轭

• 分母c²+d²为正的前提是原复数非零

知识讲解：复数的表示与运算

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$$\bar{z}=a-bi,|z|=\sqrt{a^2+b^2},z\bar{z}=|z{|}^2,|zw|=|z||w|$$

成立条件

z=a+bi、w=c+di。模为复平面点到原点的距离，非负；共轭是关于实轴的反射。乘积模公式包括零复数。

从哪里来

坐标(a,b)到原点的距离由勾股给出。z乘共轭展开为a²+b²。乘法坐标满足(ac−bd)²+(ad+bc)²=(a²+b²)(c²+d²)，两边开非负平方根即得乘积模。

适用场景与常见误用

可以用在

• 几何表示与距离

• 检查乘i保持模不变

• 用共轭处理除法

要防止

• 模是实数，不能把复数本身按大小排序

• |z+w|通常不等于|z|+|w|

知识讲解：复数的表示与运算

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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典型例题

例 1（分别相加）

计算(2−3i)+(−1+5i)，依次填结果的实部与虚部。

解与结论

$(1,2)$

1. 实部2−1=1，虚部−3+5=2，结果1+2i。

   为什么这样做

   实部和虚部分别对应两个实坐标。

易错与反例

• 虚部填2，不是2i。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（展开并用i平方）

计算(1+2i)(3−i)，依次填实部与虚部。

解与结论

$(5,5)$

1. 展开为3−i+6i−2i²=5+5i。

   为什么这样做

   使用分配律展开，再用i²=−1合并同类项。

易错与反例

• −2i²=2，不是−2。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（分母非零再乘共轭）

计算(2+i)/(1−i)，依次填实部与虚部。

解与结论

$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

1. 分子分母乘1+i，分母2，分子(2+i)(1+i)=1+3i，所以为1/2+(3/2)i。

   为什么这样做

   原分母非零，共轭相乘得到正实数，使商能按两部分整理。

易错与反例

• 不能只给分母乘共轭，分子也须同时相乘。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 虚部是b而不是bi；共轭只改变虚部符号。
• 模相同的复数可以不同，例如1与−1。
• 方程两根与某个根式主值不同；不要无条件延用实数根式法则。

衔接提示

衔接提示：数系扩张的问题动机

负数、无理数和复数解决不同问题。加减乘除封闭、方程可解与完备性不是同一个性质。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：有理数 · 实数 · 复数的表示与运算。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

计算(2−3i)+(−1+5i)，依次填结果的实部与虚部。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(1,2)$

查看逐步解析与易错点

1. 实部2−1=1，虚部−3+5=2，结果1+2i。

   为什么这样做

   实部和虚部分别对应两个实坐标。

易错与反例

• 虚部填2，不是2i。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

计算(1+2i)(3−i)，依次填实部与虚部。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(5,5)$

查看逐步解析与易错点

1. 展开为3−i+6i−2i²=5+5i。

   为什么这样做

   使用分配律展开，再用i²=−1合并同类项。

易错与反例

• −2i²=2，不是−2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

计算(2+i)/(1−i)，依次填实部与虚部。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(\frac{1}{2},\frac{3}{2})$

查看逐步解析与易错点

1. 分子分母乘1+i，分母2，分子(2+i)(1+i)=1+3i，所以为1/2+(3/2)i。

   为什么这样做

   原分母非零，共轭相乘得到正实数，使商能按两部分整理。

易错与反例

• 不能只给分母乘共轭，分子也须同时相乘。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

实数x、y满足(x+1)+(2y−3)i=4+5i，依次求x、y。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3,4)$

查看逐步解析与易错点

1. 实部相等给x+1=4，虚部相等给2y−3=5，故x=3、y=4。

   为什么这样做

   标准表示中的两个系数均为实数，分别比较才与复数相等定义一致。

易错与反例

• 不能只比较模；模相等不保证复数相等。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

z=−3+4i。依次填共轭的实部、虚部及|z|。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-3,-4,5)$

查看逐步解析与易错点

1. 共轭为−3−4i，模√(9+16)=5。

   为什么这样做

   共轭只反射虚坐标，模是原点距离。

易错与反例

• 共轭不是把实部、虚部都变号。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

在复数范围解z²+4=0，并说明是否已列出全部解。

我的思路（本页草稿）

查看答案

z=2i或z=−2i。

查看逐步解析与易错点

1. 因式分解为(z−2i)(z+2i)=0。复数中非零数有倒数，所以零乘积必有一个因子为0，得到两根；代回均满足。

   为什么这样做

   扩张数系后保留域的运算性质，方程解可以包含非实数。

易错与反例

• 不能沿用“实数平方非负”来宣布复数范围也无解。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

a为实数，z=(a−2)+(a²−4)i。是否存在a使z为纯虚数（虚部非零）？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不存在。

查看逐步解析与易错点

1. 实部0迫使a=2，此时虚部a²−4也为0，z=0属于实数，不符合本题纯虚数定义。

   为什么这样做

   纯虚数要求实部为0且虚部非零，两个条件必须同时满足。

易错与反例

• 只解实部为0会误把零复数算成纯虚数。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

在复数中约定√(−1)=i、√1=1后，能把实数规则√a√b=√(ab)无条件用于a=b=−1吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能；左边i²=−1，右边√1=1。

查看逐步解析与易错点

1. 实数中该平方根乘法规则使用非负被开方数。扩展到复数及选定平方根后，原条件不再自动满足，代入就给反例。

   为什么这样做

   数系扩张保留许多运算规律，但带有取主值或非负条件的规则须重新检查。

易错与反例

• 不能因为形式相同就省略原规则的条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

计算(3−i)(2+i)，依次填实部、虚部。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(7,1)$

查看逐步解析与易错点

1. 展开得6+3i−2i−i²=7+i。

   为什么这样做

   先分配，再用i²=−1合并实部与虚部。

易错与反例

• 结果的虚部是1，不是i。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 基础 · 独立复测

计算(1+3i)/(2−i)，依次填实部、虚部。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\frac{1}{5},\frac{7}{5})$

查看逐步解析与易错点

1. 分子分母乘2+i，分母5，分子2+i+6i+3i²=−1+7i，所以商为−1/5+(7/5)i。

   为什么这样做

   共轭把非零复分母化成正实数，保持等价。

易错与反例

• 3i²=−3会影响实部符号。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 基础 · 独立复测

m为实数，z=(m+1)+(m−1)i是纯虚数（虚部非零），求m。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$-1$

查看逐步解析与易错点

1. 实部0给m=−1，此时虚部−2≠0，所以符合条件。

   为什么这样做

   实部为0后仍需检查虚部非零，不能把零复数算作纯虚数。

易错与反例

• 不能只检查虚部非零而保留其他m。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：复数的表示与运算。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

本轮未登记直接后继，可用独立练习检验迁移能力。

依据

课程依据：高中：平面向量及其应用、复数。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。