平移、旋转和轴对称都保持距离与角度，但对应方式、方向和不动点各不相同。
本页目标：用对应点、距离和角描述变换，辨认不变量。按已经学过的内容选择基础或提高题。
需要会：用角、平行线性质与三角形内角和组织有依据的推理
需要会：用有序数对定位，解释象限、轴上点与坐标变化
本页定位：课程基础。
平移规定一个方向与距离，使每个点作同样的位移。轴对称规定一条直线：轴外对应点的连线被轴垂直平分，轴上点保持原位。旋转规定中心、角度与方向：每点到中心的距离不变，转过同一角度。
这三种变换均保持图形的边长、角度、面积，因此得到全等图形。轴对称会翻转图形的朝向，平移与旋转保持朝向；坐标同乘2则改变长度，是缩放，不属于这三种保距变换。
旋转180°就是中心对称，中心是每对对应点的中点。图形具有中心对称性，是说转180°后整个图形与自身重合；等边三角形虽然转120°可重合，也不具中心对称性。
使用坐标规则时先说明坐标轴、中心与方向。原点逆时针90°的规则是(−y,x)，顺时针90°是(y,−x)。若中心换成(h,k)，先减去中心坐标、作相同旋转、再加回中心，不能直接照抄原点规则。
复合操作严格按顺序进行。先反射再沿垂直于轴的方向平移，与先平移再反射通常不同；但依次关于两坐标轴反射恰等于绕原点180°旋转，理由见练习中的任意点证明。
区分变换对象与参数：平移要方向距离，轴对称要对称轴，旋转要中心角度方向。
使用固定的平面直角坐标系；h、k分别是沿正x、正y方向的带符号位移。
水平、竖直位移分别相加。轴对称保持沿轴方向的位置，并把垂直于轴的位移变成相反数，所以得到两条对称规则。
可以用在
逐点平移图形
从已知点作关于坐标轴的对称点
要防止
不要交换x、y的位置。
两坐标同时变号是关于原点的中心对称。
知识讲解：平面直角坐标系
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
旋转中心是原点，正角为逆时针、负角为顺时针。
逆时针90°将x轴正方向转为y轴正方向，将y轴正方向转为x轴负方向，得到(−y,x)。逆变换得到顺时针规则；连续两次90°得到两坐标都变号。
可以用在
按方向旋转点或图形
检查复合变换和中心对称
要防止
中心不在原点时，须先平移中心到原点，旋转后再移回。
符号与坐标次序都不可遗漏。
知识讲解：轴对称、平移与旋转
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
箭头表示关于指定直线的轴对称，不是平移；h、k为固定实数。
关于x=h对称保持纵坐标，两横坐标的平均必须为h，故x′=2h−x；另一式交换横纵方向同理。
可以用在
求非坐标轴的平行对称轴像点
由对应点反求对称轴
要防止
只把坐标变号是h=0或k=0的特殊情形。
轴上点是它自身的像点。
知识讲解：轴对称、平移与旋转
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
两端点坐标为实数；竖直线也适用，重合点时中点即该点。
沿连接两点的线段走一半，横坐标与纵坐标的增量也各取一半，得到两个坐标的平均。
可以用在
中点、点差法与弦的几何条件。
要防止
只取横坐标平均；认为竖直线不能求中点。
知识讲解：圆锥曲线的弦长与中点（设而不求）
AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。
点P(2,−1)绕原点逆时针旋转90°，求像点坐标。
解与结论
逆时针90°使(x,y)变为(−y,x)，故P′=(1,2)。
x轴正方向转向y轴正方向，y轴正方向转向x轴负方向；坐标变化包含次序与符号。
只交换坐标而不改变符号，通常不是旋转90°。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
点P(4,−2)关于直线x=1对称，求像点坐标。
解与结论
纵坐标不变；横坐标关于1等距，所以x′=2×1−4=−2，像点为(−2,−2)。
线段PP′的中点横坐标为1，且PP′水平，与竖直对称轴垂直。
不能直接把4变成−4，那是关于y轴而不是x=1对称。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
对点P(1,2)，先关于x轴对称再向上平移1，与先向上平移1再关于x轴对称，结果相同吗？
解与结论
不同，分别得到(1,−1)与(1,−3)。
第一条路径：(1,2)→(1,−2)→(1,−1)。第二条路径：(1,2)→(1,3)→(1,−3)。
复合变换要按题目顺序作用于当前点，不能无条件交换次序。
每一步的输入是上一步的结果，不是反复使用原坐标。
本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。
10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。
点P(2,−1)绕原点逆时针旋转90°，求像点坐标。
逆时针90°使(x,y)变为(−y,x)，故P′=(1,2)。
x轴正方向转向y轴正方向，y轴正方向转向x轴负方向；坐标变化包含次序与符号。
易错与反例
只交换坐标而不改变符号，通常不是旋转90°。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
点P(4,−2)关于直线x=1对称，求像点坐标。
纵坐标不变；横坐标关于1等距，所以x′=2×1−4=−2，像点为(−2,−2)。
线段PP′的中点横坐标为1，且PP′水平，与竖直对称轴垂直。
易错与反例
不能直接把4变成−4，那是关于y轴而不是x=1对称。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
对点P(1,2)，先关于x轴对称再向上平移1，与先向上平移1再关于x轴对称，结果相同吗？
不同，分别得到(1,−1)与(1,−3)。
第一条路径：(1,2)→(1,−2)→(1,−1)。第二条路径：(1,2)→(1,3)→(1,−3)。
复合变换要按题目顺序作用于当前点，不能无条件交换次序。
易错与反例
每一步的输入是上一步的结果，不是反复使用原坐标。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
下列哪个图形有轴对称性，但没有中心对称性？
等边三角形
非正方形矩形
正方形
圆
A
等边三角形有3条对称轴，但绕中心旋转180°不能重合；其余三者都关于各自中心成中心对称。
中心对称对应180°旋转，不是任意能使图形重合的旋转。
易错与反例
等边三角形能转120°重合，也不能因此称为中心对称图形。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
平移、旋转、轴对称能把边长为2的正方形变成边长为3的正方形吗？
不能。
这三种变换都保持任意两点的距离，原边长2经变换仍为2，不会成为3。两正方形相似但不全等。
图形变换的不变量可以直接排除不可能的目标，缩放与保距变换不同。
易错与反例
不能将“形状一样”误认成一定可经平移旋转翻折重合。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
点A(2,3)与A′(8,−1)关于点O中心对称，求O坐标。
中心O是AA′中点，横坐标(2+8)/2=5，纵坐标(3−1)/2=1。
180°旋转使对应点在中心两侧等距，中心位于它们的中点。
易错与反例
不能把对应点坐标差直接当中心坐标。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
先关于x轴对称，再关于y轴对称，是否等同于绕原点旋转180°？证明。
是，同为(x,y)→(−x,−y)。
任取P(x,y)，第一次得到(x,−y)，第二次得到(−x,−y)；它与P的中点是原点，符合关于原点的中心对称。
检验任意坐标可证明整个变换相同，不能只试一个特殊点。
易错与反例
这不说明所有对称或平移的顺序都可交换。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
证明平行四边形关于对角线交点O中心对称。
绕O旋转180°可使图形与自身重合。
平行四边形对角线互相平分，故A、C关于O对称，B、D也关于O对称。各边端点成对互换，AB对应CD、BC对应DA，所以整个边界重合。
中心对称要匹配所有对应顶点；对角线中点关系提供同一中心。
易错与反例
一般平行四边形未必有对称轴，中心对称不能替代轴对称。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
点Q(−3,4)绕原点顺时针旋转90°，求像点坐标。
顺时针90°是(x,y)→(y,−x)，所以像点为(4,3)。
旋转方向决定符号；这是逆时针90°的逆变换。
易错与反例
不能在题目写顺时针时仍套(−y,x)。
来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
点P位于对称轴上。它关于这条轴的像点是否必须与P不同？
不必不同，此时像点就是P。
轴上点到轴距离为0，反射后位置不变。只有轴外点与其像点才形成一条被轴垂直平分的非零线段。
变换可以有不动点，定义中的距离与位置要包含边界情况。
易错与反例
不能给轴上点硬画出另一侧的不同像点。
来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。
回补：轴对称、平移与旋转。一道题出错只提供候选线索。
课程依据：初中：图形变化、相似、投影与坐标。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。