三角恒等变换

一句话

三角恒等变换由少量可证明的和差公式出发，每次除法、约分或开方都保留自己的条件。

本页目标：由两角差余弦推导和差倍角公式，检查变形的定义域。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 任意角与单位圆定义

  需要会：用单位圆定义任意角正弦余弦，核对锐角相容性及正切定义域

• 轴对称、平移与旋转

  需要会：旋转保持距离，用单位圆弦长比较推导两角差公式

概念与推导

本页定位：课程基础。

用旋转保距证明余弦差角

取单位圆上的P=(cosα,sinα)、Q=(cosβ,sinβ)。用两点距离公式展开，得到 $|PQ{|}^2=2-2(\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta )$。将两点一起旋转−β，Q变为(1,0)，P的角变为α−β，距离平方又是 $2-2\cos (\alpha -\beta )$。旋转保距，所以两式相等，得到余弦差角公式。

把β换成−β，利用余弦偶性、正弦奇性，得到余弦和角。再写 $\sin (\alpha +\beta )=\cos [(\pi /2-\alpha )-\beta ]$，代入余弦差角式和余角关系，得到正弦和角；β换成−β得到正弦差角。这个推导没有把待证的和角公式预先用于旋转坐标。

从和角到倍角、降幂

令两角相同，便得到sin2x=2sinx cosx与cos2x=cos²x−sin²x。结合单位圆平方关系，可把cos2x改为2cos²x−1或1−2sin²x；反过来能把sin²x、cos²x写成含cos2x的形式。开方恢复单个正弦或余弦时，仍要根据范围确定符号。

恒等变形与解方程不同

恒等式要求在共同适用范围上成立。除以sinx时必须先排除sinx=0；如果正在解方程，这些被排除的值还要回到原方程另查，不能直接丢掉。证明一个条件恒等式时，也应写明原式与化简式的定义域，而不是在两边无定义的点宣称相等。

辅助角是和角公式的逆用

把Asinx+Bcosx写成Rsin(x+φ)，对应系数要求Rcosφ=A、Rsinφ=B。取R=√(A²+B²)>0后，两个归一化系数落在单位圆上，因此能同时选择φ。这个方法还解释为什么两项各自的最大值通常不能在同一个x处一起取得。

公式与条件

和差及倍角式适用于所有实角；正切公式另查三个余弦均非零。把式子平方后只能先恢复绝对值，再用符号条件选分支。

$$\cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta ,\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$$

成立条件

α、β为实角，角的单位一致；正弦、余弦没有除零限制。

从哪里来

单位圆点P(α)、Q(β)的距离平方为2−2(cosαcosβ+sinαsinβ)。同时旋转−β后，Q变为(1,0)，同一距离平方为2−2cos(α−β)，相等得到余弦差角式。用−β替换β得余弦和角；再用sinθ=cos(π/2−θ)与余弦差角式推得正弦和角，最后替换−β得正弦差角。

适用场景与常见误用

可以用在

• 计算可拆成特殊角的函数值

• 合并同频正弦与余弦

要防止

• sin(α+β)一般不等于sinα+sinβ

• 余弦公式中的配对符号与正弦不同

知识讲解：三角恒等变换

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

$$\sin 2x=2\sin x\cos x,\cos 2x={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x=2{\cos }^{2}x-1=1-2{\sin }^{2}x$$

成立条件

x为任意实角，单位一致。涉及再开平方时须另按角的范围确定正负号。

从哪里来

在和角公式中取两个角都为x，得到sin2x与cos2x；再用sin²x+cos²x=1消去其中一种平方，得到另外两种余弦倍角形式。

适用场景与常见误用

可以用在

• 将二次三角式改成倍角

• 由已知同角数值求倍角值

要防止

• sin2x不是2sinx

• 由sin²x求sinx时不能无条件选正平方根

知识讲解：三角恒等变换

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }$$

成立条件

要求cosα、cosβ、cos(α+β)均非零；等价于两个单角正切有意义且分母1−tanαtanβ非零。

从哪里来

用sin(α+β)/cos(α+β)，分别代入和角公式，再在分子分母中同除非零的cosαcosβ。条件同时保证每一个中间比式和最后的比式有意义。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求特殊和角的正切值

• 在完整定义域内进行恒等变形

要防止

• 和角有意义不保证单角正切也有意义

• 分母为0时不能继续当作一个实数计算

知识讲解：三角恒等变换

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

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$$A\sin x+B\cos x=R\sin (x+\phi ),R=\sqrt{A^2+B^2},\cos \phi =\frac{A}{R},\sin \phi =\frac{B}{R}$$

成立条件

A、B不同时为0，故R>0；φ的正弦、余弦须同时匹配，不能只由一个比值猜象限。若A=B=0，原式恒为0，单独处理。

从哪里来

A/R与B/R的平方和为1，可作为同一单位圆点的两个坐标，故存在相应φ。展开Rsin(x+φ)并分别代入两坐标，恰得Asinx+Bcosx。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求同频三角组合的值域与最值

• 解释合并后的振幅

要防止

• 最大值一般不是|A|+|B|

• 只用tanφ=B/A会忽略A=0及象限信息

知识讲解：三角恒等变换

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-09。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（两角和的求值）

用两角和公式求cos75°。

解与结论

$0.25\sqrt{6}-0.25\sqrt{2}$

1. cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°−sin45°sin30°=(√6−√2)/4。

   为什么这样做

   余弦和角公式的交叉项取减号，45°和30°的数值由特殊直角三角形得到。

易错与反例

• cos(α+β)不是cosα+cosβ。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（倍角前先判符号）

α为第二象限角，sinα=3/5。依次求sin2α、cos2α。

解与结论

$(-\frac{24}{25},\frac{7}{25})$

1. 由象限与平方关系得cosα=−4/5；sin2α=2×(3/5)×(−4/5)=−24/25，cos2α=16/25−9/25=7/25。

   为什么这样做

   先恢复带符号的余弦，再使用倍角公式；不能在平方根处丢掉象限条件。

易错与反例

• sin2α是sin(2α)，不是2sinα。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（约分与共同定义域）

化简 $\sin 2x/(1+\cos 2x)$，并写出等式成立的范围。

解与结论

等于tanx，范围为x≠π/2+kπ（k为整数）。

1. 分子为2sinx cosx，分母为2cos²x。原式要求cosx≠0，此时可约去一个cosx，得到sinx/cosx=tanx。

   为什么这样做

   约分只在公因式非零时合法；本题原式与tanx的定义域恰好相同。

易错与反例

• 不能在cosx=0的点使用这个分式恒等式。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 分配律不适用于sin(α+β)的角度输入。
• 恒等式只代几个数验过，不能代替推导。
• 同时开方、约分或把正弦余弦改成正切，都可能增加需检查的条件。

衔接提示

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

用两角和公式求cos75°。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$0.25\sqrt{6}-0.25\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. cos75°=cos(45°+30°)=cos45°cos30°−sin45°sin30°=(√6−√2)/4。

   为什么这样做

   余弦和角公式的交叉项取减号，45°和30°的数值由特殊直角三角形得到。

易错与反例

• cos(α+β)不是cosα+cosβ。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

α为第二象限角，sinα=3/5。依次求sin2α、cos2α。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\frac{24}{25},\frac{7}{25})$

查看逐步解析与易错点

1. 由象限与平方关系得cosα=−4/5；sin2α=2×(3/5)×(−4/5)=−24/25，cos2α=16/25−9/25=7/25。

   为什么这样做

   先恢复带符号的余弦，再使用倍角公式；不能在平方根处丢掉象限条件。

易错与反例

• sin2α是sin(2α)，不是2sinα。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换 · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

化简 $\sin 2x/(1+\cos 2x)$，并写出等式成立的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

等于tanx，范围为x≠π/2+kπ（k为整数）。

查看逐步解析与易错点

1. 分子为2sinx cosx，分母为2cos²x。原式要求cosx≠0，此时可约去一个cosx，得到sinx/cosx=tanx。

   为什么这样做

   约分只在公因式非零时合法；本题原式与tanx的定义域恰好相同。

易错与反例

• 不能在cosx=0的点使用这个分式恒等式。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

用和角公式求tan75°。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2+\sqrt{3}$

查看逐步解析与易错点

1. tan(45°+30°)=(1+1/√3)/(1−1/√3)=(√3+1)/(√3−1)=2+√3。

   为什么这样做

   两个正切均有意义且分母不为0，最后用平方差有理化。

易错与反例

• 正切和角分母中的符号是减号。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换 · 二次根式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

cos²20°−sin²20°等于哪一个？

• A.

  cos40°

• B.

  sin40°

• C.

  cos20°

• D.

  sin20°

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 由cos2α=cos²α−sin²α，取α=20°，得到cos40°。

   为什么这样做

   识别两个平方之差对应余弦倍角。

易错与反例

• 它不是cos²(20°−20°)，也不是两个角度相减。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

求 $3\sin x+4\cos x$ 在实数范围内的最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5$

查看逐步解析与易错点

1. 取角φ使cosφ=3/5、sinφ=4/5，则原式=5sin(x+φ)≤5；当x+φ=π/2+2kπ时取到5。

   为什么这样做

   和角公式把两个同频函数合并成一个正弦；必须说明取等确实可达。

易错与反例

• 把最大值写成3+4=7，忽略了sinx与cosx不能同时为1。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换 · 三角函数的图象与性质。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

已知tanx=2，依次求sin2x、cos2x。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(\frac{4}{5},-\frac{3}{5})$

查看逐步解析与易错点

1. cosx≠0。将倍角式分子分母同除cos²x，得到sin2x=2tanx/(1+tan²x)=4/5，cos2x=(1−tan²x)/(1+tan²x)=−3/5。

   为什么这样做

   用sin²x+cos²x=1补成比式；给定正切已保证除以cos²x合法。

易错与反例

• tanx相同的角可差π，但它们的倍角相差2π，所以这里结果仍唯一。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

只要tan(α+β)有意义，就一定能代入正切和角公式的右边吗？给出反例。

我的思路（本页草稿）

查看答案

不一定。α=π/2、β=−π/4时左边tan(π/4)=1有意义，但tanα无定义。

查看逐步解析与易错点

1. 右边除了要求和角正切存在，还要求tanα、tanβ各自有意义，且1−tanαtanβ非零。所给反例不满足第一个要求。

   为什么这样做

   两个写法的各个中间运算都需有定义，不能由最终和角有意义推断所有分项有意义。

易错与反例

• 恒等公式带有适用范围，不能当作在每个实数参数处都可计算的代换。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

用和角公式求sin75°。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$0.25\sqrt{6}+0.25\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. sin(45°+30°)=sin45°cos30°+cos45°sin30°=(√6+√2)/4。

   为什么这样做

   正弦和角公式含两个交叉项，这里相加。

易错与反例

• 不能把余弦和角中的减号照搬到正弦和角。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

化简 $(1-\cos 2x)/\sin 2x$，保留原式的全部定义域限制。

我的思路（本页草稿）

查看答案

等于tanx，但须保留x≠kπ/2（k为整数）。

查看逐步解析与易错点

1. 分子为2sin²x，分母为2sinx cosx。原式要求sinx与cosx都非零，约分后得到tanx，但不能补回sinx=0的点。

   为什么这样做

   化简式可能在原来没有意义的点有值，等价使用必须保留原定义域。

易错与反例

• x=0时tanx有值0，原分式却为0/0，因此不能仅写正切的自然定义域。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：三角恒等变换 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 导数的概念与运算

依据

课程依据：高中：三角函数与恒等变换。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。