相似三角形

一句话

相似保留角与比例关系，全等是相似比为1的特例；边、面积和对应必须分清。

本页目标：用比例与对应角证明相似，处理长度比、面积比和相似应用。按已经学过的内容选择基础或提高题。

前置知识

• 全等三角形与几何证明

  需要会：核对边角对应与判定条件，给出完整全等证明和SSA反例

• 比与比例、正反比例

  需要会：解释比、比例和正反比例，检查单位与比的后项

概念与推导

本页定位：课程基础。

两个三角形对应角相等、对应边成同一比例，称为相似。写 $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}DEF$ 时，AB对应DE、BC对应EF、CA对应FD；相似比是正的长度比。

常用判定有AA（两角分别相等）、SAS（两边成比例且夹角相等）、SSS（三边成比例）。判定的关键仍是位置和对应：只有两边成比例、或使用非夹角，条件不够。可把其中一个三角形按正比例缩放到某条对应边相等，再与全等判定联系起来理解这些条件。

平行截线给出两组等角，从而得到小、大三角形的对应比例。解题先写相似顺序，再列比例；若比较AD与DB这种剩余段，须先从整边关系相减，不能直接混进小大三角形的边比。

当边长乘k时，对应高也乘k，周长乘k，面积乘k²。因此用面积比求边比时要取正平方根。影子或测距应用还需检查垂直、平行和同一时刻等模型条件。

可选拓展的内角平分线比例可用“两种方式求面积比”证明，推导在下方卡片展开。它不等于角平分线上的点到两边等距，也不意味着角平分线总是中线。

公式与条件

使用AA、SAS、SSS时明确非退化与对应；面积比只在已建立相似后按平方处理。

$$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=k,\frac{L_1}{L_2}=k,\frac{S_1}{S_2}=k^2$$

成立条件

△ABC∽△DEF，均非退化，k>0；所有比使用同一对应方向。

从哪里来

对应边均是另一边的k倍，三边相加得到周长比k。相似缩放也将对应高变为k倍，底乘高的一半因而乘k²。

适用场景与常见误用

可以用在

• 求对应边与周长

• 利用面积比反求边长比

• 地图、模型与影长测量

要防止

• 面积比不是相似比本身。

• 同样的形状但尺度不同，只能称相似，不能自动称全等。

知识讲解：相似三角形

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$$

成立条件

△ABC非退化，AD平分内角A，D在BC内部；本条为相似应用的可选拓展。

从哪里来

作B、C到直线AD的垂线。以AB、AC为斜边的两个小直角三角形具有相等的A处半角，由AA相似，得到两条高之比为AB/AC。△ABD与ACD共用底AD，面积比等于这两条高之比；它们又共用从A到BC的高，面积比等于BD/DC。两种面积比相等即得结论。

适用场景与常见误用

可以用在

• 已知两邻边与对边求分点

• 把角平分线、相似与面积联系起来

要防止

• 内角平分线不一定是中线。

• 不能把本比例与点到两边距离相等的性质混为同一句定理。

知识讲解：相似三角形

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

查看课程依据及核验范围

典型例题

例 1（正确对应的边比）

已知△ABC∽△DEF，AB=4、DE=6、BC=8。求EF。

解与结论

$12$

1. 相似对应A↔D、B↔E、C↔F，所以AB/DE=BC/EF=2/3，EF=12。

   为什么这样做

   所有边比都须使用同一对应方向，不能一边小比大、另一边大比小。

易错与反例

• 先按相似符号写对应，再代数值。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（影长模型的前提）

同一时刻，同一水平地面上一根竖直1.5米的杆影长2米，一棵竖直树影长6米。将太阳光线视为平行，求树高。

解与结论

$\frac{9}{2}$

1. 树与杆、影子及光线组成两个相似直角三角形，树高/6=1.5/2，所以树高4.5米。

   为什么这样做

   地面水平、物体竖直给出直角，同一方向的光线给出另一组等角。

易错与反例

• 不同时间、不同坡度的影长不能不加检查就成比例。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（部分边比不足的反例）

三角形甲三边为3、4、5，乙三边为3、4、6。甲的前两边与乙的前两边比都为1，能据此判相似吗？

解与结论

不能，两个三角形不相似。

1. 两组边成比例没有给夹角相等；按从小到大对应的第三边比为5/6，与1不同，因此三边不成统一比例。

   为什么这样做

   两组边比相同只是部分条件，既不满足SSS相似，也没有SAS所需夹角。

易错与反例

• 不能只验证有利的两组边比，漏掉判定其余条件。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错与反例

• 先想当然认为相似再列比，容易形成循环论证。
• 平行截线的小边应比大三角形的整边，不随意比剩余部分。
• 如果题目仅有面积相等，缺少相似条件，就不能推出边长比为1。

衔接提示

衔接提示：证明中的条件与对应关系

某定理不要求证明，不等于取消演绎训练；通过独立证明与反例检查条件是否掌握。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：全等三角形与几何证明 · 相似三角形 · 立体几何初步。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

衔接提示：几何工具的证明与使用条件

圆幂、射影和角平分线比例可作为拓展；是否属于某课标或教材要求必须查原条目，不能从摘录缺席推断全文缺席。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：圆 · 相似三角形 · 勾股定理与逆定理。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

已知△ABC∽△DEF，AB=4、DE=6、BC=8。求EF。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$12$

查看逐步解析与易错点

1. 相似对应A↔D、B↔E、C↔F，所以AB/DE=BC/EF=2/3，EF=12。

   为什么这样做

   所有边比都须使用同一对应方向，不能一边小比大、另一边大比小。

易错与反例

• 先按相似符号写对应，再代数值。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

同一时刻，同一水平地面上一根竖直1.5米的杆影长2米，一棵竖直树影长6米。将太阳光线视为平行，求树高。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{9}{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 树与杆、影子及光线组成两个相似直角三角形，树高/6=1.5/2，所以树高4.5米。

   为什么这样做

   地面水平、物体竖直给出直角，同一方向的光线给出另一组等角。

易错与反例

• 不同时间、不同坡度的影长不能不加检查就成比例。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

三角形甲三边为3、4、5，乙三边为3、4、6。甲的前两边与乙的前两边比都为1，能据此判相似吗？

我的思路（本页草稿）

查看答案

不能，两个三角形不相似。

查看逐步解析与易错点

1. 两组边成比例没有给夹角相等；按从小到大对应的第三边比为5/6，与1不同，因此三边不成统一比例。

   为什么这样做

   两组边比相同只是部分条件，既不满足SSS相似，也没有SAS所需夹角。

易错与反例

• 不能只验证有利的两组边比，漏掉判定其余条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 提高 · 独立练习

D、E分别在△ABC的AB、AC内部，DE∥BC。AD=3、AB=5、AE=6，求AC。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$10$

查看逐步解析与易错点

1. 由平行线同位角相等，△ADE∽△ABC，故AD/AB=AE/AC，即3/5=6/AC，解得AC=10。

   为什么这样做

   平行给出两组等角，AA判定允许建立边比。

易错与反例

• 比的是AD/AB，不是AD/DB；小三角形要与完整大三角形对应。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

两个相似三角形的对应边比（小比大）为3:5，小三角形面积18，求大三角形面积。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$50$

查看逐步解析与易错点

1. 面积比为9:25，所以大面积=18×25/9=50。

   为什么这样做

   相似时底与对应高同时按边比缩放，面积乘上比例的平方。

易错与反例

• 不能把面积直接按3:5缩放。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 基础 · 独立练习

两相似三角形的对应边长扩大到原来的2倍，周长和面积分别变为几倍？

• A.

  2倍、4倍

• B.

  4倍、2倍

• C.

  2倍、2倍

• D.

  4倍、4倍

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 周长是长度之和，放大2倍；面积是底与高的乘积的一半，放大4倍。

   为什么这样做

   长度是一维量，面积是二维量，缩放指数不同。

易错与反例

• 不要把所有量都按同一个倍数变化。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

证明：一条平行于三角形一边的直线截其余两边，得到的小三角形与原三角形相似。

我的思路（本页草稿）

查看答案

若D∈AB、E∈AC且DE∥BC，则△ADE∽△ABC。

查看逐步解析与易错点

1. ∠DAE=∠BAC是公共顶角；由DE∥BC得∠ADE=∠ABC。两角分别相等，依据AA得相似，顺序A↔A、D↔B、E↔C。

   为什么这样做

   角的位置与点所在的边共同确定正确对应，平行只是推出等角的依据。

易错与反例

• 不能从想得到的边比反过来作为相似已成立的理由。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 综合 · 独立练习

可选拓展：△ABC中AB=6、AC=9、BC=10，AD为内角A的平分线，D在BC上。依次求BD、DC。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(4,6)$

查看逐步解析与易错点

1. 角平分线定理给出BD/DC=AB/AC=2/3，又BD+DC=10，得到BD=4、DC=6。

   为什么这样做

   内角平分线分对边的比对应两邻边比，另需总长关系。

易错与反例

• AD平分角不表示它平分对边；只有AB=AC时才得到BD=DC。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

同一水平地面、同一时刻，竖直2米的标杆影长3米，另一竖直物影长12米，光线平行。求物高。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$8$

查看逐步解析与易错点

1. 由相似，物高/12=2/3，所以物高8米。

   为什么这样做

   必须保持相同的光线角与地面条件，才能复用高度和影长的比例。

易错与反例

• 影长之差不是高度之差。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

两个非退化三角形已知相似且面积相等，能否推出全等？

我的思路（本页草稿）

查看答案

能。

查看逐步解析与易错点

1. 设对应边比为k>0，则面积比为k²。面积相等且非零，得k²=1；由于k>0，k=1。对应边角均相等，因此全等。

   为什么这样做

   相似条件使面积比能够决定长度比；正的相似比排除了−1。

易错与反例

• 仅面积相等而未给相似时，不能推出全等。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：相似三角形。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 锐角三角函数
• 解三角形（正弦定理、余弦定理）
• 数学建模与探究

依据

课程依据：初中：图形变化、相似、投影与坐标。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。