一元二次不等式

高一开学立刻要用，而推导所需的条件初中已全部具备

这是断层 ③：课标明写的交接，但窗口只有 18 课时。

一句话

解一元二次不等式不是解方程的变体，是"看二次函数图象在 $x$ 轴上方还是下方"。

课标的措辞就是「能够借助一元二次函数求解」——从函数看，不是从不等式看。抓住这一句，符号问题就不需要背口诀。

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前置知识

• 二次函数

  需要会：配方解释抛物线顶点、零点与在区间上的取值

• 一元一次不等式（组）

  需要会：处理乘除负数的变号，求解集并检验端点

可选补充： 十字相乘法与分组分解 · 分式与分式方程。这些建议不作为开始学习的硬性门槛。

概念与推导

三步法

求解 $a{x}^2+bx+c>0(a>0)$：

1. 算 $\mathrm{\Delta }$，判断抛物线与 $x$ 轴的交点个数
2. 求根（若有），得到交点横坐标 $x_1\le x_2$
3. 看图：开口向上时，图象在 $x$ 轴上方的部分是两根之外

$$a{x}^2+bx+c>0(a>0)⟺x<x_1\text{或}x>x_2$$$$a{x}^2+bx+c<0(a>0)⟺x_1<x<x_2$$

俗称「大于取两边，小于取中间」——但这句口诀只在 $a>0$ 且 $\mathrm{\Delta }>0$ 时成立。背口诀而不看图，$a<0$ 时立刻出错。

正确做法是画草图：定开口、标交点、看哪段在 $x$ 轴的目标一侧。图上读出来的结论不会错。

$a<0$ 怎么办

两条路，选一条固定用：

1. 两边乘 $-1$ 变号，化成 $a>0$ 再用上面的结论。注意不等号方向要反。
2. 直接画开口向下的图象读。

推荐第 1 条：把所有情形归一，减少要记的东西。

$\mathrm{\Delta }\le 0$ 的情形

$\mathrm{\Delta }$	$a>0$ 时 $a{x}^2+bx+c>0$ 的解集	$<0$ 的解集
$\mathrm{\Delta }>0$	$x<x_1$ 或 $x>x_2$	$x_1<x<x_2$
$\mathrm{\Delta }=0$	$x\ne x_1$	空集
$\mathrm{\Delta }<0$	$\mathbb{R}$	空集

$\mathrm{\Delta }<0$ 时抛物线整个在 $x$ 轴上方，恒正。「恒成立」问题的标准入口就是这一行。

与后面的联系

• 恒成立问题：$a{x}^2+bx+c>0$ 对任意 $x$ 成立 $⟺a>0$ 且 $\mathrm{\Delta }<0$（$a=0$ 要单独讨论）
• 导数题：判断 $f^{\prime }(x)$ 的符号，绝大多数情况就是解一个二次不等式
• 圆锥曲线：联立后由 $\mathrm{\Delta }>0$ 确定参数范围

这三处是高中大题的常客，用的都是本页内容。

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公式与适用场景

有两个实根时的二次符号

$$a(x-x_1)(x-x_2)>0⟺x<x_1\text{或}x>x_2$$

成立条件

所列等价要求a>0且x₁<x₂为两个不同实根。a<0、重根、无实根及a＝0均另论。

取等条件

函数等于0时为两个根。非严格不等式是否包含端点要据原题符号决定；分式模型还需排除分母零点。

从哪里来

a正时，两根外的两个因子同号，乘积正；两根之间异号，乘积负。a负时符号反转。

适用场景与常见误用

可以用在

• 二次不等式及导函数判号。

要防止

• 忽略a的符号；Δ≤0仍当成两个不同零点；漏降次。

知识讲解：一元二次不等式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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二次或退化式在全实域恒正

$$a{x}^2+bx+c>0(\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R})⟺(a>0,\mathrm{\Delta }<0)\text{或}(a=b=0,c>0)$$

成立条件

a、b、c为实数，允许a＝0；讨论的是所有实数x上的严格正值。

从哪里来

a>0时配方最小值为−Δ/(4a)，恒正等价于Δ<0。a<0时两端趋负不可能。a＝0但b非零时一次式可取负值；b也为0时只看常数c>0。

适用场景与常见误用

可以用在

• 含参恒成立，检查常数退化情形。

要防止

• 把Δ<0放宽为Δ≤0；遗漏正常数；把一次式当成有最小值。

知识讲解：一元二次不等式

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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分式符号与乘积符号

$$\frac{A}{B}>0⟺AB>0,\frac{A}{B}\ge 0⟺AB\ge 0$$

成立条件

B不为0；这条条件在两种等价式中都保留。

取等条件

非严格情形的等号要求A＝0且B≠0。

从哪里来

同乘严格为正的 $B^2$，不等号方向不变，而 $(A/B)B^2=AB$。

适用场景与常见误用

可以用在

• 把分式不等式转为乘积判号。

要防止

• 直接乘符号未知的B而不分类；非严格不等式忘记排除分母零点。

知识讲解：分式与分式方程

AI辅助推导复核：Codex，2026-09-08。

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典型例题

例 1（基础）

解不等式：$x^2-5x+6>0$。

解与结论

$x\in (-\mathrm{\infty },2)\cup (3,+\mathrm{\infty })$

1. 十字相乘分解：$(x-2)(x-3)>0$，得两根 $x_1=2,x_2=3$

   为什么这样做

   本题有明显整数因式，分解能直接给出零点。也可用配方或求根公式，再结合图像或各因子的符号判断。

2. 二次项系数为正，抛物线开口向上，与 $x$ 轴交于 $2$ 和 $3$

   为什么这样做

   按开口方向和两个零点画图，并用区间内的符号核对，避免把草图当成无条件的保证。

3. 图象在 $x$ 轴上方的部分是两根之外，故 $x<2$ 或 $x>3$

   为什么这样做

   $>0$ 就是问「函数值为正的 $x$ 在哪」，也就是图象在 $x$ 轴上方的那一段。

易错与反例

• 答案写成 $2<x<3$ —— 那是 $<0$ 的解集。

• 写成不等式组 $\{\begin{array}{l}x<2\\ x>3\end{array}$ —— 两根之外是或（并集），不是且。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 2（$a<0$）

解不等式：$-x^2+2x+3\ge 0$。

解与结论

$x\in [-1,3]$

1. 两边乘 $-1$，不等号反向：$x^2-2x-3\le 0$

   为什么这样做

   统一化成二次项系数为正，只需记住一套结论。 不要在 $a<0$ 时硬套「大于取两边」 —— 那句口诀只在 $a>0$ 且 $\mathrm{\Delta }>0$ 时成立。

2. 分解 $(x-3)(x+1)\le 0$，两根 $-1$ 和 $3$

   为什么这样做

   常数项 $-3<0$ 说明两数异号，一次项系数 $-2$ 说明负的那个绝对值更大。

3. 开口向上，图象在 $x$ 轴下方或轴上的部分是两根之间（含端点），故 $-1\le x\le 3$

   为什么这样做

   $\le 0$ 包含等于零，所以两个根本身也是解，端点要取到。

易错与反例

• 乘 $-1$ 时忘记变号。

• 端点漏掉，写成 $-1<x<3$。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

例 3（含参恒成立）

若 $k{x}^2-2kx+3>0$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围。

解与结论

$k\in [0,3)$

1. 先讨论 $k=0$：原式化为 $3>0$，恒成立 ✓

   为什么这样做

   使用二次函数或判别式的结论前，要确认二次项系数非零。k=0时直接检查常数不等式，不能用二次根数规则。

2. $k\ne 0$ 时，恒正需要开口向上且与 $x$ 轴不相交：$k>0$ 且 $\mathrm{\Delta }<0$

   为什么这样做

   对真正的二次函数，恒正要求开口向上且没有实零点；可以用判别式小于0或配方后的最小值为正来检查。

3. $\mathrm{\Delta }=4k^2-12k<0\Rightarrow 4k(k-3)<0\Rightarrow 0<k<3$

   为什么这样做

   这里又解了一次二次不等式 —— 分解后看符号，两根之间。

4. 合并：$k=0$ 与 $0<k<3$ 并起来得 $0\le k<3$

   为什么这样做

   分类讨论必须有合并结论。两种情况是「或」的关系，取并集。

易错与反例

• 漏掉 $k=0$，答案写成 $0<k<3$。失分方式很隐蔽 —— 只差一个孤立的点，看起来像小疏忽，实际是没有建立「先验证类型」的反射。

• 写成 $k>0$ 且 $\mathrm{\Delta }\le 0$ —— $\mathrm{\Delta }=0$ 时抛物线与 $x$ 轴相切， 切点处函数值为零，不满足严格大于。

本例与题库共用题面、答案和解析。进入题组并选择独立练习或复测。

易错点

错误	根因	怎么改
$a<0$ 时套「大于取两边」	背口诀不看图	先化成 $a>0$，或画草图
含参时不讨论 $a=0$	默认是二次的	字母系数先问是否为零
$\mathrm{\Delta }\le 0$ 仍去求两根	三步法没走完第 1 步	先判 $\mathrm{\Delta }$ 再决定后续
分式不等式两边乘分母	忽略分母符号	转成 $AB>0$，见分式
解集写成不等式组而非并集	「或」「且」混淆	两根之外是"或"，中间是"且"

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衔接提示

衔接提示：用函数符号求不等式解集

借图像和分段符号可统一方程与不等式；18课时是主题建议量，不能推出必须暑假补课。

数学论证见关联段落；课程与教材事实按引用中心逐条核验

如何回补：一元二次不等式 · 绝对值方程与不等式 · 二次函数含参区间最值。用本页独立题组检查，回补建议还需复测确认。

阅读论证、条件与修正记录

练习

难度 全部基础提高综合用途 全部独立练习独立复测示例

12 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

解不等式：$x^2-5x+6>0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in (-\mathrm{\infty },2)\cup (3,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 十字相乘分解：$(x-2)(x-3)>0$，得两根 $x_1=2,x_2=3$

   为什么这样做

   本题有明显整数因式，分解能直接给出零点。也可用配方或求根公式，再结合图像或各因子的符号判断。

2. 二次项系数为正，抛物线开口向上，与 $x$ 轴交于 $2$ 和 $3$

   为什么这样做

   按开口方向和两个零点画图，并用区间内的符号核对，避免把草图当成无条件的保证。

3. 图象在 $x$ 轴上方的部分是两根之外，故 $x<2$ 或 $x>3$

   为什么这样做

   $>0$ 就是问「函数值为正的 $x$ 在哪」，也就是图象在 $x$ 轴上方的那一段。

易错与反例

• 答案写成 $2<x<3$ —— 那是 $<0$ 的解集。

• 写成不等式组 $\{\begin{array}{l}x<2\\ x>3\end{array}$ —— 两根之外是或（并集），不是且。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次不等式 · 十字相乘法与分组分解 · 二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

解不等式：$-x^2+2x+3\ge 0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in [-1,3]$

查看逐步解析与易错点

1. 两边乘 $-1$，不等号反向：$x^2-2x-3\le 0$

   为什么这样做

   统一化成二次项系数为正，只需记住一套结论。 不要在 $a<0$ 时硬套「大于取两边」 —— 那句口诀只在 $a>0$ 且 $\mathrm{\Delta }>0$ 时成立。

2. 分解 $(x-3)(x+1)\le 0$，两根 $-1$ 和 $3$

   为什么这样做

   常数项 $-3<0$ 说明两数异号，一次项系数 $-2$ 说明负的那个绝对值更大。

3. 开口向上，图象在 $x$ 轴下方或轴上的部分是两根之间（含端点），故 $-1\le x\le 3$

   为什么这样做

   $\le 0$ 包含等于零，所以两个根本身也是解，端点要取到。

易错与反例

• 乘 $-1$ 时忘记变号。

• 端点漏掉，写成 $-1<x<3$。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次不等式 · 十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

若 $k{x}^2-2kx+3>0$ 对任意实数 $x$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$k\in [0,3)$

查看逐步解析与易错点

1. 先讨论 $k=0$：原式化为 $3>0$，恒成立 ✓

   为什么这样做

   使用二次函数或判别式的结论前，要确认二次项系数非零。k=0时直接检查常数不等式，不能用二次根数规则。

2. $k\ne 0$ 时，恒正需要开口向上且与 $x$ 轴不相交：$k>0$ 且 $\mathrm{\Delta }<0$

   为什么这样做

   对真正的二次函数，恒正要求开口向上且没有实零点；可以用判别式小于0或配方后的最小值为正来检查。

3. $\mathrm{\Delta }=4k^2-12k<0\Rightarrow 4k(k-3)<0\Rightarrow 0<k<3$

   为什么这样做

   这里又解了一次二次不等式 —— 分解后看符号，两根之间。

4. 合并：$k=0$ 与 $0<k<3$ 并起来得 $0\le k<3$

   为什么这样做

   分类讨论必须有合并结论。两种情况是「或」的关系，取并集。

易错与反例

• 漏掉 $k=0$，答案写成 $0<k<3$。失分方式很隐蔽 —— 只差一个孤立的点，看起来像小疏忽，实际是没有建立「先验证类型」的反射。

• 写成 $k>0$ 且 $\mathrm{\Delta }\le 0$ —— $\mathrm{\Delta }=0$ 时抛物线与 $x$ 轴相切， 切点处函数值为零，不满足严格大于。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 综合 · 独立练习

解不等式：${\displaystyle \frac{x^2-4}{x-1}}\ge 0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in [-2,1)\cup [2,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 不能忽略x−1的符号，就同乘它并保持不等号方向。

   为什么这样做

   若同乘x−1须按其正负分类；也可在原定义域内同乘正数(x−1)²，转为乘积的符号问题。

2. 转成乘积：${\displaystyle \frac{A}{B}}\ge 0⟺AB\ge 0$ 且 $B\ne 0$，即 $(x^2-4)(x-1)\ge 0$ 且 $x\ne 1$

   为什么这样做

   商与积同号。取等号时分母的排除条件不会消失 —— $\ge$ 情形必须单独补 $B\ne 0$，这是分式那一页强调过的。

3. 分解 $(x+2)(x-2)(x-1)\ge 0$，三个根 $-2,1,2$ 把数轴分成四段

   为什么这样做

   三次式的符号要按根分段判断，不能再用二次的「两根之外」。

4. 从最右段开始，各因式均为正故乘积为正；每越过一个根变一次号： $x>2$ 正、$1<x<2$ 负、$-2<x<1$ 正、$x<-2$ 负

   为什么这样做

   穿根法的依据：每个一次因式在它的根处变号一次，其余处不变号。 从右往左交替，不必逐段代值。

5. 取 $\ge 0$ 的两段并排除 $x=1$：$-2\le x<1$ 或 $x\ge 2$

   为什么这样做

   $x=\pm 2$ 使分子为零、分母非零，原式等于零，满足 $\ge$，要取到。 $x=1$ 使分母为零，无定义，必须排除。 注意解集不是有界的 —— $x>2$ 那一段一直延伸到正无穷。 分式不等式的解集常含无穷区间，写成 $-2\le x\le 2$ 一类的"对称"形式多半是抄错了符号表。

易错与反例

• 忘记排除 $x=1$。

• 端点 $\pm 2$ 漏掉，写成严格不等号。

• 直接乘 $x-1$，丢掉一半解集。

• 符号表判对了，最后一步却取反了段。穿根法的结论要落回原式验一个点 —— 取 $x=3$ 代入原式得 ${\displaystyle \frac{5}{2}}>0$，$x=1.5$ 代入得 $-3.5<0$，一秒就能确认取的是哪两段。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次不等式 · 分式与分式方程 · 十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

解不等式 $-x^2+3x+4>0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in (-1,4)$

查看逐步解析与易错点

1. 原式为 $-(x-4)(x+1)>0$，零点为 $-1,4$。

   为什么这样做

   找零点把数轴分成符号不变的区间。

2. 开口向下，两根之间为正，故 $-1<x<4$。

   为什么这样做

   严格大于0，两个端点不能取。

易错与反例

• 不要在开口向下时仍取两根之外。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次不等式 · 二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立复测

解不等式 $-2x^2+2x+4\ge 0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in [-1,2]$

查看逐步解析与易错点

1. $-2(x-2)(x+1)\ge 0$，除以 $-2$ 后变为 $(x-2)(x+1)\le 0$。

   为什么这样做

   除以负数必须反向。

2. 两根之间取非正值，解为 $[-1,2]$。

   为什么这样做

   根处原式等于零，两个端点都应包括。

易错与反例

• 把非严格不等号处理成开区间。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元二次不等式 · 二次函数。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

解不等式 $(x-2{)}^2\le 0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[2,2]$

查看逐步解析与易错点

1. 平方非负，要同时不大于0只能等于0，所以x=2，解集只有这一个点。

   为什么这样做

   重根情况下，非严格不等式可能给出单点解集。

易错与反例

• 不能因为两根相等就把解集写成空集。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 8 题 基础 · 独立练习

解不等式 $x^2+2x+2>0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 左边=(x+1)²+1≥1>0，所以任意实数x都满足。

   为什么这样做

   配方给出全域下界，无需寻找不存在的实零点。

易错与反例

• 没有实零点不代表不等式没有解；还要看函数值符号。

本机记录

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第 9 题 基础 · 独立练习

解不等式 $-x^2-1\ge 0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\varnothing$

查看逐步解析与易错点

1. 因为x²≥0，所以−x²−1≤−1<0，不可能大于或等于0，解集为空。

   为什么这样做

   先判断整式在全体实数上的符号，可直接排除所有点。

易错与反例

• 不能看到判别式小于0，就一律选择全体实数。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 10 题 综合 · 独立复测

若 $a{x}^2+2ax+1\ge 0$ 对所有实数x成立，求a的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[0,1]$

查看逐步解析与易错点

1. a<0时函数沿远离轴的方向趋向负值，不成立；a=0时恒为1；a>0时配方为a(x+1)²+1−a，最小值1−a≥0要求a≤1。合并为0≤a≤1。

   为什么这样做

   常数分支与真正二次分支分别检查；非严格不等式允许顶点值为0。

易错与反例

• a=0与a=1都能取到，不能机械套严格恒正的开区间。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 提高 · 独立复测

解不等式(x²−9)/(x+1)≤0。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x\in (-\mathrm{\infty },-3]\cup (-1,3]$

查看逐步解析与易错点

1. 零点−3、3可以取，分母零点−1排除。依次分成四区间，符号为负、正、负、正，合并得到(−∞,−3]∪(−1,3]。

   为什么这样做

   先区分分子零点与分母禁点，再按每段符号及端点条件合并。

易错与反例

• 不能将−1作为闭端点，也不能因式约分时忽略定义域。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次不等式 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 12 题 综合 · 独立练习

若ax²−2ax+2≥0对所有实数x成立，求a的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$a\in [0,2]$

查看逐步解析与易错点

1. a=0时为2≥0成立；a<0时负二次项使充分大的|x|不满足；a>0时配方a(x−1)²+2−a，最小值2−a须非负。合并0≤a≤2。

   为什么这样做

   最高次系数为0必须先分出；正系数分支的最小值条件是充要的。

易错与反例

• 套判别式前若除以a，会漏掉a=0。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元二次不等式。一道题出错只提供候选线索。

后继知识

• 圆锥曲线中的判别式与位置关系
• 导数的应用（单调性、极值、最值）

依据

课程依据：高中：二次方程与不等式的函数观点。已定位原件主题，非全文逐字审定，核验范围与日期见引用中心。

教材版本与映射 · 纠错记录。具体学习安排须结合所用教材及已具备的能力。