十字相乘法与分组分解 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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难度用途

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

分解因式： $x^{2} + 5 x + 6$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x + 2) (x + 3)$

查看逐步解析与易错点

常数项 $6 > 0$ 、一次项系数 $5 > 0$ ，故待求的两数同为正

为什么这样做
先定符号能砍掉一半的尝试。 积为正说明同号，和为正说明同为正。不先定符号就会在 $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ 里乱试。
$6$ 的正因数对： $1 \times 6$ （和 $7$ ）、 $2 \times 3$ （和 $5$ ✓）

为什么这样做
要找的是「和为 $5$ 、积为 $6$ 」的两个数 —— 这正是 $(x + m) (x + n)$ 展开后 $m + n = p, m n = q$ 的要求，不是记忆技巧。
故 $x^{2} + 5 x + 6 = (x + 2) (x + 3)$ ，展开验算得 $x^{2} + 5 x + 6$ ✓

为什么这样做
展开后的各项与原多项式逐项相同，验证了分解恒等式。

易错与反例

只核对和或只核对积，不能保证分解正确；两者必须同时匹配。符号判断可减少尝试，但不是唯一可用方法。

反过来看： $2$ 和 $3$ 的和是 $5$ 、积是 $6$ ，所以 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两根就是 $2$ 和 $3$ —— 这就是韦达定理的逆向。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

分解因式： $3 x^{2} - 10 x + 8$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x - 2) (3 x - 4)$

查看逐步解析与易错点

常数项 $8 > 0$ 、一次项系数 $- 10 < 0$ ，故两个常数同为负

为什么这样做
本题把两个一次因式的x系数选为正数1、3。常数积为正说明它们同号，交叉和为负再推出两个常数都为负。
$3 = 1 \times 3$ ， $8 = (- 2) \times (- 4)$ 。交叉相乘凑中项： $1 \times (- 4) + 3 \times (- 2) = - 10$ ✓

为什么这样做
二次项系数不为1时，中项来自交叉乘积之和，不是两个常数直接相加；需要特别检查。
故 $3 x^{2} - 10 x + 8 = (x - 2) (3 x - 4)$

为什么这样做
按十字图取行：第一行 $1, - 2$ 组成 $(x - 2)$ ，第二行 $3, - 4$ 组成 $(3 x - 4)$ 。

易错与反例

套用 $x^{2} + p x + q$ 的形式，找「和为 $- 10$ 、积为 $8$ 」的两数 —— 忽略了二次项系数 $3$ ，怎么试都不对。
交叉方向搞反：写成 $(x - 4) (3 x - 2)$ ，展开得 $3 x^{2} - 14 x + 8$ ，中项不对。 展开一次就能发现，别省。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题提高 · 独立练习

分解因式： $6 x^{2} - x - 2$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2 x + 1) (3 x - 2)$

查看逐步解析与易错点

常数项 $- 2 < 0$ ，故两个常数异号

为什么这样做
积为负必然异号。异号时不必再看一次项符号定谁正谁负 —— 交叉试的时候自然定下来。
$6 = 2 \times 3$ ， $- 2 = 1 \times (- 2)$ 。交叉： $2 \times (- 2) + 3 \times 1 = - 1$ ✓

为什么这样做
首项正因数的拆法有1×6、2×3；常数因子还须检查符号和摆放顺序。这里选择(2x+1)(3x−2)，交叉和正好为−1。不能把某一组尝试失败当作不可分解的结论。
故 $6 x^{2} - x - 2 = (2 x + 1) (3 x - 2)$ ，展开得 $6 x^{2} - 4 x + 3 x - 2 = 6 x^{2} - x - 2$ ✓

为什么这样做
验算。

易错与反例

试遍 $1 \times 6$ 的拆法失败后就放弃，没试 $2 \times 3$ 。 二次项系数的拆法也要穷举，不只是常数项。

未找到整数因数时可转用判别式和求根公式。 $x^{2} + x + 1$ 没有实根， $x^{2} - 2$ 则有无理根；不能从没凑出因数直接判断根的类型。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题综合 · 示例（讲解中已出现）

分解因式： $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x - 1) (x + 2) (x - 2)$

查看逐步解析与易错点

按 $2 + 2$ 分组： $(x^{3} - x^{2}) + (- 4 x + 4) = x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1)$

为什么这样做
本题前两项提x²，后两项提−4，恰好得到相同的括号x−1。能形成共同因式是选择这种分组的依据。
提出公因式： $x^{2} (x - 1) - 4 (x - 1) = (x - 1) (x^{2} - 4)$

为什么这样做
把 $(x - 1)$ 当成一个整体提出来，用的还是分配律。
$x^{2} - 4$ 是平方差，继续分解： $(x - 1) (x + 2) (x - 2)$

为什么这样做
分解到每个因式都不能再分为止。分组之后还要再检查一轮。

易错与反例

停在 $(x - 1) (x^{2} - 4)$ —— 分解不彻底。
分组后两组提不出同一个括号仍硬做。提不出就换分法，这是判断标准不是感觉。

分组方式由目标决定，不一定是 $2 + 2$ 。例如 $x^{2} - y^{2} + 2 x + 1$ 要按 $3 + 1$ 分： $(x^{2} + 2 x + 1) - y^{2} = (x + 1)^{2} - y^{2}$ ，再用平方差。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题提高 · 独立复测

分解 $6 x^{2} - 7 x - 3$ ，展开检查中项。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2 x - 3) (3 x + 1)$

查看逐步解析与易错点

试首项分解 $6 = 2 \times 3$ ，常数分解 $- 3 = (- 3) \times 1$ 。

为什么这样做
积为负，两个常数必须异号；中项来自交叉相乘。
交叉和为 $2 \times 1 + 3 \times (- 3) = - 7$ ，因此分解为 $(2 x - 3) (3 x + 1)$ 。

为什么这样做
检查的是中项系数，而不是只检查首尾项。

易错与反例

不能把中项误写成两个常数的和。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：十字相乘法与分组分解 · 因式分解（提公因式法、公式法）。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题提高 · 独立练习

在整数系数范围分解因式 $2 x^{2} + 7 x + 3$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(2 x + 1) (x + 3)$ 。

查看逐步解析与易错点

首项2x²来自2x·x，常数3来自1·3；交叉项6x+x=7x，故分解正确。

为什么这样做
首项、常数和交叉项必须同时匹配。

易错与反例

只检查两端的乘积会漏掉中项系数。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题提高 · 独立练习

在实系数范围分解因式 $x^{3} + 8$ ，说明余下的二次因子能否再分为实一次因式。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)$ ；二次因子不能再分成实一次因式。

查看逐步解析与易错点

立方和公式给出(x+2)(x²−2x+4)。二次因子=(x−1)²+3>0，没有实根，故无实一次因式。展开得到x³+8。

为什么这样做
公式里的2是8的立方根；能否继续分解要说明系数范围。

易错与反例

不能写成(x+2)³，它会多出二次项和一次项。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题提高 · 独立练习

分解因式 $x^{2} - y^{2} + 4 x + 4$ 。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(x + 2 - y) (x + 2 + y)$ 。

查看逐步解析与易错点

先把x²+4x+4合成(x+2)²，原式成为(x+2)²−y²，再用平方差。

为什么这样做
四项不一定按相邻两项分组；选择能形成平方结构的三项。

易错与反例

不能把x²与4x合成4x²。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题基础 · 独立练习

试不出整数常数m、n使 $x^{2} - 3 = (x + m) (x + n)$ ，下列判断正确的是哪一项？

A.
它没有实数根
B.
它不能分成任何实一次因式
C.
它可写成 $(x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3})$
D.
它等于 $(x - 3) (x + 3)$

我的思路（本页草稿）

查看答案

查看逐步解析与易错点

(x−√3)(x+√3)=x²−3；实系数范围允许无理数系数。

为什么这样做
找不到整数系数分解，与找不到实系数分解是不同结论。

易错与反例

整数组合试验失败不能推出没有实根。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 实数。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题提高 · 独立复测

用交叉项核对 $3 x^{2} + 8 x + 4$ 的因式分解。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3 x + 2) (x + 2)$ 。

查看逐步解析与易错点

交叉项为6x+2x=8x，首项3x²、常数4也匹配，所以是(3x+2)(x+2)。

为什么这样做
乘法展开同时检查三个系数。

易错与反例

把因子误排成(3x+4)(x+1)会得到中项7x。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题提高 · 独立复测

在实系数范围分解x³−27，并说明余下二次因子能否再分成两个实一次因式。

我的思路（本页草稿）

查看答案

(x−3)(x²+3x+9)；二次因子不能再分成实一次因式。

查看逐步解析与易错点

用立方差公式分解，展开可还原；二次因子的判别式9−36=−27<0，没有实根，也可配方为(x+3/2)²+27/4>0。

为什么这样做
先识别立方差结构，再检查剩余因子在指定数系的可分解性。

易错与反例

不能把复数范围的分解要求混入实系数范围。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：十字相乘法与分组分解 · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

十字相乘法与分组分解 · 练习 ​

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题 提高 · 独立练习

第 4 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

第 5 题 提高 · 独立复测

第 6 题 提高 · 独立练习

第 7 题 提高 · 独立练习

第 8 题 提高 · 独立练习

第 9 题 基础 · 独立练习

第 10 题 提高 · 独立复测

第 11 题 提高 · 独立复测

十字相乘法与分组分解 · 练习

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

第 3 题提高 · 独立练习

第 4 题综合 · 示例（讲解中已出现）

第 5 题提高 · 独立复测

第 6 题提高 · 独立练习

第 7 题提高 · 独立练习

第 8 题提高 · 独立练习

第 9 题基础 · 独立练习

第 10 题提高 · 独立复测

第 11 题提高 · 独立复测