绝对值方程与不等式 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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12 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

解不等式 $|x-2|\le 3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[-1,5]$

查看逐步解析与易错点

1. 数轴上到2的距离不超过3，包含两端点，所以−1≤x≤5。代数上−3≤x−2≤3得到同一解集。

   为什么这样做

   绝对值表示距离，“不超过”允许边界相等。

易错与反例

• 不能只解x−2≤3而漏掉左侧限制。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

解不等式 $|2x-1|>3$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },-1)\cup (2,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 2x−1>3或2x−1<−3，分别得x>2或x<−1；两端点使绝对值等于3，须排除。

   为什么这样做

   超过给定正距离落在区间外侧，两个分支取并集。

易错与反例

• 不要把两分支用“且”连接，那会得到不可能同时满足的条件。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

解方程 $|x-1|+|x-3|=2$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[1,3]$

查看逐步解析与易错点

1. 到1与3的距离之和至少为两点间距离2。x在[1,3]内时和恰为2，区间外会增加往返距离，所以解集为[1,3]。

   为什么这样做

   方程也可能有整个区间的解，不能预先假设只有有限个数。

易错与反例

• 把两个绝对值分别等于1会只得到x=2，漏掉其他解。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

求方程 $|x|=-1$ 的实数解集。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{\}$

查看逐步解析与易错点

1. 绝对值非负，不可能等于−1，解集为空。

   为什么这样做

   先检查右边的符号，可以直接排除无意义的候选。

易错与反例

• 不能机械写x=±(−1)而得到假解。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

解不等式 $|x-2|\ge 0$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 对所有实数x，绝对值都非负，故解集为全体实数。

   为什么这样做

   阈值为0时，“大于等于0”包括绝对值为0的点与所有正值点。

易错与反例

• 不能因为x−2可能负，就要求x≥2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

不等式 $|x-a|<2$ 的解集包含x=0，求实数a的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(-2,2)$

查看逐步解析与易错点

1. 将x=0代入条件，得|a|<2，所以−2<a<2。端点a=±2时不满足严格不等号。

   为什么这样做

   “解集包含指定数”表示这个数满足原式，不是要求整个解集只有该数。

易错与反例

• 不要把包含0误解成解集等于{0}。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 综合 · 独立练习

解方程 $|x-1|=2x-1$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\{\frac{2}{3}\}$

查看逐步解析与易错点

1. 右边必须非负，所以x≥1/2。平方得(x−1)²=(2x−1)²，整理为x(3x−2)=0。候选0、2/3中，0使右边为−1不合法；2/3代回两边都是1/3。

   为什么这样做

   绝对值方程平方会丢失符号约束，须先保留约束并验根。

易错与反例

• 只验平方后的方程会把0误当解。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式 · 一元二次方程的解法。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 提高 · 独立练习

解不等式 $|x-1|\le 2x+1$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[0,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 等价于−(2x+1)≤x−1≤2x+1。两边分别给出x≥0与x≥−2，合并为x≥0；此时右边也为正，代回成立。

   为什么这样做

   双边条件同时成立时已保证右侧可容纳非负绝对值，仍应检查符号与端点。

易错与反例

• 不能只解x−1≤2x+1，漏掉另一侧更强限制。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

解不等式 $|3x+2|\le 4$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$[-2,\frac{2}{3}]$

查看逐步解析与易错点

1. −4≤3x+2≤4，减2再除以正数3，得−2≤x≤2/3。

   为什么这样做

   同时处理两侧不等式，除以正数时方向保持。

易错与反例

• 两个端点都使绝对值等于4，不能丢掉。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 综合 · 独立复测

不等式 $|x-1|+|x+2|<m$ 有实数解，求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$(3,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 两段距离之和至少是1与−2之间的距离3，在x∈[−2,1]上取到。因此严格小于m有解当且仅当m>3。

   为什么这样做

   存在性由可达到的最小值与严格符号决定：m=3也没有解。

易错与反例

• 不能把“有解”误写成对所有x恒成立；距离和在远处会变大。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 11 题 基础 · 独立复测

解不等式|x+2|≤2x+4。

我的思路（本页草稿）

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$x\in [-2,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 右侧2(x+2)必须非负，所以x≥−2。此范围左侧x+2，原式化为x+2≤2(x+2)，仍等价于x≥−2，边界可取。

   为什么这样做

   先由非负左侧推出必要的符号范围，再在该范围验证充分性。

易错与反例

• 不能平方后忘掉右侧原本必须非负。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 12 题 提高 · 独立练习

不等式|x−2|+|x+1|≤m有实数解，求m的范围。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$m\in [3,+\mathrm{\infty })$

查看逐步解析与易错点

1. 两项为x到2、−1的距离，距离和至少为3，且x∈[−1,2]时都等于3。因此存在解当且仅当m≥3。

   为什么这样做

   用距离下界并证明能取到，才能得到存在解的充要条件。

易错与反例

• 本题是≤，所以m=3仍有解；与严格小于时不同。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：绝对值方程与不等式。一道题出错只提供候选线索。