基本不等式 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

x>0，求 $x+9/x$ 的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. 两个正数x与9/x的积为9，故 $x+9/x\ge 2\sqrt{9}=6$。当x=9/x，即x=3时取等，符合x>0。

   为什么这样做

   给出下界还要检查等号能实现，才可称最小值。

易错与反例

• 若只写≥6而未检验x=3是否允许，论证还未完成。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

长方形周长为24，两边长为正，求面积最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$36$

查看逐步解析与易错点

1. 设边长a、b，则a+b=12。由ab≤((a+b)/2)²=36，且a=b=6时取等，所以最大面积36。

   为什么这样做

   周长固定使和固定，基本不等式把面积的积限制在一个可达到的上界。

易错与反例

• 不要把周长24直接当作a+b。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 综合 · 示例（讲解中已出现）

限制 $0<x\le 2$ 时，$x+9/x$ 的最小值还是6吗？求实际最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$\frac{13}{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 不是。取等x=3不在范围。对0<x≤2，$x+9/x-13/2=(x-2)(1-9/(2x))\ge 0$，因两因子都非正；x=2时取等，最小值13/2。

   为什么这样做

   一个通用下界未必是限制范围上的最小值，必须把取等与题设同时检查。

易错与反例

• 不能把取不到的6宣布为最小值。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

若直接对a、b使用√(ab)≤(a+b)/2，哪组值不满足适用条件？

• A.

  a=−1，b=−4

• B.

  a=0，b=4

• C.

  a=1，b=4

• D.

  a=0，b=0

我的思路（本页草稿）

查看答案

A

查看逐步解析与易错点

1. 公式要求a、b分别非负；A中虽然ab为正，但两者都负，右边−5/2反而小于左边2。

   为什么这样做

   积非负不足以替代两个变量分别非负。

易错与反例

• 把“ab≥0”误当作唯一条件会直接得到错误不等式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 提高 · 独立练习

a、b≥0且a²+b²=25，求a+b的最大值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$5\sqrt{2}$

查看逐步解析与易错点

1. 由2ab≤a²+b²=25，得 $(a+b{)}^2=25+2ab\le 50$。a+b非负，故a+b≤5√2；a=b=5/√2时取等。

   为什么这样做

   先控制平方，再按和的非负性开方，并验证相等两变量可满足平方和约束。

易错与反例

• 不能从a²+b²=25推出a+b=5。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

x>1，求 $(x+1{)}^2/(x-1)$ 的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$8$

查看逐步解析与易错点

1. 令t=x−1>0，原式为 $(t+2{)}^2/t=t+4+4/t\ge 4+4=8$。t=2即x=3时取等。

   为什么这样做

   换元先把分母表达成正变量，才能对t与4/t使用基本不等式。

易错与反例

• 不能忽略x>1就直接将可能为负的x−1放入均值不等式。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 提高 · 独立练习

证明对任意实数a、b都有a²+b²≥2ab，并给等号条件。

我的思路（本页草稿）

查看答案

恒成立，当且仅当a=b时取等。

查看逐步解析与易错点

1. a²+b²−2ab=(a−b)²≥0；平方为0恰好是a−b=0。

   为什么这样做

   这个平方非负结论允许a、b为负；它与要求根号内两个输入分别非负的均值不等式要区分。

易错与反例

• 不要给这条结论额外加上并不需要的a>0、b>0条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 综合 · 独立练习

x、y>0且x+y=1，求1/x+1/y的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$4$

查看逐步解析与易错点

1. 1/x+1/y=(x+y)/(xy)=1/(xy)。由xy≤1/4且xy>0，得1/(xy)≥4；x=y=1/2时取等。

   为什么这样做

   取倒数需要分母为正，不等号方向随正倒数关系翻转。

易错与反例

• 和固定后必须先判断怎样控制乘积，不能同时把x、y任意增大。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式 · 分式与分式方程。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

x>0，求 $2x+8/x$ 的最小值。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$8$

查看逐步解析与易错点

1. 两项积为16，和至少2√16=8；2x=8/x给出x=2，允许取等。

   为什么这样做

   取等比较的是两个被应用的整体2x与8/x，而不是x与8/x。

易错与反例

• 不要把取等条件误写成x=8/x。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

基本不等式是否一定要求两个数严格正？分别检查a=0,b=4与a=b=0。

我的思路（本页草稿）

查看答案

允许非负；前者成立但不取等，后者取等。

查看逐步解析与易错点

1. 0和4时左边0、右边2，满足严格小于；都为0时两边相等。推导中的非负平方根在0处仍有定义。

   为什么这样做

   公式条件与具体应用的除法条件要分开：若某题出现1/a，才另外要求a≠0。

易错与反例

• 口头口诀不能替代公式允许0的准确条件。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：基本不等式。一道题出错只提供候选线索。