一元一次方程 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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10 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

解方程：${\displaystyle \frac{2x-1}{3}}-{\displaystyle \frac{x+2}{2}}=1$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$x=14$

查看逐步解析与易错点

1. 两边同乘 $6$：$2(2x-1)-3(x+2)=6$

   为什么这样做

   去分母的依据是等式性质「两边同乘同一个非零数仍相等」，$6$ 是两个分母的最小公倍数。 注意右边的 $1$ 也要乘 —— 每一项都乘，不只是有分母的项。

2. 去括号：$4x-2-3x-6=6$

   为什么这样做

   $-3(x+2)$ 的负号要分配到括号内每一项。

3. 合并同类项：$x-8=6$，移项得 $x=14$

   为什么这样做

   移项的依据是「两边同加同一个数」，不是口诀。

4. 代回原式验算：${\displaystyle \frac{2\times 14-1}{3}}-{\displaystyle \frac{14+2}{2}}={\displaystyle \frac{27}{3}}-{\displaystyle \frac{16}{2}}=9-8=1$ ✓

   为什么这样做

   去分母之后最容易出错的是漏乘和符号，代回原方程是最可靠的检查。

易错与反例

• 去分母时漏乘右边的常数项 $1$，得到 $2(2x-1)-3(x+2)=1$。

• 把「移项变号」当成独立规则记忆。它的前提是等式性质 —— 到分式方程处，同乘的式子可能为零，那时就必须知道前提。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：一元一次方程 · 代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

某数的 $3$ 倍减去 $8$ 等于这个数加上 $4$，求这个数。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$6$

查看逐步解析与易错点

1. 设这个数为 $x$，依题意 $3x-8=x+4$

   为什么这样做

   设未知数后，可以按句子的数量关系列等式；关系较复杂时，方程有助于把条件明确写在一起。算术倒推也是可选方法。

2. 两边减 $x$：$2x-8=4$；两边加 $8$：$2x=12$；两边除以 $2$：$x=6$

   为什么这样做

   每一步都是等式性质，把含 $x$ 的项聚到一边、常数聚到另一边。

易错与反例

• 本题也可用算术倒推；练习方程时应先把数量关系写清，并用等式性质解释变形。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题 提高 · 示例（讲解中已出现）

关于 $x$ 的方程 $ax=2a-4$，讨论 $a$ 取何值时方程有唯一解、无解、有无穷多解。

我的思路（本页草稿）

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$a\ne 0$ 时有唯一解 $x={\displaystyle \frac{2a-4}{a}}$；$a=0$ 时方程为 $0=-4$，无解

查看逐步解析与易错点

1. $a\ne 0$ 时，两边除以 $a$ 得 $x={\displaystyle \frac{2a-4}{a}}$，唯一解

   为什么这样做

   除法要求除数非零 —— 这是必须先分出 $a=0$ 这一支的原因， 不是为了"讨论得全面"，而是这一步本身要求前提。

2. $a=0$ 时，原方程化为 $0\cdot x=-4$，即 $0=-4$，不成立，无解

   为什么这样做

   $a=0$ 时它已经不是一元一次方程了 —— 未知数的系数消失，退化成一个假命题。

3. 不存在无穷多解的情形，因为 $a=0$ 时右边 $2a-4=-4\ne 0$

   为什么这样做

   无穷多解需要 $0\cdot x=0$，即系数与常数项同时为零。这里两者不能同时为零。

易错与反例

• 直接写 $x=(2a-4)/a$ 会漏掉a=0的情况。准备除以字母系数前，必须检查它是否为0；若为0，应代回原方程判断，而非继续除法。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题 基础 · 独立练习

解方程 $5(x-2)=3x+4$。

我的思路（本页草稿）

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$7$

查看逐步解析与易错点

1. $5x-10=3x+4$，所以 $2x=14$，$x=7$；代回两边均为25。

   为什么这样做

   用分配律及等式两边同加减、同除非零数的性质。

易错与反例

• 去括号不能漏掉5乘−2。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题 基础 · 独立练习

解方程 $x/4+2=3x/8-1$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$24$

查看逐步解析与易错点

1. 两边乘8：$2x+16=3x-8$，得 $x=24$；原式两边均为8。

   为什么这样做

   8是非零公分母，等式两边每一项都必须乘8。

易错与反例

• 去分母时常数2和−1也要乘8。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题 提高 · 独立练习

在实数范围解方程 $2(x+1)=2x+2$，并说明有多少个解。

我的思路（本页草稿）

查看答案

全体实数都是解，有无穷多个解。

查看逐步解析与易错点

1. 展开后两边都是2x+2，整理为0=0，对每个实数x均成立。

   为什么这样做

   未知数项消去后要看剩余等式真假，不能把0x=0除以0。

易错与反例

• 式子出现等号不保证它有唯一解。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 7 题 基础 · 独立练习

已知 $ax=ay$，在哪个附加条件下可以保证 $x=y$？

• A.

  $a=0$

• B.

  $a\ne 0$

• C.

  $x+y=0$

• D.

  无需任何条件

我的思路（本页草稿）

查看答案

B

查看逐步解析与易错点

1. a非零时等式两边可同除a。a=0时无论x、y为何值都满足0=0，不能推出相等。

   为什么这样做

   除法要求除数非零。

易错与反例

• 用x=1、y=2、a=0可否定无条件约去a的做法。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 8 题 基础 · 独立练习

一件商品打八折后比原价少18元。求原价（元）。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$90$

查看逐步解析与易错点

1. 设原价x元，$x-0.8x=18$，得 $x=90$；折后72元，确少18元。

   为什么这样做

   八折表示现价是原价的80%，减少的是20%。

易错与反例

• 不能把18元直接当成原价的80%。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程 · 分数与小数的意义。一道题出错只提供候选线索。

第 9 题 基础 · 独立复测

解方程 $4-2(x-3)=3x$。

我的思路（本页草稿）

查看答案

$2$

查看逐步解析与易错点

1. $4-2x+6=3x$，所以 $10=5x$，$x=2$；代回两边均为6。

   为什么这样做

   负号与系数一起分配到括号内每项。

易错与反例

• −2乘−3得到+6。

本机记录

来源：自编。 断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。

第 10 题 提高 · 独立复测

讨论关于x的方程 $(m-1)x=m-1$：何时有唯一解，何时有无穷多解，是否可能无解？

我的思路（本页草稿）

查看答案

m≠1时唯一解x=1；m=1时全体实数为解；不存在无解情形。

查看逐步解析与易错点

1. m−1≠0时同除m−1得到x=1；m=1时原式是0x=0，恒成立。

   为什么这样做

   先查能否除以字母系数，再处理系数为0的分支。

易错与反例

• 只写x=1会漏掉m=1时其余全部解。

本机记录

来源：自编。 需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：一元一次方程。一道题出错只提供候选线索。