整式的乘法与乘法公式 · 练习

先独立作答，再分别展开答案和逐步解析。标为“示例”的题已经在讲解中出现，复测请选择不同的题。

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难度用途

11 道题。先独立作答，答案和解析默认收起。

第 1 题基础 · 示例（讲解中已出现）

计算： $(2 x - 3) (x + 4)$ 。

我的思路（本页草稿）

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$2 x^{2} + 5 x - 12$

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分配： $2 x \cdot x + 2 x \cdot 4 - 3 \cdot x - 3 \cdot 4$

为什么这样做
多项式乘法就是分配律用两次：先把 $(2 x - 3)$ 中每一项分配给整个 $(x + 4)$ ，再各自展开。没有额外的规则，所谓"first-outer-inner-last"只是分配顺序的助记。
$= 2 x^{2} + 8 x - 3 x - 12 = 2 x^{2} + 5 x - 12$

为什么这样做
合并同类项。中项 $5 x$ 来自两个交叉乘积之和 —— 记住这一点，十字相乘分解时就知道中项从哪来。

易错与反例

漏掉交叉项，写成 $2 x^{2} - 12$ 。
符号错： $- 3 \cdot 4$ 写成 $+ 12$ 。

把展开倒过来，就是后续因式分解要处理的问题：比较系数、识别共同因子和公式，寻找可行的乘积形式。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式 · 代数式与整式的加减。一道题出错只提供候选线索。

第 2 题基础 · 示例（讲解中已出现）

用乘法公式计算：（1） $(3 x + 2) (3 x - 2)$ ；（2） $(2 a - b)^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

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（1） $9 x^{2} - 4$ ；（2） $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

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（1）符合平方差 $(A + B) (A - B) = A^{2} - B^{2}$ ，取 $A = 3 x, B = 2$ ： $9 x^{2} - 4$

为什么这样做
识别信号是「两个括号只差一个符号」。公式里的 $A, B$ 可以是任何式子，不限于单个字母 —— 这是「用字母表示数」在此处的直接应用。
（2）完全平方 $(A - B)^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$ ，取 $A = 2 a, B = b$ ： $4 a^{2} - 4 a b + b^{2}$

为什么这样做
中项是 $- 2 \cdot 2 a \cdot b = - 4 a b$ ，系数 $2$ 来自公式本身，不能漏。

易错与反例

把完全平方当平方差会丢掉中项。例如a＝b＝1，原式 $(2 a - b)^{2} = 1$ ，错式 $4 a^{2} - b^{2} = 3$ 。
中项漏掉系数 $2$ ，写成 $4 a^{2} - 2 a b + b^{2}$ 。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 3 题提高 · 示例（讲解中已出现）

已知 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 与 $(a - b)^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

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$(a^{2} + b^{2}, (a - b)^{2}) = (13, 1)$

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由 $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ 得 $a^{2} + b^{2} = (a + b)^{2} - 2 a b$

为什么这样做
题目给的是 $a + b$ 和 $a b$ ，而完全平方公式恰好把这三个量连在一起。 看到已知量正好是某条公式里的两个位置，就去用那条公式。
$a^{2} + b^{2} = 25 - 12 = 13$

为什么这样做
直接代入，不必解出 $a$ 和 $b$ 。
$(a - b)^{2} = (a + b)^{2} - 4 a b = 25 - 24 = 1$

为什么这样做
展开验证： $(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a^{2} + 2 a b + b^{2}) - 4 a b$ 。这条改写在求「两根之差」时会反复使用。

易错与反例

先求出a、b再计算也正确；本题直接改写目标组合更短。含参时也能求根，但未必需要。

$a, b$ 恰好是 $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ 的两根 —— 本题就是韦达定理与对称多项式的原型，只是那里的 $a + b, a b$ 直接由方程系数读出，不必题目给。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-08。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 4 题基础 · 独立练习

展开 $(x - 2)^{3}$ ，依次写出三次项、二次项、一次项和常数项的系数。

我的思路（本页草稿）

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$(1, - 6, 12, - 8)$

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先平方得x²−4x+4，再乘x−2，合并后为x³−6x²+12x−8。

为什么这样做
立方是三个相同因子相乘；每次用分配律即可得到各项。

易错与反例

不能只保留x³−8，中间两项一般不为0。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 5 题提高 · 独立练习

用分配律展开 $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$ ，说明中间项怎样消去。

我的思路（本页草稿）

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$x^{3} - 8$ 。

查看逐步解析与易错点

展开得x³+2x²+4x−2x²−4x−8，二次项和一次项分别相消，留下x³−8。

为什么这样做
每个因子中的项都要与另一个因子的每项相乘；消去来自相反的系数。

易错与反例

不能在展开前随意把某两项直接约掉；这里是加法合并，不是分式约分。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

第 6 题基础 · 独立练习

对任意实数a、b， $(a + b)^{3}$ 等于哪一项？

A.
$a^{3} + b^{3}$
B.
$a^{3} + 2 a^{2} b + 2 a b^{2} + b^{3}$
C.
$a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
D.
$a^{3} + 3 a b + b^{3}$

我的思路（本页草稿）

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将(a+b)²=a²+2ab+b²再乘(a+b)，a²b项与ab²项的系数各合并为3。

为什么这样做
立方展开由三次分配得到，系数和次数均须核对。

易错与反例

代a=b=1可发现第一、第二、第四项都不是8，但恒等证明仍由展开给出。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 7 题基础 · 独立练习

用平方差公式计算101×99。

我的思路（本页草稿）

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$9999$

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101×99=(100+1)(100−1)=10000−1=9999。

为什么这样做
两个因子关于100对称，可用(A+B)(A−B)=A²−B²。

易错与反例

平方差的第二项是1²，不是2×100。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 8 题提高 · 独立练习

对于实数a、b，等式 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$ 在什么条件下成立？

我的思路（本页草稿）

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当且仅当ab=0，即a、b至少一个为0。

查看逐步解析与易错点

展开左边，多出2ab。等式等价于2ab=0，也等价于ab=0。反过来代入ab=0确实成立。

为什么这样做
必要性和充分性都来自同一个等价变形；不能只检验某一个例子。

易错与反例

a=b=1时左边4、右边2，说明它不是恒等式。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 9 题基础 · 独立复测

展开 $(2 x + 1)^{3}$ ，依次给出三次项、二次项、一次项和常数项的系数。

我的思路（本页草稿）

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$(8, 12, 6, 1)$

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取A=2x、B=1，得8x³+12x²+6x+1。

为什么这样做
立方公式中A²B与AB²的系数都为3，还要把2x整体乘方。

易错与反例

(2x)³=8x³，不能只写2x³。

本机记录

来源：自编。断言已执行并通过，读取结构化答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 10 题提高 · 独立复测

展开 $(- a + b)^{2}$ ，并说明它是否等于 $(a - b)^{2}$ 。

我的思路（本页草稿）

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$a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ，等于 $(a - b)^{2}$ 。

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由完全平方得(−a)²+2(−a)b+b²=a²−2ab+b²；另有−a+b=−(a−b)，整体相反数的平方相等。

为什么这样做
平方作用于整个底数；交叉项的符号取决于两项乘积。

易错与反例

不能把负的a平方以后，又把交叉项误写为+2ab。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

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第 11 题提高 · 独立复测

展开(a−2b)²，并判断它在什么条件下等于a²+4b²（a、b为实数）。

我的思路（本页草稿）

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展开为a²−4ab+4b²；等于a²+4b²当且仅当ab=0。

查看逐步解析与易错点

分配律展开两因子后，两个交叉项均为−2ab，合成−4ab。要与无交叉项的式子相等，须−4ab=0。

为什么这样做
判断恒等与条件相等时，可以比较两边之差，不能随意漏项。

易错与反例

对所有a、b的展开式，与只在ab=0成立的简式不同。

本机记录

来源：自编。需推理复核；未自动验证展示答案。 AI辅助逐题复核：Codex，2026-09-09。

回补：整式的乘法与乘法公式。一道题出错只提供候选线索。

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第 1 题 基础 · 示例（讲解中已出现）

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第 11 题 提高 · 独立复测

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